Teorema de Abel-Ruffini

Las ecuaciones de grado 5 o superior no pueden resolverse mediante radicales.

En matemáticas , el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como teorema de imposibilidad de Abel ) establece que no hay solución en radicales para ecuaciones polinómicas generales de grado cinco o superior con coeficientes arbitrarios . Aquí, general significa que los coeficientes de la ecuación se ven y manipulan como indeterminados .

El teorema lleva el nombre de Paolo Ruffini , quien hizo una demostración incompleta en 1799 ^[1] (que fue refinada y completada en 1813 ^[2] y aceptada por Cauchy) y Niels Henrik Abel , quien proporcionó una demostración en 1824. ^{[3] [ 4]}

El teorema de Abel-Ruffini se refiere también al resultado ligeramente más sólido de que hay ecuaciones de grado cinco y superiores que no pueden resolverse mediante radicales. Esto no se sigue del enunciado del teorema de Abel, sino que es un corolario de su prueba, ya que su prueba se basa en el hecho de que algunos polinomios en los coeficientes de la ecuación no son el polinomio cero. Esta afirmación mejorada se deriva directamente de la teoría de Galois § Un ejemplo quíntico sin solución . La teoría de Galois implica también que

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

es la ecuación más simple que no se puede resolver en radicales, y que casi todos los polinomios de grado cinco o superior no se pueden resolver en radicales.

La imposibilidad de resolver en grado cinco o superior contrasta con el caso de grado inferior: se tiene la fórmula cuadrática , la fórmula cúbica y la fórmula cuártica para los grados dos, tres y cuatro, respectivamente.

Contexto

Las ecuaciones polinómicas de grado dos se pueden resolver con la fórmula cuadrática , conocida desde la antigüedad . De manera similar , durante el siglo XVI se encontraron la fórmula cúbica para el grado tres y la fórmula cuártica para el grado cuatro. En aquella época un problema fundamental era si las ecuaciones de grado superior podían resolverse de forma similar.

El hecho de que toda ecuación polinómica de grado positivo tiene soluciones, posiblemente no reales , fue afirmado durante el siglo XVII, pero no se demostró completamente hasta principios del siglo XIX. Este es el teorema fundamental del álgebra , que no proporciona ninguna herramienta para calcular exactamente las soluciones, aunque el método de Newton permite aproximar las soluciones con cualquier precisión deseada.

Desde el siglo XVI hasta principios del XIX, el principal problema del álgebra fue buscar una fórmula para las soluciones de ecuaciones polinomiales de grado cinco y superiores, de ahí el nombre de "teorema fundamental del álgebra". Esto significaba una solución en radicales , es decir, una expresión que involucraba solo los coeficientes de la ecuación y las operaciones de suma , resta , multiplicación , división y extracción de raíz n- ésima .

El teorema de Abel-Ruffini demuestra que esto es imposible. Sin embargo, esta imposibilidad no implica que una ecuación específica de cualquier grado no pueda resolverse en radicales. Por el contrario, existen ecuaciones de cualquier grado que se pueden resolver en radicales. Es el caso de la ecuación para cualquier n , y de las ecuaciones definidas por polinomios ciclotómicos , todas cuyas soluciones pueden expresarse en radicales. ${\displaystyle x^{n}-1=0}$

La demostración del teorema de Abel no contiene explícitamente la afirmación de que existen ecuaciones específicas que no pueden resolverse mediante radicales. Tal afirmación no es una consecuencia del enunciado del teorema de Abel, ya que el enunciado no excluye la posibilidad de que "cada ecuación quíntica particular pueda ser soluble, con una fórmula especial para cada ecuación". ^[5] Sin embargo, la existencia de ecuaciones específicas que no pueden resolverse en radicales parece ser una consecuencia de la prueba de Abel, ya que la prueba utiliza el hecho de que algunos polinomios en los coeficientes no son el polinomio cero y, dado un número finito de polinomios, hay valores de las variables en los que ninguno de los polinomios toma el valor cero.

Poco después de la publicación de su prueba por parte de Abel, Évariste Galois introdujo una teoría, ahora llamada teoría de Galois , que permite decidir, para cualquier ecuación dada, si se puede resolver en radicales. Esto era puramente teórico antes del surgimiento de las computadoras electrónicas . Con las computadoras y programas modernos, se puede decidir si un polinomio se puede resolver mediante radicales para polinomios de grado hasta 31. ^{[ cita necesaria ]} Calcular las soluciones en radicales de polinomios solubles requiere cálculos enormes y, a partir de 2023 ^[actualizar], no se ha implementado ningún algoritmo publicado para polinomios de grado superior a siete. ^{[ cita necesaria ]} Incluso para el grado cinco, la expresión de las soluciones es tan grande que no tiene ningún interés práctico.

Prueba

La prueba del teorema de Abel-Ruffini es anterior a la teoría de Galois . Sin embargo, la teoría de Galois permite una mejor comprensión del tema y las pruebas modernas generalmente se basan en ella, mientras que las pruebas originales del teorema de Abel-Ruffini todavía se presentan con fines históricos. ^{[1] [6] [7] [8]}

Las pruebas basadas en la teoría de Galois comprenden cuatro pasos principales: la caracterización de ecuaciones solubles en términos de teoría de campos ; el uso de la correspondencia de Galois entre subcampos de un campo dado y los subgrupos de su grupo de Galois para expresar esta caracterización en términos de grupos solubles ; la prueba de que el grupo simétrico no tiene solución si su grado es cinco o superior; y la existencia de polinomios con grupo de Galois simétrico.

Soluciones algebraicas y teoría de campos.

Una solución algebraica de una ecuación polinómica es una expresión que involucra las cuatro operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) y extracciones de raíces . Tal expresión puede verse como la descripción de un cálculo que comienza con los coeficientes de la ecuación a resolver y continúa calculando algunos números, uno tras otro.

En cada paso del cálculo, se puede considerar el campo más pequeño que contiene todos los números que se han calculado hasta ahora. Este campo se cambia sólo para los pasos que implican el cálculo de una raíz enésima .

Entonces, una solución algebraica produce una secuencia

${\displaystyle F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{k}}$

de campos y elementos tales que para con para algún número entero Existe una solución algebraica de la ecuación polinómica inicial si y sólo si existe una secuencia de campos tal que contenga una solución. ${\displaystyle x_{i}\in F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}(x_{i})}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,k,}$ ${\displaystyle x_{i}^{n_{i}}\in F_{i-1}}$ ${\displaystyle n_{i}>1.}$ ${\displaystyle F_{k}}$

Para tener extensiones normales , que son fundamentales para la teoría, se debe refinar la secuencia de campos de la siguiente manera. Si no contiene las -ésimas raíces de la unidad , se introduce el campo que se extiende por una raíz primitiva de la unidad , y se redefine como ${\displaystyle F_{i-1}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle F_{i-1}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle K_{i}(x_{i}).}$

Entonces, si se parte de una solución en términos de radicales, se obtiene una secuencia creciente de campos tales que el último contiene la solución, y cada uno es una extensión normal del anterior con un grupo de Galois que es cíclico .

Por el contrario, si uno tiene tal secuencia de campos, la ecuación se puede resolver en términos de radicales. Para demostrar esto, basta demostrar que se puede construir una extensión normal con un grupo de Galois cíclico a partir de una sucesión de extensiones radicales .

Correspondencia de Galois

La correspondencia de Galois establece una correspondencia uno a uno entre las subextensiones de una extensión de campo normal y los subgrupos del grupo de Galois de la extensión. Esta correspondencia asigna un campo K tal al grupo de Galois de los automorfismos de F que dejan K fijo y, a la inversa, asigna un subgrupo H de al campo de los elementos de F que están fijados por H. ${\displaystyle F/E}$ ${\displaystyle E\subseteq K\subseteq F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/E)}$

La sección anterior muestra que una ecuación tiene solución en términos de radicales si y sólo si el grupo de Galois de su campo de división (el campo más pequeño que contiene todas las raíces) es solucionable , es decir, contiene una secuencia de subgrupos tal que cada uno es normal en el anterior, con un grupo cociente que es cíclico . (Los grupos solubles se definen comúnmente con grupos abelianos en lugar de grupos de cocientes cíclicos, pero el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos muestra que las dos definiciones son equivalentes).

Entonces, para demostrar el teorema de Abel-Ruffini, queda por demostrar que el grupo simétrico no tiene solución y que existen polinomios con grupo de Galois simétrico. ${\displaystyle S_{5}}$

Grupos simétricos solubles

Para n > 4 , el grupo simétrico de grado n tiene solo el grupo alterno como un subgrupo normal no trivial (ver Grupo simétrico § Subgrupos normales ). Para n > 4 , el grupo alterno no es abeliano y simple (es decir, no tiene ningún subgrupo normal no trivial). Esto implica que ambos y no tienen solución para n > 4 . Así, el teorema de Abel-Ruffini resulta de la existencia de polinomios con un grupo de Galois simétrico; esto se mostrará en la siguiente sección. ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

Por otro lado, para n ≤ 4 , el grupo simétrico y todos sus subgrupos tienen solución. Esto explica la existencia de las fórmulas cuadrática , cúbica y cuártica , ya que un resultado importante de la teoría de Galois es que una ecuación polinómica tiene solución en radicales si y sólo si su grupo de Galois es resoluble (el término "grupo soluble" tiene su origen de este teorema).

Polinomios con grupos de Galois simétricos

ecuación general

La ecuación polinómica general o genérica de grado n es la ecuación

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0,}$

donde son distintos indeterminados . Esta es una ecuación definida sobre el campo de las fracciones racionales con coeficientes de números racionales . El teorema original de Abel-Ruffini afirma que, para n > 4 , esta ecuación no se puede resolver en radicales. En vista de las secciones anteriores, esto resulta del hecho de que el grupo de Galois sobre F de la ecuación es el grupo simétrico (este grupo de Galois es el grupo de los automorfismos de campo del campo de división de la ecuación que fijan los elementos de F , donde el campo de división es el campo más pequeño que contiene todas las raíces de la ecuación). ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

Para demostrar que el grupo de Galois existe, es más sencillo empezar desde la raíz. Sean nuevos indeterminados, destinados a ser las raíces, y consideremos el polinomio. ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n},}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle P(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_{n}=(x-x_{1})\cdots (x-x_{n}).}$

Sea el campo de las fracciones racionales en y su subcampo generado por los coeficientes de Las permutaciones de los automorfismos inducidos de H . Las fórmulas de Vieta implican que cada elemento de K es una función simétrica de y, por tanto, está fijado por todos estos automorfismos. De ello se deduce que el grupo de Galois es el grupo simétrico ${\displaystyle H=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ ${\displaystyle P(x).}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (H/K)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}.}$

El teorema fundamental de los polinomios simétricos implica que son algebraicos independientes , y por tanto que el mapa que envía cada uno al correspondiente es un isomorfismo de campo de F a K. Esto significa que se puede considerar como una ecuación genérica. Esto finaliza la prueba de que el grupo de Galois de una ecuación general es el grupo simétrico y, por lo tanto, prueba el teorema original de Abel-Ruffini, que afirma que la ecuación polinómica general de grado n no se puede resolver en radicales para n > 4 . ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle P(x)=0}$

Ejemplo explícito

La ecuación no se puede resolver en radicales, como se explicará a continuación. ${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

Sea q . _ Sea G su grupo de Galois, que actúa fielmente sobre el conjunto de raíces complejas de q . Numerar las raíces permite identificar G con un subgrupo del grupo simétrico . Dado que factores como en , el grupo G contiene una permutación que es un producto de ciclos disjuntos de longitudes 2 y 3 (en general, cuando un polinomio entero mónico reduce módulo a primo a un producto de polinomios irreducibles mónicos distintos, los grados de los factores dar las longitudes de los ciclos disjuntos en alguna permutación perteneciente al grupo de Galois); entonces G también contiene , que es una transposición . Dado que es irreducible en , el mismo principio muestra que G contiene un ciclo de 5 . Debido a que 5 es primo, cualquier transposición y 5 ciclos generan todo el grupo; ver Grupo simétrico § Generadores y relaciones . De este modo . Como el grupo no se puede resolver, la ecuación no se puede resolver en radicales. ${\displaystyle x^{5}-x-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle q{\bmod {2}}}$ ${\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{3}}$ ${\displaystyle q{\bmod {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}[x]}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle G={\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

El resolutivo de Cayley

Se puede probar si una quíntica específica se puede resolver en radicales utilizando el solvente de Cayley . Este es un polinomio univariado de grado seis cuyos coeficientes son polinomios en los coeficientes de una quíntica genérica. Una quíntica irreducible específica se puede resolver en radicales si y sólo cuando sus coeficientes se sustituyen en el resolutivo de Cayley, el polinomio sextico resultante tiene una raíz racional .

Historia

Hacia 1770, Joseph Louis Lagrange inició los trabajos preliminares que unificaron los diferentes métodos que se habían utilizado hasta ese momento para resolver ecuaciones, relacionándolos con la teoría de grupos de permutaciones , en forma de resolutivos de Lagrange . ^[9] Este trabajo innovador de Lagrange fue un precursor de la teoría de Galois, y su fracaso en desarrollar soluciones para ecuaciones de quinto grado y superiores insinuó que tales soluciones podrían ser imposibles, pero no proporcionó pruebas concluyentes. La primera persona que conjeturó que el problema de resolver las quinticas mediante radicales podría ser imposible de resolver fue Carl Friedrich Gauss , quien escribió en 1798 en la sección 359 de su libro Disquisitiones Arithmeticae (que se publicaría recién en 1801) que "hay pocas dudas que este problema no desafía tanto los métodos modernos de análisis como que propone lo imposible". Al año siguiente, en su tesis , escribió: "Después de que los trabajos de muchos geómetras dejaron pocas esperanzas de llegar a la resolución algebraica de la ecuación general, parece cada vez más probable que esta resolución sea imposible y contradictoria". Y añadió: "Tal vez no sea tan difícil probar, con todo rigor, la imposibilidad para el quinto grado. Mis investigaciones de esto las expondré con mayor detalle en otro lugar". En realidad, Gauss no publicó nada más sobre este tema. ^[1]

Paolo Ruffini , Teoria generale delle equazioni , 1799

El teorema fue casi demostrado por primera vez por Paolo Ruffini en 1799. ^[10] Envió su demostración a varios matemáticos para que la reconocieran, entre ellos Lagrange (que no respondió) y Augustin-Louis Cauchy , quien le envió una carta que decía: " Su memoria sobre la solución general de ecuaciones es una obra que siempre he creído que los matemáticos deberían tener en cuenta y que, en mi opinión, demuestra de manera concluyente la insolubilidad algebraica de las ecuaciones generales de grado superior al cuarto." ^[11] Sin embargo, en general, la prueba de Ruffini no se consideró convincente. Abel escribió: "El primero y, si no me equivoco, el único que, antes que yo, ha tratado de demostrar la imposibilidad de la solución algebraica de ecuaciones generales es el matemático Ruffini. Pero sus memorias son tan complicadas que resultan muy "Es difícil determinar la validez de su argumento. Me parece que su argumento no es completamente satisfactorio." ^{[11] [12]}

La prueba también, como se descubrió más tarde, era incompleta. Ruffini supuso que todos los radicales con los que estaba tratando podían expresarse a partir de las raíces del polinomio utilizando únicamente operaciones de campo; en términos modernos, asumió que los radicales pertenecían al campo de división del polinomio. Para ver por qué esto es realmente un supuesto adicional, considere, por ejemplo, el polinomio . Según la fórmula de Cardano , una de sus raíces (todas, en realidad) se puede expresar como la suma de una raíz cúbica de con una raíz cúbica de . Por otro lado, dado que , , , y , las raíces , , y de son todas reales y por lo tanto el campo es un subcampo de . Pero entonces los números no pueden pertenecer a . Si bien Cauchy no se dio cuenta de la suposición de Ruffini o consideró que era menor, la mayoría de los historiadores creen que la prueba no estuvo completa hasta que Abel demostró el teorema sobre las irracionalidades naturales, que afirma que la suposición se cumple en el caso de polinomios generales. ^{[7] [13]} Por lo tanto, el teorema de Abel-Ruffini generalmente se atribuye a Abel, quien publicó una prueba comprimida en sólo seis páginas en 1824. ^[3] (Abel adoptó un estilo muy conciso para ahorrar papel y dinero: la prueba se imprimió a su propia costa. ^[8] ) Una versión más elaborada de la prueba se publicaría en 1826. ^[4] ${\displaystyle P(x)=x^{3}-15x-20}$ ${\displaystyle 10+5i}$ ${\displaystyle 10-5i}$ ${\displaystyle P(-3)<0}$ ${\displaystyle P(-2)>0}$ ${\displaystyle P(-1)<0}$ ${\displaystyle P(5)>0}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle 10\pm 5i}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}$

Demostrar que las ecuaciones quínticas generales (y superiores) no podían resolverse mediante radicales no resolvió completamente el asunto, porque el teorema de Abel-Ruffini no proporciona las condiciones necesarias y suficientes para decir con precisión qué ecuaciones quínticas (y superiores) no pueden resolverse mediante radicales. Abel estaba trabajando en una caracterización completa cuando murió en 1829. ^[14]

Según Nathan Jacobson , "Las pruebas de Ruffini y de Abel [...] pronto fueron superadas por el logro supremo de esta línea de investigación: los descubrimientos de Galois en la teoría de las ecuaciones". ^[15] En 1830, Galois (a la edad de 18 años) presentó a la Academia de Ciencias de París una memoria sobre su teoría de la solubilidad por radicales, que finalmente fue rechazada en 1831 por ser demasiado incompleta y por dar una condición en términos de la raíces de la ecuación en lugar de sus coeficientes. Galois estaba consciente de los aportes de Ruffini y Abel, ya que escribió "Es una verdad común, hoy en día, que la ecuación general de grado mayor que 4 no puede ser resuelta por radicales... esta verdad se ha vuelto común (de oídas) a pesar de el hecho de que los geómetras hayan ignorado las pruebas de Abel y Ruffini..." ^[1] Galois murió entonces en 1832 y su artículo Mémoire sur les condition de resolubilité des équations par radicaux ^[16] permaneció inédito hasta 1846, cuando fue publicado por Joseph Liouville acompañado de algunas explicaciones propias. ^[14] Antes de esta publicación, Liouville anunció el resultado de Galois a la academia en un discurso que pronunció el 4 de julio de 1843. ^[5] Pierre Wantzel publicó una simplificación de la prueba de Abel en 1845. ^[17] Cuando Wantzel la publicó, ya conocía los aportes de Galois y menciona que, mientras que la prueba de Abel es válida sólo para polinomios generales, el enfoque de Galois puede usarse para proporcionar un polinomio concreto de grado 5 cuyas raíces no pueden expresarse en radicales a partir de sus coeficientes.

En 1963, Vladimir Arnold descubrió una prueba topológica del teorema de Abel-Ruffini, ^{[18] [19] [20]} que sirvió como punto de partida para la teoría topológica de Galois . ^[21]

Referencias

1. Ayoub, Raymond G. (1980), "Contribuciones de Paolo Ruffini al Quintic", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 22 (3): 253–277, doi :10.1007/BF00357046, JSTOR  41133596, MR  0606270, S2CID  123447349 , Zbl  0471.01008
2. Ruffini, Paolo (1813). Riflessioni alrededor de todas las soluciones delle equazioni algebraiche generali opuscolo del cav. punto. Paolo Ruffini... (en italiano). presso la Societa Tipografica.
3. Abel, Niels Henrik (1881) [1824], "Mémoire sur les équations algébriques, ou l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré" (PDF) , en Sylow, Ludwig ; Mentira, Sophus (eds.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (en francés), vol. I (2ª ed.), Grøndahl & Søn , págs. 28–33
4. Abel, Niels Henrik (1881) [1826], "Démonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré" (PDF) , en Sylow, Ludwig ; Mentira, Sophus (eds.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (en francés), vol. I (2ª ed.), Grøndahl & Søn , págs. 66–87
5. Stewart, Ian (2015), "Introducción histórica", Teoría de Galois (4ª ed.), CRC Press , ISBN 978-1-4822-4582-0
6. Rosen, Michael I. (1995), "Niels Hendrik Abel y ecuaciones de quinto grado", American Mathematical Monthly , 102 (6): 495–505, doi :10.2307/2974763, JSTOR  2974763, MR  1336636, Zbl  0836.01015
7. Tignol, Jean-Pierre (2016), "Ruffini y Abel sobre ecuaciones generales", Teoría de ecuaciones algebraicas de Galois (2ª ed.), World Scientific , ISBN 978-981-4704-69-4, Zbl  1333.12001
8. Pesic, Peter (2004), La prueba de Abel: un ensayo sobre las fuentes y el significado de la insolubilidad matemática , Cambridge: MIT Press , ISBN 0-262-66182-9, Zbl  1166.01010
9. Lagrange, Joseph-Louis (1869) [1771], "Réflexions sur la résolution algébrique des équations", en Serret, Joseph-Alfred (ed.), Œuvres de Lagrange , vol. III, Gauthier-Villars, págs. 205–421
10. Ruffini, Paolo (1799), Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto (en italiano), Stamperia di S. Tommaso d'Aquino
11. Kiernan, B. Melvin (1971), "El desarrollo de la teoría de Galois de Lagrange a Artin", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 8 (1/2): 40–154, doi :10.1007/BF00327219, JSTOR  41133337, SEÑOR  1554154, S2CID  121442989
12. Abel, Niels Henrik (1881) [1828], "Sur la resolución algébrique des équations" (PDF) , en Sylow, Ludwig ; Mentira, Sophus (eds.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (en francés), vol. II (2ª ed.), Grøndahl & Søn , págs. 217-243
13. Stewart, Ian (2015), "La idea detrás de la teoría de Galois", Teoría de Galois (4ª ed.), CRC Press , ISBN 978-1-4822-4582-0
14. Tignol, Jean-Pierre (2016), "Galois", Teoría de ecuaciones algebraicas de Galois (2ª ed.), World Scientific , ISBN 978-981-4704-69-4, Zbl  1333.12001
15. Jacobson, Nathan (2009), "Teoría de ecuaciones de Galois", Álgebra básica , vol. 1 (2ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
16. Galois, Évariste (1846), "Mémoire sur les condition de resolubilité des équations par radicaux" (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés), XI : 417–433
17. Wantzel, Pierre (1845), "Démonstration de l'impossibilité de résoudre toutes les équations algébriques avec des radicaux", Nouvelles Annales de Mathématiques (en francés), 4 : 57–65
18. Alekseev, Valeriy B. (2004), Teorema de Abel en problemas y soluciones: basado en las conferencias del profesor VI Arnold , Kluwer Academic Publishers , ISBN 1-4020-2186-0, SEÑOR  2110624, Zbl  1065.12001
19. "Breve prueba del teorema de Abel de que las ecuaciones polinomiales de quinto grado no se pueden resolver" en YouTube
20. Goldmakher, Leo, Prueba elemental de Arnold sobre la insolubilidad del quíntico (PDF)
21. Khovanskii, Askold (2014), Teoría topológica de Galois: solvabilidad e insolubilidad de ecuaciones en términos finitos , monografías de Springer en matemáticas, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-38871-2, ISBN 978-3-642-38870-5