Difusión básica por salto afín

Proceso estocástico

En la teoría de probabilidad matemática , una difusión de salto afín básica (DJA básica) es un proceso estocástico Z de la forma

${\displaystyle dZ_{t}=\kappa (\theta -Z_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {Z_{t}}}\,dB_{t}+dJ_{t},\qquad t\geq 0,Z_{0}\geq 0,}$

donde es un movimiento browniano estándar , y es un proceso de Poisson compuesto independiente con intensidad de salto constante y saltos independientes distribuidos exponencialmente con media . Para que el proceso esté bien definido, es necesario que y . Un AJD básico es un caso especial de un proceso afín y de una difusión por salto . Por otro lado, el proceso Cox–Ingersoll–Ross (CIR) es un caso especial de un AJD básico. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \kappa \theta \geq 0}$ ${\displaystyle \mu \geq 0}$

Los AJD básicos son atractivos para modelar los tiempos de incumplimiento en aplicaciones de riesgo crediticio , ^{[1] [2] [3] [4]} ya que tanto la función generadora de momentos

${\displaystyle m\left(q\right)=\operatorname {E} \left(e^{q\int _{0}^{t}Z_{s}\,ds}\right),\qquad q\in \mathbb {R} ,}$

y la función característica

${\displaystyle \varphi \left(u\right)=\operatorname {E} \left(e^{iu\int _{0}^{t}Z_{s}\,ds}\right),\qquad u\in \mathbb {R} ,}$

se conocen en forma cerrada . ^[3]

La función característica permite calcular la densidad de un AJD básico integrado

${\displaystyle \int _{0}^{t}Z_{s}\,ds}$

mediante la inversión de Fourier , lo que se puede realizar de manera eficiente utilizando la FFT .

Referencias

1. Darrell Duffie, Nicolae Gârleanu (2001). "Riesgo y valoración de obligaciones de deuda colateralizadas". Financial Analysts Journal . 57 : 41–59. doi :10.2469/faj.v57.n1.2418. S2CID  12334040.Preimpresión
2. Allan Mortensen (2006). "Valoración semianalítica de derivados de crédito de canasta en modelos basados ​​en intensidad". Journal of Derivatives . 13 (4): 8–26. doi :10.3905/jod.2006.635417.Preimpresión
3. Andreas Ecker (2009). "Técnicas computacionales para modelos afines básicos de riesgo crediticio de cartera". Journal of Computational Finance . 13 : 63–97. doi :10.21314/JCF.2009.200.Preimpresión
4. Feldhutter, P.; Nielsen, MS (enero de 2012). "Riesgo de impago sistemático e idiosincrásico en los mercados de crédito sintético" (PDF) . Journal of Financial Econometrics . 10 (2): 292–324. doi :10.1093/jjfinec/nbr011.