Independencia algebraica

Conjunto sin igualdades polinomiales no triviales

En álgebra abstracta , un subconjunto de un campo es algebraicamente independiente de un subcampo si los elementos de no satisfacen ninguna ecuación polinómica no trivial con coeficientes en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$

En particular, un conjunto de un elemento es algebraicamente independiente si y sólo si es trascendental . En general, todos los elementos de un conjunto algebraicamente independiente son necesariamente trascendentales sobre , y sobre todas las extensiones de campo generadas por los elementos restantes de . ${\displaystyle \{\alpha \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplo

Los dos números reales y son números trascendentales : no son raíces de ningún polinomio no trivial cuyos coeficientes sean números racionales . Por tanto, cada uno de los dos conjuntos singleton y es algebraicamente independiente en el cuerpo de números racionales. ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle 2\pi +1}$ ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$ ${\displaystyle \{2\pi +1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Sin embargo, el conjunto no es algebraicamente independiente de los números racionales, porque el polinomio no trivial ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

es cero cuando y . ${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle y=2\pi +1}$

Independencia algebraica de constantes conocidas

Aunque se sabe que ambos y e son trascendentales, no se sabe si el conjunto de ambos es algebraicamente independiente . ^[1] De hecho, ni siquiera se sabe si es irracional. ^[2] Nesterenko demostró en 1996 que: ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi +e}$

• los números , , y , donde está la función gamma , son algebraicamente independientes de . ^[3] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• los números y son algebraicamente independientes sobre . ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle \Gamma (1/3)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• para todos los números enteros positivos , el número es algebraicamente independiente . ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Teorema de Lindemann-Weierstrass

El teorema de Lindemann-Weierstrass a menudo se puede utilizar para demostrar que algunos conjuntos son algebraicamente independientes . Afirma que siempre que hay números algebraicos que son linealmente independientes de , entonces también son algebraicamente independientes de . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

matroides algebraicas

Dada una extensión de campo que no es algebraica, el lema de Zorn se puede utilizar para demostrar que siempre existe un subconjunto máximo algebraicamente independiente de over . Además, todos los subconjuntos algebraicamente independientes máximos tienen la misma cardinalidad , conocida como grado de trascendencia de la extensión. ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

Para cada conjunto de elementos de , los subconjuntos algebraicamente independientes de satisfacen los axiomas que definen los conjuntos independientes de una matroide . En esta matroide, el rango de un conjunto de elementos es su grado de trascendencia, y el plano generado por un conjunto de elementos es la intersección con el campo . Una matroide que se puede generar de esta manera se llama matroide algebraica . No se conoce una buena caracterización de las matroides algebraicas, pero se sabe que ciertas matroides no son algebraicas; el más pequeño es el matroide Vámos . ^[5] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K[T]}$

Muchas matroides finitas pueden representarse mediante una matriz sobre un campo , en la que los elementos matroides corresponden a columnas de la matriz, y un conjunto de elementos es independiente si el conjunto correspondiente de columnas es linealmente independiente . Cada matroide con una representación lineal de este tipo también se puede representar como una matroide algebraica, eligiendo un indeterminado para cada fila de la matriz y usando los coeficientes de la matriz dentro de cada columna para asignar a cada elemento matroide una combinación lineal de estos trascendentales. Lo contrario es falso: no todas las matroides algebraicas tienen una representación lineal. ^[6] ${\displaystyle K}$

Referencias

1. Patricio Morandi (1996). Teoría de campos y de Galois. Saltador. pag. 174.ISBN​ 978-0-387-94753-2. Consultado el 11 de abril de 2008 .
2. Green, Ben (2008), "III.41 Números irracionales y trascendentales", en Gowers, Timothy (ed.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, p. 222
3. Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 49 (Segunda ed.). pag. 61.ISBN​ 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.
4. Nesterenko, Yuri V (1996). "Funciones modulares y problemas de trascendencia". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie I. 322 (10): 909–914.
5. Ingleton, AW; Main, RA (1975), "Existen matroides no algebraicas", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 7 (2): 144–146, doi :10.1112/blms/7.2.144, MR  0369110.
6. Joshi, KD (1997), Estructuras discretas aplicadas, New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.

enlaces externos

• Chen, Johnny. "Algebraicamente independiente". MundoMatemático .