Modelo de mercado LIBOR

El modelo de mercado LIBOR , también conocido como Modelo BGM ( Modelo Brace Gatarek Musiela , en referencia a los nombres de algunos de sus inventores) es un modelo financiero de tasas de interés . ^[1] Se utiliza para fijar el precio de derivados de tipos de interés , especialmente derivados exóticos como swaptions de Bermudas, topes y suelos de trinquete, notas de rescate objetivo, autocaps, swaptions de cupón cero, swaps de vencimiento constante y opciones de diferencial, entre muchos otros. Las cantidades que se modelan, en lugar de la tasa corta o las tasas forward instantáneas (como en el marco de Heath-Jarrow-Morton ), son un conjunto de tasas forward (también llamadas LIBOR forward ), que tienen la ventaja de ser directamente observables en el mercado. , y cuyas volatilidades están naturalmente vinculadas a los contratos negociados. Cada tipo de interés a plazo se modela mediante un proceso lognormal según su medida a plazo , es decir, un modelo Black que conduce a una fórmula Black para topes de tipos de interés . Esta fórmula es el estándar del mercado para cotizar los precios máximos en términos de volatilidades implícitas, de ahí el término "modelo de mercado". El modelo de mercado LIBOR puede interpretarse como una colección de dinámicas LIBOR a plazo para diferentes tipos a plazo con plazos y vencimientos que abarcan, siendo cada tipo a plazo coherente con una fórmula caplet de tipos de interés negros para su vencimiento canónico. Se pueden escribir las dinámicas de las diferentes tasas bajo una medida de precios común , por ejemplo, la medida a plazo para un vencimiento único preferido, y en este caso las tasas a plazo no serán lognormales bajo la medida única en general, lo que lleva a la necesidad de métodos numéricos como como la simulación de Monte Carlo o aproximaciones como la suposición de la deriva congelada.

Dinámica del modelo

El mercado LIBOR modela un conjunto de tasas a plazo , como procesos lognormales . Según la respectiva medida anticipada ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{j}}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle T_{j}}$ ${\displaystyle Q_{T_{j+1}}}$

$${\displaystyle dL_{j}(t)=\mu _{j}(t)L_{j}(t)dt+\sigma _{j}(t)L_{j}(t)dW^{Q_{T_{j+1}}}(t).}$$

${\displaystyle \mu _{j}(t)=0,\forall t}$ ${\displaystyle L_{j}}$ ${\displaystyle [T_{j},T_{j+1}]}$

La novedad es que, a diferencia del modelo Black , el modelo de mercado LIBOR describe la dinámica de toda una familia de tipos a plazo bajo una medida común. La cuestión ahora es cómo alternar entre las diferentes medidas futuras. Mediante el teorema multivariado de Girsanov se puede demostrar ^{[3] [4]} que ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle dW^{Q_{T_{j}}}(t)={\begin{cases}dW^{Q_{T_{p}}}(t)-\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j<p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)&j=p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)+\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j>p\end{cases}}}$$

$${\displaystyle dL_{j}(t)={\begin{cases}L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)-L_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j<p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)&j=p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)+L_{j}(t)\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j>p\\\end{cases}}}$$

Referencias

1. M. Musiela, M. Rutkowski: métodos de martingala en modelos financieros. 2da ed. Nueva York: Springer-Verlag, 2004. Imprimir.
2. "Le Guide de la Pratique de la Finance - Broché - Olivier Drean - Achat Livre | Fnac". Archivado desde el original el 9 de noviembre de 2018.
3. D. Papaioannou (2011): "Teorema de Girsanov multidimensional aplicado", SSRN
4. "Un acompañamiento a un curso sobre modelos de tasas de interés: con discusión de los modelos Black-76, Vasicek y HJM y una suave introducción al modelo de mercado LIBOR multivariado"

Literatura

• Brace, A., Gatarek, D. et Musiela, M. (1997): “El modelo de mercado de la dinámica de las tasas de interés”, Mathematical Finance, 7(2), 127-154.
• Miltersen, K., Sandmann, K. et Sondermann, D., (1997): “Soluciones de forma cerrada para derivados de estructura a plazo con tasas de interés logarítmicas normales”, Journal of Finance, 52(1), 409-430.
• Wernz, J. (2020): “Gestión y control bancario”, Springer Nature, 85-88

enlaces externos

• Applets de Java para la fijación de precios según un modelo de mercado LIBOR y métodos Monte-Carlo
• Código fuente de Jave y hoja de cálculo de un modelo de mercado LIBOR, incluida la calibración para la swapción y la valoración del producto.
• Apuntes de Damiano Brigo sobre el modelo de mercado LIBOR para el curso de renta fija de la Universidad Bocconi