Modelo de juguete Black-Derman

En finanzas matemáticas , el modelo Black–Derman–Toy ( BDT ) es un modelo popular de tasa a corto plazo utilizado en la fijación de precios de opciones sobre bonos , swaptions y otros derivados de tasa de interés ; véase Modelo reticular (finanzas) § Derivados de tasa de interés . Es un modelo de un factor; es decir, un único factor estocástico (la tasa a corto plazo) determina la evolución futura de todas las tasas de interés. Fue el primer modelo en combinar el comportamiento de reversión a la media de la tasa a corto plazo con la distribución log-normal ^[1] y todavía se utiliza ampliamente. ^{[2] [3]}

Historia

El modelo fue introducido por Fischer Black , Emanuel Derman y Bill Toy. Fue desarrollado por primera vez para uso interno por Goldman Sachs en la década de 1980 y se publicó en el Financial Analysts Journal en 1990. En las memorias de Emanuel Derman , My Life as a Quant, se ofrece un relato personal del desarrollo del modelo . ^[4]

Fórmulas

En el marco de la BDT, utilizando una red binomial , se calibran los parámetros del modelo para que se ajusten tanto a la estructura temporal actual de las tasas de interés ( curva de rendimiento ) como a la estructura de volatilidad de los topes de las tasas de interés (normalmente, tal como se desprende de los precios Black-76 para cada componente de la cápsula); véase al margen. Utilizando la red calibrada, se puede valorar una variedad de valores sensibles a las tasas de interés y derivados de las tasas de interés más complejos .

Aunque inicialmente se desarrolló para un entorno basado en redes, se ha demostrado que el modelo implica la siguiente ecuación diferencial estocástica continua : ^{[1] [5]}

${\displaystyle d\ln(r)=\left[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)\right]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$

dónde,

${\displaystyle r\,}$= la tasa corta instantánea en el tiempo t

${\displaystyle \theta _{t}\,}$= valor del activo subyacente al vencimiento de la opción

${\displaystyle \sigma _{t}\,}$= volatilidad instantánea de las tasas a corto plazo

${\displaystyle W_{t}\,}$= un movimiento browniano estándar bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo ; su diferencial . ${\displaystyle dW_{t}\,}$

Para una volatilidad de tasa a corto plazo constante (independiente del tiempo) , el modelo es: ${\displaystyle \sigma \,}$

${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

Una razón por la que el modelo sigue siendo popular es que los algoritmos "estándar" de búsqueda de raíces , como el método de Newton (el método de la secante ) o la bisección , se aplican muy fácilmente a la calibración. ^[6] En relación con esto, el modelo se describió originalmente en lenguaje algorítmico y no utilizando cálculo estocástico o martingalas . ^[7]

Referencias

Notas

1. "Impacto de diferentes modelos de tasas de interés en las medidas de valor de los bonos, G, Buetow et al" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2011-10-07 . Consultado el 2011-07-21 .
2. Análisis de renta fija , pág. 410, en Google Books
3. "Guía de especialidad actuarial profesional de la Sociedad de Actuarios sobre gestión de activos y pasivos" (PDF) . soa.org . Consultado el 19 de marzo de 2024 .
4. "Mi vida como analista cuantitativo: reflexiones sobre física y finanzas". Archivado desde el original el 28 de marzo de 2010. Consultado el 26 de abril de 2010 .
5. "Black-Derman-Toy (BDT)". Archivado desde el original el 24 de mayo de 2016. Consultado el 14 de junio de 2010 .
6. Phelim Boyle , Ken Seng Tan y Weidong Tian (2001). Calibración del modelo Black-Derman-Toy: algunos resultados teóricos, Applied Mathematical Finance 8, 27-48 (2001)
7. "Entrevista personal con Emanuel Derman (Financial Engineering News)" . Consultado el 9 de junio de 2021 .

Artículos

• Benninga, S.; Wiener, Z. (1998). "Modelos de estructura de términos binomiales" (PDF) . Mathematica en Educación e Investigación : vol.7 No. 3.
• Black, F.; Derman, E.; Toy, W. (enero-febrero de 1990). "Un modelo unifactorial de tasas de interés y su aplicación a las opciones sobre bonos del Tesoro" (PDF) . Financial Analysts Journal : 24–32. Archivado desde el original (PDF) el 10 de septiembre de 2008.
• Boyle, P. ; Tan, K.; Tian, ​​W. (2001). "Calibración del modelo Black–Derman–Toy: algunos resultados teóricos" (PDF) . Applied Mathematical Finance : 8, 27–48. Archivado desde el original (PDF) el 22 de abril de 2012.
• Hull, J. (2008). "El modelo de Black, Derman y Toy" (PDF) . Nota técnica n.º 23, Opciones, futuros y otros derivados. Archivado desde el original (PDF) el 29 de enero de 2011. Consultado el 8 de abril de 2011 .
• Klose, C.; Li CY (2003). "Implementación del modelo de Black, Derman y Toy" (PDF) . Seminario de Ingeniería Financiera, Universidad de Viena.

Enlaces externos

• Función R para calcular el árbol de tasas de interés a corto plazo de Black–Derman–Toy, Andrea Ruberto
• Calculadora y generador de árbol BDT de Excel, Serkan Gur