Modelo de Cox-Ingersoll-Ross

Modelo estocástico para la evolución de los tipos de interés financieros

Tres trayectorias de los procesos CIR

En finanzas matemáticas , el modelo Cox-Ingersoll-Ross (CIR) describe la evolución de las tasas de interés . Es un tipo de "modelo de un factor" ( modelo de tasa a corto plazo ) ya que describe los movimientos de las tasas de interés como impulsados ​​por una sola fuente de riesgo de mercado . El modelo se puede utilizar en la valoración de derivados de tasas de interés . Fue introducido en 1985 ^[1] por John C. Cox , Jonathan E. Ingersoll y Stephen A. Ross como una extensión del modelo de Vasicek , en sí mismo un proceso de Ornstein-Uhlenbeck .

El modelo

Proceso CIR

El modelo CIR describe la tasa de interés instantánea con un proceso de raíz cuadrada de Feller , cuya ecuación diferencial estocástica es ${\displaystyle r_{t}}$

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW_{t},}$

donde es un proceso de Wiener (que modela el factor de riesgo aleatorio del mercado) y , , y son los parámetros . El parámetro corresponde a la velocidad de ajuste a la media , y a la volatilidad. El factor de deriva, , es exactamente el mismo que en el modelo de Vasicek. Asegura la reversión a la media del tipo de interés hacia el valor de largo plazo , con la velocidad de ajuste gobernada por el parámetro estrictamente positivo . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle a(b-r_{t})}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

El factor de desviación estándar , , evita la posibilidad de tasas de interés negativas para todos los valores positivos de y . Una tasa de interés de cero también se excluye si la condición ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}\,}$

En términos más generales, cuando la tasa ( ) se acerca a cero, la desviación estándar ( ) también se vuelve muy pequeña, lo que amortigua el efecto del shock aleatorio sobre la tasa. En consecuencia, cuando la tasa se acerca a cero, su evolución queda dominada por el factor de deriva, que empuja la tasa hacia arriba (hacia el equilibrio ). ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$

En el caso ^[2] , el proceso de raíz cuadrada de Feller se puede obtener a partir del cuadrado de un proceso de Ornstein-Uhlenbeck . Es ergódico y posee una distribución estacionaria. Se utiliza en el modelo de Heston para modelar la volatilidad estocástica. ${\displaystyle 4ab=\sigma ^{2}\,}$

Distribución

• Distribución futura

La distribución de valores futuros de un proceso CIR se puede calcular en forma cerrada:

${\displaystyle r_{t+T}={\frac {Y}{2c}},}$

donde , e Y es una distribución de chi-cuadrado no central con grados de libertad y parámetro de no centralidad . Formalmente, la función de densidad de probabilidad es: ${\displaystyle c={\frac {2a}{(1-e^{-aT})\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {4ab}{\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle 2cr_{t}e^{-aT}}$

${\displaystyle f(r_{t+T};r_{t},a,b,\sigma )=c\,e^{-u-v}\left({\frac {v}{u}}\right)^{q/2}I_{q}(2{\sqrt {uv}}),}$

donde , , , y es una función de Bessel modificada del primer tipo de orden . ${\displaystyle q={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}-1}$ ${\displaystyle u=cr_{t}e^{-aT}}$ ${\displaystyle v=cr_{t+T}}$ ${\displaystyle I_{q}(2{\sqrt {uv}})}$ ${\displaystyle q}$

• Distribución asintótica

Debido a la reversión a la media, a medida que transcurre el tiempo, la distribución de se aproximará a una distribución gamma con una densidad de probabilidad de: ${\displaystyle r_{\infty }}$

${\displaystyle f(r_{\infty };a,b,\sigma )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}r_{\infty }^{\alpha -1}e^{-\beta r_{\infty }},}$

donde y . ${\displaystyle \beta =2a/\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =2ab/\sigma ^{2}}$

Propiedades

• Reversión a la media ,
• Volatilidad dependiente del nivel ( ), ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$
• Para un positivo dado el proceso nunca tocará cero, si ; de lo contrario puede ocasionalmente tocar el punto cero, ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$, por lo que la media a largo plazo es , ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}{\frac {\sigma ^{2}}{a}}(e^{-at}-e^{-2at})+{\frac {b\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-at})^{2}.}$

Calibración

• Mínimos cuadrados ordinarios

La SDE continua se puede discretizar de la siguiente manera

${\displaystyle r_{t+\Delta t}-r_{t}=a(b-r_{t})\,\Delta t+\sigma \,{\sqrt {r_{t}\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

que es equivalente a

${\displaystyle {\frac {r_{t+\Delta t}-r_{t}}{{\sqrt {r}}_{t}}}={\frac {ab\Delta t}{{\sqrt {r}}_{t}}}-a{\sqrt {r}}_{t}\Delta t+\sigma \,{\sqrt {\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

Se proporciona niid (0,1). Esta ecuación se puede utilizar para una regresión lineal. ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

• Estimación de Martingala
• Máxima verosimilitud

Simulación

La simulación estocástica del proceso CIR se puede lograr utilizando dos variantes:

• Discretización
• Exacto

Precios de los bonos

En el supuesto de que no haya arbitraje , se puede fijar el precio de un bono utilizando este proceso de tasa de interés. El precio del bono es exponencialmente afín a la tasa de interés:

${\displaystyle P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_{t}}\!}$

dónde

${\displaystyle A(t,T)=\left({\frac {2he^{(a+h)(T-t)/2}}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}\right)^{2ab/\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle B(t,T)={\frac {2(e^{h(T-t)}-1)}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}}$

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}+2\sigma ^{2}}}}$

Extensiones

El modelo CIR utiliza un caso especial de una difusión de salto afín básica , que aún permite una expresión de forma cerrada para los precios de los bonos. Se pueden introducir en el modelo funciones que varían con el tiempo que reemplazan a los coeficientes para que sea coherente con una estructura temporal preasignada de tasas de interés y posiblemente volatilidades. El enfoque más general se encuentra en Maghsoodi (1996). ^[3] Un enfoque más manejable se encuentra en Brigo y Mercurio (2001b) ^[4] donde se agrega un cambio externo dependiente del tiempo al modelo para lograr coherencia con una estructura temporal de entrada de tasas.

Una extensión significativa del modelo CIR al caso de media estocástica y volatilidad estocástica es dada por Lin Chen (1996) y es conocida como modelo Chen . Una extensión más reciente para manejar volatilidad de clúster, tasas de interés negativas y diferentes distribuciones es la llamada "CIR #" de Orlando, Mininni y Bufalo (2018, ^[5] 2019, ^{[6] [7]} 2020, ^[8] 2021, ^[9] 2023 ^[10] ) y una extensión más simple enfocada en tasas de interés negativas fue propuesta por Di Francesco y Kamm (2021, ^[11] 2022 ^[12] ), que son referidas como modelos CIR- y CIR--.

Véase también

• Modelo Hull-White
• Modelo de Vasicek
• Modelo Chen

Referencias

1. "Una teoría de la estructura temporal de las tasas de interés - The Econometric Society". www.econometricsociety.org . Consultado el 14 de octubre de 2023 .
2. Yuliya Mishura, Andrey Pilipenko y Anton Yurchenko-Tytarenko (10 de enero de 2024): Proceso Cox-Ingersoll-Ross de baja dimensión, Estocástico, DOI:10.1080/17442508.2023.2300291
3. Maghsoodi, Yoosef (enero de 1996). "Solución de la estructura temporal de la tasa de interés extendida y valoración de opciones sobre bonos". Finanzas matemáticas . 6 (1): 89–109. doi :10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x. ISSN  0960-1627.
4. Brigo, Damiano; Mercurio, Fabio (1 de julio de 2001). "Una extensión determinista de modelos de tasas de interés a corto plazo analíticamente manejables y homogéneos en el tiempo". Finanzas y estocástica . 5 (3): 369–387. doi :10.1007/PL00013541. ISSN  0949-2984. S2CID  35316609.
5. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (2018). "Un nuevo enfoque para la modelización de tasas de interés a corto plazo de CIR". Nuevos métodos en la modelización de renta fija . Contribuciones a la ciencia de la gestión. Springer International Publishing. págs. 35–43. doi :10.1007/978-3-319-95285-7_2. ISBN 978-3-319-95284-0.
6. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (1 de enero de 2019). "Un nuevo enfoque para pronosticar las tasas de interés de mercado a través del modelo CIR". Estudios en Economía y Finanzas . 37 (2): 267–292. doi :10.1108/SEF-03-2019-0116. ISSN  1086-7376. S2CID  204424299.
7. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (19 de agosto de 2019). "Calibración de tasas de interés con un modelo CIR". The Journal of Risk Finance . 20 (4): 370–387. doi :10.1108/JRF-05-2019-0080. ISSN  1526-5943. S2CID  204435499.
8. Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (julio de 2020). "Pronóstico de tasas de interés a través de los modelos Vasicek y CIR: un enfoque de partición". Journal of Forecasting . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi :10.1002/for.2642. ISSN  0277-6693. S2CID  126507446.
9. Orlando, Giuseppe; Bufalo, Michele (26 de mayo de 2021). "Previsión de tasas de interés: entre Hull y White y el CIR#: cómo hacer que funcione un modelo de un solo factor". Journal of Forecasting . 40 (8): 1566–1580. doi : 10.1002/for.2783 . ISSN  0277-6693.
10. Orlando, Giuseppe; Bufalo, Michele (14 de julio de 2023). "Previsión de series temporales con el modelo CIR#: desde los sentimientos de los mercados agitados hasta el turismo estacional regular". Desarrollo tecnológico y económico de la economía . 29 (4): 1216–1238. doi : 10.3846/tede.2023.19294 . ISSN  2029-4921.
11. Di Francesco, Marco; Kamm, Kevin (4 de octubre de 2021). "Cómo manejar las tasas de interés negativas en un marco CIR". Revista SeMa . 79 (4): 593–618. arXiv : 2106.03716 . doi : 10.1007/s40324-021-00267-w . S2CID  235358123.
12. Di Francesco, Marco; Kamm, Kevin (2022). "Sobre el modelo CIR extendido de cambio determinista en un marco de tasa de interés negativa". Revista Internacional de Estudios Financieros . 10 (2): 38. doi : 10.3390/ijfs10020038 . hdl : 11585/916048 .

Referencias adicionales

• Hull, John C. (2003). Opciones, futuros y otros derivados . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . ISBN 0-13-009056-5.
• Cox, JC, JE Ingersoll y SA Ross (1985). "Una teoría de la estructura temporal de las tasas de interés". Econometrica . 53 (2): 385–407. doi :10.2307/1911242. JSTOR  1911242.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Maghsoodi, Y. (1996). "Solución de la estructura temporal CIR extendida y valoración de opciones sobre bonos". Finanzas matemáticas . 6 (6): 89–109. doi :10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x.
• Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modelos de tasas de interés: teoría y práctica con Smile, Inflación y crédito (2.ª ed., 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Brigo, Damiano; Fabio Mercurio (2001b). "Una extensión determinista de modelos de tasas a corto plazo analíticamente manejables y homogéneos en el tiempo". Finance & Stochastics . 5 (3): 369–388. doi :10.1007/PL00013541. S2CID  35316609.
• Biblioteca de código abierto que implementa el proceso CIR en Python
• Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (2020). "Pronóstico de tasas de interés a través de los modelos Vasicek y CIR: un enfoque de partición". Journal of Forecasting . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi :10.1002/for.2642. ISSN  1099-131X. S2CID  126507446.