Modelo Hull-White

Modelo de tasas de interés futuras

En matemáticas financieras , el modelo de Hull-White es un modelo de tasas de interés futuras . En su formulación más genérica, pertenece a la clase de modelos sin arbitraje que pueden ajustarse a la estructura temporal actual de las tasas de interés. Es relativamente sencillo traducir la descripción matemática de la evolución de las tasas de interés futuras a un árbol o red , por lo que los derivados de las tasas de interés, como las swaptions de las Bermudas, pueden valorarse en el modelo.

El primer modelo Hull-White fue descrito por John C. Hull y Alan White en 1990. El modelo sigue siendo popular en el mercado hoy en día.

El modelo

Modelo de un solo factor

El modelo es un modelo de tasa corta . En general, tiene la siguiente dinámica:

${\displaystyle dr(t)=\left[\theta (t)-\alpha (t)r(t)\right]\,dt+\sigma (t)\,dW(t).}$

Existe un cierto grado de ambigüedad entre los profesionales sobre qué parámetros del modelo dependen exactamente del tiempo o qué nombre aplicar al modelo en cada caso. La convención de nomenclatura más comúnmente aceptada es la siguiente:

• ${\displaystyle \theta }$tiene dependencia t (del tiempo) — el modelo de Hull-White .
• ${\displaystyle \theta }$y ambos dependen del tiempo: el modelo extendido de Vasicek . ${\displaystyle \alpha }$

Modelo de dos factores

El modelo de Hull-White de dos factores (Hull 2006:657–658) contiene un término de perturbación adicional cuya media vuelve a cero y tiene la forma:

${\displaystyle d\,f(r(t))=\left[\theta (t)+u-\alpha (t)\,f(r(t))\right]dt+\sigma _{1}(t)\,dW_{1}(t),}$

donde es una función determinista, típicamente la función identidad (extensión de la versión de un factor, analíticamente manejable y con tasas potencialmente negativas), el logaritmo natural (extensión de Black-Karasinski, no analíticamente manejable y con tasas de interés positivas), o combinaciones (proporcional al logaritmo natural en tasas pequeñas y proporcional a la función identidad en tasas grandes); y tiene un valor inicial de 0 y sigue el proceso: ${\displaystyle \displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle u}$

${\displaystyle du=-bu\,dt+\sigma _{2}\,dW_{2}(t)}$

Análisis del modelo unifactorial

En el resto de este artículo, asumimos que solo tiene t -dependencia. Dejando de lado el término estocástico por un momento, observe que el cambio en r es negativo si r es actualmente "grande" (mayor que) y positivo si el valor actual es pequeño. Es decir, el proceso estocástico es un proceso de Ornstein-Uhlenbeck con reversión a la media . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \theta (t)/\alpha )}$

θ se calcula a partir de la curva de rendimiento inicial que describe la estructura temporal actual de las tasas de interés. Normalmente, α se deja como entrada del usuario (por ejemplo, se puede estimar a partir de datos históricos). σ se determina mediante la calibración de un conjunto de caplets y swaptions fácilmente negociables en el mercado.

Cuando , y son constantes, se puede utilizar el lema de Itô para demostrar que ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

que tiene distribución

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right),}$

donde es la distribución normal con media y varianza . ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Cuando depende del tiempo, ${\displaystyle \theta (t)}$

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

que tiene distribución

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds,{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right).}$

Fijación de precios de bonos mediante el modelo Hull-White

Resulta que el valor temporal S del bono con descuento con vencimiento T tiene distribución (¡nótese la estructura temporal afín aquí!).

${\displaystyle P(S,T)=A(S,T)\exp(-B(S,T)r(S)),}$

dónde

${\displaystyle B(S,T)={\frac {1-\exp(-\alpha (T-S))}{\alpha }},}$

${\displaystyle A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp \left(\,-B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,S))}{\partial S}}-{\frac {\sigma ^{2}(\exp(-\alpha T)-\exp(-\alpha S))^{2}(\exp(2\alpha S)-1)}{4\alpha ^{3}}}\right).}$

Téngase en cuenta que su distribución terminal para se distribuye de forma log-normal . ${\displaystyle P(S,T)}$

Precios derivados

Seleccionando como numerario el bono de tiempo S (que corresponde al cambio a la medida S hacia adelante), tenemos del teorema fundamental de fijación de precios sin arbitraje , el valor en el tiempo t de una derivada que tiene un pago en el tiempo S.

${\displaystyle V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

Aquí, es la expectativa tomada con respecto a la medida a futuro . Además, los argumentos de arbitraje estándar muestran que el precio a futuro en el tiempo T para un pago en el tiempo T dado por V(T) debe satisfacer , por lo tanto ${\displaystyle \mathbb {E} _{S}}$ ${\displaystyle F_{V}(t,T)}$ ${\displaystyle F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)}$

${\displaystyle F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

Por lo tanto, es posible valorar analíticamente muchas derivadas V que dependen únicamente de un enlace simple cuando se trabaja en el modelo de Hull-White. Por ejemplo, en el caso de una opción de venta de bonos ${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle V(S)=(K-P(S,T))^{+}.}$

Debido a que se distribuye lognormalmente, el cálculo general utilizado para el modelo de Black-Scholes muestra que ${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle {E}_{S}[(K-P(S,T))^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(-d_{1}),}$

dónde

${\displaystyle d_{1}={\frac {\log(F/K)+\sigma _{P}^{2}S/2}{\sigma _{P}{\sqrt {S}}}}}$

y

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}.}$

Por lo tanto, el valor actual (con P (0, S ) multiplicado nuevamente y t establecido en 0) es:

${\displaystyle P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1}).}$

Aquí está la desviación estándar (volatilidad relativa) de la distribución log-normal para . Una cantidad considerable de álgebra muestra que está relacionada con los parámetros originales a través de ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle {\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}(1-\exp(-\alpha (T-S))){\sqrt {\frac {1-\exp(-2\alpha S)}{2\alpha }}}.}$

Obsérvese que esta expectativa se realizó en la medida de los bonos S , mientras que no especificamos ninguna medida para el proceso Hull-White original. Esto no importa: lo único que importa es la volatilidad y es independiente de la medida.

Dado que los topes y los pisos de las tasas de interés son equivalentes a las opciones de compra y venta de bonos, respectivamente, el análisis anterior muestra que los topes y los pisos se pueden fijar analíticamente en el modelo Hull-White. El truco de Jamshidian se aplica a Hull-White (ya que el valor actual de una swaption en el modelo Hull-White es una función monótona de la tasa a corto plazo actual). Por lo tanto, saber cómo fijar el precio de los topes también es suficiente para fijar el precio de las swaptions. En el caso de que el subyacente sea una tasa retrospectiva compuesta en lugar de una tasa a plazo LIBOR (prospectiva), Turfus (2020) muestra cómo esta fórmula se puede modificar de manera sencilla para tener en cuenta la convexidad adicional .

Las swapciones también pueden tener un precio directo, como se describe en Henrard (2003). Las implementaciones directas suelen ser más eficientes.

Simulación de Montecarlo, árboles y retículas

Sin embargo, la valoración de instrumentos tradicionales como los caps y swaptions es útil principalmente para la calibración. El uso real del modelo es valorar derivados algo más exóticos como los swaptions de Bermudas en una red u otros derivados en un contexto multidivisa como los swaps de vencimiento constante Quanto, como se explica por ejemplo en Brigo y Mercurio (2001). La simulación de Monte Carlo eficiente y exacta del modelo Hull-White con parámetros dependientes del tiempo se puede realizar fácilmente, véase Ostrovski (2013) y (2016). Una implementación de código abierto de la simulación de Monte Carlo exacta siguiendo a Fries (2016) ^[1] se puede encontrar en finmath lib. ^[2]

Pronóstico

Aunque se han ideado modelos de un solo factor como Vasicek, CIR y Hull-White para la fijación de precios, investigaciones recientes han demostrado su potencial con respecto a la previsión. En Orlando et al. (2018, ^[3] 2019, ^{[4] [5]} ) se proporcionó una nueva metodología para pronosticar las tasas de interés futuras llamada CIR#. Las ideas, además de convertir un modelo de tasa a corto plazo utilizado para la fijación de precios en una herramienta de previsión, radican en una partición adecuada del conjunto de datos en subgrupos de acuerdo con una distribución dada ^[6] ). Allí se mostró cómo dicha partición permite capturar cambios temporales estadísticamente significativos en la volatilidad de las tasas de interés. Siguiendo dicho enfoque, Orlando et al. (2021) ^[7] ) compara el modelo Hull-White con el modelo CIR en términos de previsión y predicción de la direccionalidad de las tasas de interés.

Véase también

• Modelo de Vasicek
• Modelo de Cox-Ingersoll-Ross
• Modelo Karasinski de Black

Referencias

1. Fries, Christian (2016). "Una breve nota sobre el esquema de simulación estocástica exacta del modelo Hull-White y su implementación". SSRN . doi :10.2139/ssrn.2737091 . Consultado el 15 de octubre de 2023 .
2. "HullWhiteModel.java". finmath lib . finmath.net . Consultado el 15 de octubre de 2023 .
3. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (2018). "Un nuevo enfoque para la modelización de tasas de interés a corto plazo de CIR". Nuevos métodos en la modelización de renta fija . Contribuciones a la ciencia de la gestión. Springer International Publishing: 35–43. doi :10.1007/978-3-319-95285-7_2. ISBN 978-3-319-95284-0.
4. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (1 de enero de 2019). "Un nuevo enfoque para pronosticar las tasas de interés de mercado a través del modelo CIR". Estudios en Economía y Finanzas . 37 (2): 267–292. doi :10.1108/SEF-03-2019-0116. ISSN  1086-7376. S2CID  204424299.
5. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (19 de agosto de 2019). "Calibración de tasas de interés con un modelo CIR". The Journal of Risk Finance . 20 (4): 370–387. doi :10.1108/JRF-05-2019-0080. ISSN  1526-5943. S2CID  204435499.
6. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (julio de 2020). "Pronóstico de tasas de interés a través de los modelos Vasicek y CIR: un enfoque de partición". Journal of Forecasting . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi :10.1002/for.2642. ISSN  0277-6693. S2CID  126507446.
7. Orlando, Giuseppe; Bufalo, Michele (26 de mayo de 2021). "Previsión de tasas de interés: entre Hull y White y el CIR#: cómo hacer que funcione un modelo de un solo factor". Journal of Forecasting . 40 (8): 1566–1580. doi : 10.1002/for.2783 . ISSN  0277-6693.

Referencias primarias

• John Hull y Alan White, "Usando árboles de tasas de interés de Hull-White", Journal of Derivatives , vol. 3, núm. 3 (primavera de 1996), págs. 26-36
• John Hull y Alan White, "Procedimientos numéricos para implementar modelos de estructura temporal I", Journal of Derivatives , otoño de 1994, págs. 7-16.
• John Hull y Alan White, "Procedimientos numéricos para implementar modelos de estructura temporal II", Journal of Derivatives , invierno de 1994, págs. 37–48.
• John Hull y Alan White, "La fijación de precios de opciones sobre topes y pisos de tasas de interés utilizando el modelo Hull-White" en Estrategias avanzadas en la gestión del riesgo financiero , Capítulo 4, págs. 59-67.
• John Hull y Alan White, "Modelos de tasa de interés de un factor y la valoración de valores derivados de tasa de interés", Journal of Financial and Quantitative Analysis , Vol 28, No 2, (junio de 1993), págs. 235–254.
• John Hull y Alan White, "Fijación de precios de valores derivados de tipos de interés", The Review of Financial Studies , vol. 3, núm. 4 (1990), págs. 573-592.

Otras referencias

• Hull, John C. (2006). "Derivados de tipos de interés: modelos de tipos de interés a corto plazo". Opciones, futuros y otros derivados (6.ª ed.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall . pp. 657–658. ISBN 0-13-149908-4. OCLC  60321487  .​
• Damiano Brigo , Fabio Mercurio (2001). Modelos de tasas de interés: teoría y práctica con Smile, Inflation and Credit (2.ª ed., 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Henrard, Marc (2003). "Fórmula explícita de opciones sobre bonos y swaps en el modelo unifactorial de Heath–Jarrow–Morton", International Journal of Theoretical and Applied Finance , 6(1), 57–72. Preimpresión SSRN.
• Henrard, Marc (2009). Precio de swaptions eficiente en el modelo de un factor de Hull–White, arXiv, 0901.1776v1. Preimpresión arXiv.
• Ostrovski, Vladimir (2013). Simulación eficiente y exacta del modelo Hull-White, preimpresión SSRN.
• Ostrovski, Vladimir (2016). Simulación eficiente y exacta de los modelos de tipos de interés afines gaussianos., International Journal of Financial Engineering, vol. 3, n.º 02. , preimpresión SSRN.
• Puschkarski, Eugen. Implementación del modelo de estructura temporal sin arbitraje de Hull-White, tesis de diploma, Centro de Mercados Financieros de Europa Central
• Turfus, Colin (2020). Fijación de precios de comprimidos con tasas retrospectivas., Preimpresión SSRN.
• Letian Wang, modelo Hull-White, Fixed Income Quant Group, DTCC (ejemplo numérico detallado y derivación)