En matemáticas financieras , el modelo Black-Karasinski es un modelo matemático de la estructura temporal de los tipos de interés ; véase modelo de tipos a corto plazo . Es un modelo unifactorial, ya que describe los movimientos de los tipos de interés como impulsados por una única fuente de aleatoriedad. Pertenece a la clase de modelos sin arbitraje, es decir, puede ajustarse a los precios actuales de los bonos cupón cero y, en su forma más general, a los precios actuales de un conjunto de topes, pisos o swaptions europeas . El modelo fue introducido por Fischer Black y Piotr Karasinski en 1991.
La principal variable de estado del modelo es la tasa a corto plazo, que se supone que sigue la ecuación diferencial estocástica (según la medida neutral al riesgo ):
donde dW t es un movimiento browniano estándar . El modelo implica una distribución log-normal para la tasa a corto plazo y, por lo tanto, el valor esperado de la cuenta del mercado monetario es infinito para cualquier vencimiento.
En el artículo original de Fischer Black y Piotr Karasinski, el modelo se implementó utilizando un árbol binomial con espaciado variable, pero en la práctica es más común la implementación de un árbol trinomial , típicamente una aplicación log-normal de la red Hull-White .
El modelo se utiliza principalmente para la fijación de precios de derivados exóticos de tipos de interés , como las opciones sobre bonos estadounidenses y bermudanos y las swaptions , una vez que sus parámetros se han calibrado a la estructura temporal actual de los tipos de interés y a los precios o volatilidades implícitas de los topes , los pisos o las swaptions europeas . Se utilizan métodos numéricos (normalmente árboles) en la etapa de calibración, así como para la fijación de precios. También se puede utilizar para modelar el riesgo de impago crediticio , donde la tasa a corto plazo de Black-Karasinski expresa la intensidad (estocástica) de los eventos de impago impulsados por un proceso de Cox ; las tasas positivas garantizadas son una característica importante del modelo aquí. Un trabajo reciente sobre métodos de perturbación en derivados crediticios ha demostrado cómo se pueden deducir convenientemente los precios analíticos en muchas de esas circunstancias, así como para las opciones sobre tipos de interés.
![{\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffb43ea6f0749f138f20f14dc9f67f0c1a4f16d)