Límite (matemáticas)

Valor al que se aproxima un objeto matemático

En matemáticas , un límite es el valor al que una función (o secuencia ) se acerca cuando el argumento (o índice) se acerca a algún valor. ^[1] Los límites de funciones son esenciales para el cálculo y el análisis matemático , y se utilizan para definir continuidad , derivadas e integrales . El concepto de límite de una secuencia se generaliza aún más al concepto de límite de una red topológica , y está estrechamente relacionado con el límite y el límite directo en la teoría de categorías . El límite inferior y el límite superior proporcionan generalizaciones del concepto de límite que son particularmente relevantes cuando el límite en un punto puede no existir.

Notación

En las fórmulas, el límite de una función generalmente se escribe como

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,}$

y se lee como "el límite de f de x cuando x tiende a c es igual a L ". Esto significa que el valor de la función f se puede hacer arbitrariamente cercano a L , eligiendo x suficientemente cerca de c . Alternativamente, el hecho de que una función f se acerque al límite L cuando x se aproxima a c a veces se denota con una flecha hacia la derecha (→ o ), como en ${\displaystyle \rightarrow }$

${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to c,}$

que dice " de tiende a como tiende a ". ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

Historia

Según Hankel (1871), el concepto moderno de límite se origina en la Proposición X.1 de los Elementos de Euclides , que forma la base del Método de exhaución que se encuentra en Euclides y Arquímedes: "Planteadas dos magnitudes desiguales, si a la mayor se le resta una magnitud mayor que su mitad, y a la que queda una magnitud mayor que su mitad, y si este proceso se repite continuamente, entonces quedará alguna magnitud menor que la magnitud menor planteada". ^{[2] [3]}

Grégoire de Saint-Vincent dio la primera definición de límite (término) de una serie geométrica en su obra Opus Geometricum (1647): "El término de una progresión es el fin de la serie, al que ninguna progresión puede llegar, ni siquiera si continúa en el infinito, pero al que puede aproximarse más cerca que un segmento dado". ^[4]

La definición moderna de límite se remonta a Bernard Bolzano , quien, en 1817, desarrolló los fundamentos de la técnica épsilon-delta para definir funciones continuas. Sin embargo, su trabajo permaneció desconocido para otros matemáticos hasta treinta años después de su muerte. ^[5]

Augustin-Louis Cauchy en 1821, ^[6] seguido por Karl Weierstrass , formalizó la definición del límite de una función que se conoció como la (ε, δ)-definición de límite .

La notación moderna de colocar la flecha debajo del símbolo de límite se debe a GH Hardy , quien la introdujo en su libro Un curso de matemáticas puras en 1908. ^[7]

Tipos de límites

En secuencias

Números reales

La expresión 0,999... debe interpretarse como el límite de la secuencia 0,9, 0,99, 0,999,... y así sucesivamente. Se puede demostrar rigurosamente que esta secuencia tiene el límite 1 y, por lo tanto, esta expresión se interpreta de manera significativa como si tuviera el valor 1. ^[8]

Formalmente, supongamos que a ₁ , a ₂ , ... es una secuencia de números reales . Cuando existe el límite de la secuencia, el número real L es el límite de esta secuencia si y solo si para cada número real ε > 0 , existe un número natural N tal que para todo n > N , tenemos | a _n − L | < ε . ^[9] La notación común se lee como: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$$

"El límite de un _n cuando n tiende a infinito es igual a L " o "El límite cuando n tiende a infinito de un _n es igual a L ".

La definición formal significa intuitivamente que, eventualmente, todos los elementos de la secuencia se acercan arbitrariamente al límite, ya que el valor absoluto | a _n − L | es la distancia entre a _n y L .

No todas las sucesiones tienen un límite. Una sucesión con un límite se llama convergente ; en caso contrario, se llama divergente . Se puede demostrar que una sucesión convergente tiene un solo límite.

El límite de una secuencia y el límite de una función están estrechamente relacionados. Por un lado, el límite cuando n tiende a infinito de una secuencia { a _n } es simplemente el límite en el infinito de una función a ( n ) —definida en los números naturales { n } . Por otro lado, si X es el dominio de una función f ( x ) y si el límite cuando n tiende a infinito de f ( x _n ) es L para cada secuencia arbitraria de puntos { x _n } en X − x ₀ que converge a x ₀ , entonces el límite de la función f ( x ) cuando x tiende a x ₀ es igual a L . ^[10] Una de esas secuencias sería { x ₀ + 1/ n } .

El infinito como límite

También existe la noción de tener un límite que "tiende al infinito", en lugar de a un valor finito . Se dice que una secuencia "tiende al infinito" si, para cada número real , conocido como límite, existe un entero tal que para cada , Es decir, para cada límite posible, la secuencia eventualmente excede el límite. Esto a menudo se escribe o simplemente . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ $${\displaystyle a_{n}>M.}$$ ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty }$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow \infty }$

Es posible que una sucesión sea divergente, pero no tienda al infinito. Estas sucesiones se denominan oscilatorias . Un ejemplo de una sucesión oscilatoria es . ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$

Existe una noción correspondiente de tendencia al infinito negativo, , definida al cambiar la desigualdad en la definición anterior a con ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=-\infty }$ ${\displaystyle a_{n}<M,}$ ${\displaystyle M<0.}$

Una sucesión con se llama ilimitada , definición igualmente válida para sucesiones en los números complejos o en cualquier espacio métrico . Las sucesiones que no tienden a infinito se llaman acotadas . Las sucesiones que no tienden a infinito positivo se llaman acotadas por encima , mientras que las que no tienden a infinito negativo se llaman acotadas por debajo . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|=\infty }$

Espacio métrico

La discusión de secuencias anterior es para secuencias de números reales. La noción de límites se puede definir para secuencias valoradas en espacios más abstractos, como espacios métricos . Si es un espacio métrico con función de distancia , y es una secuencia en , entonces el límite (cuando existe) de la secuencia es un elemento tal que, dado , existe un tal que para cada , tenemos Una afirmación equivalente es que si la secuencia de números reales . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a\in M}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ $${\displaystyle d(a,a_{n})<\epsilon .}$$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ ${\displaystyle d(a,a_{n})\rightarrow 0}$

Ejemplo: R^norte

Un ejemplo importante es el espacio de vectores reales -dimensionales, con elementos donde cada uno de ellos es real, un ejemplo de una función de distancia adecuada es la distancia euclidiana , definida por La secuencia de puntos converge a si existe el límite y . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ $${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$$ ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} \|\rightarrow 0}$

Espacio topológico

En cierto sentido, el espacio más abstracto en el que se pueden definir límites son los espacios topológicos . Si es un espacio topológico con topología , y es una sucesión en , entonces el límite (cuando existe) de la sucesión es un punto tal que, dado un entorno (abierto) de , existe un tal que para cada , se satisface. En este caso, el límite (si existe) puede no ser único. Sin embargo, debe ser único si es un espacio de Hausdorff . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ $${\displaystyle a_{n}\in U}$$ ${\displaystyle X}$

Espacio funcional

Esta sección trata de la idea de límites de secuencias de funciones, que no debe confundirse con la idea de límites de funciones, que se analiza más adelante.

El campo del análisis funcional busca en parte identificar nociones útiles de convergencia en espacios de funciones. Por ejemplo, considere el espacio de funciones de un conjunto genérico a . Dada una secuencia de funciones tales que cada una es una función , suponga que existe una función tal que para cada , ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n>0}}$ ${\displaystyle f_{n}:E\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in E}$ $${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x){\text{ or equivalently }}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

Se dice entonces que la secuencia converge puntualmente a . Sin embargo, estas secuencias pueden presentar un comportamiento inesperado. Por ejemplo, es posible construir una secuencia de funciones continuas que tenga un límite puntual discontinuo. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Otro concepto de convergencia es la convergencia uniforme . La distancia uniforme entre dos funciones es la diferencia máxima entre las dos funciones cuando varía el argumento. Es decir, entonces se dice que la secuencia converge uniformemente o tiene un límite uniforme de si con respecto a esta distancia. El límite uniforme tiene propiedades "más agradables" que el límite puntual. Por ejemplo, el límite uniforme de una secuencia de funciones continuas es continuo. ${\displaystyle f,g:E\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in E}$ $${\displaystyle d(f,g)=\max _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$

Se pueden definir muchas nociones diferentes de convergencia en espacios funcionales. Esto a veces depende de la regularidad del espacio. Ejemplos destacados de espacios funcionales con alguna noción de convergencia son los espacios Lp y el espacio de Sobolev .

En funciones

Una función f ( x ) cuyo límite en el infinito es L . Para cualquier distancia arbitraria ε , debe haber un valor S tal que la función se mantenga dentro de L ± ε para todo x > S .

Supongamos que f es una función de valor real y c es un número real . Intuitivamente hablando, la expresión

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

significa que f ( x ) puede hacerse tan cercana a L como se desee, haciendo que x esté suficientemente cerca de c . ^[11] En ese caso, la ecuación anterior puede leerse como "el límite de f de x , cuando x se acerca a c , es L ".

Formalmente, la definición del "límite de cuando tiende a " se da de la siguiente manera. El límite es un número real de modo que, dado un número real arbitrario (considerado como el "error"), existe un tal que, para cualquier satisfactor , se cumple que . Esto se conoce como la (ε, δ)-definición de límite . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$

La desigualdad se utiliza para excluir del conjunto los puntos en consideración, pero algunos autores no incluyen esto en su definición de límites, reemplazando simplemente por . Esta sustitución equivale a exigir además que sea continua en . ${\displaystyle 0<|x-c|}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ${\displaystyle |x-c|<\delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Se puede demostrar que existe una definición equivalente que pone de manifiesto la conexión entre límites de sucesiones y límites de funciones. ^[12] La definición equivalente se da como sigue. Primero observe que para cada sucesión en el dominio de , hay una sucesión asociada , la imagen de la sucesión bajo . El límite es un número real de modo que, para todas las sucesiones , la sucesión asociada . ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

Límite unilateral

Es posible definir la noción de tener un límite "izquierdo" ("desde abajo"), y una noción de un límite "diestro" ("desde arriba"). Estas no necesitan coincidir. Un ejemplo lo da la función indicadora positiva , , definida de tal manera que si , y si . En , la función tiene un "límite izquierdo" de 0, un "límite derecho" de 1, y su límite no existe. Simbólicamente, esto se puede expresar como, para este ejemplo, , y , y de esto se puede deducir que no existe, porque . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\leq 0}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)}$

Infinito en límites de funciones

Es posible definir la noción de "tender al infinito" en el dominio de , ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=L.}$$

Esto podría considerarse equivalente al límite ya que un recíproco tiende a 0: $${\displaystyle \lim _{x'\rightarrow 0^{+}}f(1/x')=L.}$$

o puede definirse directamente: el "límite de como tiende a infinito positivo" se define como un valor tal que, dado cualquier real , existe un tal que para todo , . La definición para sucesiones es equivalente: Como , tenemos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x>M}$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$ ${\displaystyle n\rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$

En estas expresiones, el infinito se considera normalmente con signo ( o ) y corresponde a un límite unilateral del recíproco. Se puede definir un límite infinito bilateral, pero un autor lo escribiría explícitamente para que quede claro. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \pm \infty }$

También es posible definir la noción de "tender al infinito" en el valor de , ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty .}$$

Nuevamente, esto podría definirse en términos de un recíproco: $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{f(x)}}=0.}$$

O se puede dar una definición directa de la siguiente manera: dado cualquier número real , existe un de modo que para , el valor absoluto de la función . Una sucesión también puede tener un límite infinito: como , la sucesión . ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 0<|x-c|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)|>M}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow \infty }$

Esta definición directa es más fácil de extender a límites infinitos unilaterales. Si bien los matemáticos hablan de funciones que se aproximan a los límites "desde arriba" o "desde abajo", no existe una notación matemática estándar para esto, como sí la hay para los límites unilaterales.

Análisis no estándar

En el análisis no estándar (que implica una ampliación hiperreal del sistema numérico), el límite de una secuencia se puede expresar como la parte estándar del valor de la extensión natural de la secuencia en un índice hipernatural infinito n=H . Por lo tanto, ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{H}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H}).}$

Aquí, la función de la parte estándar "st" redondea cada número hiperreal finito al número real más cercano (la diferencia entre ellos es infinitesimal ). Esto formaliza la intuición natural de que para valores "muy grandes" del índice, los términos de la secuencia están "muy cerca" del valor límite de la secuencia. Por el contrario, la parte estándar de un hiperreal representado en la construcción de ultrapotencia por una secuencia de Cauchy , es simplemente el límite de esa secuencia: ${\displaystyle a=[a_{n}]}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}$

En este sentido, tomar el límite y tomar la parte estándar son procedimientos equivalentes.

Conjuntos de límites

Conjunto límite de una secuencia

Sea una sucesión en un espacio topológico . Para ser más concretos, se puede pensar en ella como , pero las definiciones son válidas de manera más general. El conjunto límite es el conjunto de puntos tales que si hay una subsecuencia convergente con , entonces pertenece al conjunto límite. En este contexto, a veces se denomina punto límite a dicha subsecuencia. ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k>0}}$ ${\displaystyle a_{n_{k}}\rightarrow a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Un uso de esta noción es caracterizar el "comportamiento a largo plazo" de secuencias oscilatorias. Por ejemplo, considere la secuencia . A partir de n=1, los primeros términos de esta secuencia son . Se puede comprobar que es oscilatoria, por lo que no tiene límite, pero tiene puntos límite . ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$ ${\displaystyle -1,+1,-1,+1,\cdots }$ ${\displaystyle \{-1,+1\}}$

Conjunto límite de una trayectoria

Esta noción se utiliza en sistemas dinámicos para estudiar los límites de las trayectorias. Si se define una trayectoria como una función , se considera que el punto es la "posición" de la trayectoria en el "tiempo" . El conjunto límite de una trayectoria se define de la siguiente manera. A cualquier secuencia de tiempos crecientes , hay una secuencia asociada de posiciones . Si es el conjunto límite de la secuencia para cualquier secuencia de tiempos crecientes, entonces es un conjunto límite de la trayectoria. ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}=\{\gamma (t_{n})\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle x}$

Técnicamente, este es el conjunto límite. El conjunto límite correspondiente para secuencias de tiempo decreciente se denomina conjunto límite. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$

Un ejemplo ilustrativo es la trayectoria circular: . Esta no tiene un límite único, pero para cada , el punto es un punto límite, dado por la secuencia de tiempos . Pero no es necesario que los puntos límite se alcancen en la trayectoria. La trayectoria también tiene como límite el círculo unitario. ${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}$ ${\displaystyle t_{n}=\theta +2\pi n}$ ${\displaystyle \gamma (t)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t))}$

Usos

Los límites se utilizan para definir una serie de conceptos importantes en el análisis.

Serie

Una expresión particular de interés que se formaliza como el límite de una secuencia son las sumas de series infinitas. Estas son "sumas infinitas" de números reales, generalmente escritas como Esto se define a través de límites de la siguiente manera: ^[12] dada una secuencia de números reales , la secuencia de sumas parciales se define como Si existe el límite de la secuencia , el valor de la expresión se define como el límite. De lo contrario, se dice que la serie es divergente. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ $${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$$ ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Un ejemplo clásico es el problema de Basilea , donde . Entonces ${\displaystyle a_{n}=1/n^{2}}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Sin embargo, mientras que para las sucesiones existe esencialmente una noción única de convergencia, para las series existen diferentes nociones de convergencia. Esto se debe a que la expresión no discrimina entre diferentes ordenamientos de la sucesión , mientras que las propiedades de convergencia de la sucesión de sumas parciales pueden depender del ordenamiento de la sucesión. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$

Una serie que converge para todos los ordenamientos se denomina incondicionalmente convergente . Se puede demostrar que es equivalente a la convergencia absoluta . Esto se define de la siguiente manera. Una serie es absolutamente convergente si está bien definida. Además, todos los posibles ordenamientos dan el mismo valor. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$

De lo contrario, la serie es condicionalmente convergente . Un resultado sorprendente para las series condicionalmente convergentes es el teorema de series de Riemann : dependiendo del orden, las sumas parciales pueden converger a cualquier número real, así como . ${\displaystyle \pm \infty }$

Serie de potencias

Una aplicación útil de la teoría de las sumas de series es para las series de potencias. Estas son sumas de series de la forma A menudo se considera un número complejo y se necesita una noción adecuada de convergencia de secuencias complejas. El conjunto de valores de para el cual converge la suma de la serie es un círculo, cuyo radio se conoce como radio de convergencia . $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Continuidad de una función en un punto

La definición de continuidad en un punto viene dada por límites.

La definición anterior de límite es verdadera incluso si . De hecho, la función f ni siquiera necesita estar definida en c . Sin embargo, si está definida y es igual a , entonces se dice que la función es continua en el punto . ${\displaystyle f(c)\neq L}$ ${\displaystyle f(c)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c}$

De manera equivalente, la función es continua en si como , o en términos de secuencias, siempre que , entonces . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)\rightarrow f(c)}$ ${\displaystyle x\rightarrow c}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow f(c)}$

A continuación se muestra un ejemplo de un límite donde no está definido . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Considere la función

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}.}$$

entonces f (1) no está definida (ver Forma indeterminada ), pero a medida que x se mueve arbitrariamente cerca de 1, f ( x ) se acerca correspondientemente a 2: ^[13]

Por lo tanto, f ( x ) puede hacerse arbitrariamente cercana al límite de 2, simplemente haciendo que x sea suficientemente cercana a 1 .

En otras palabras, $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}$$

Esto también se puede calcular algebraicamente, como para todos los números reales x ≠ 1 . ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$

Ahora, como x + 1 es continua en x en 1, podemos sustituir 1 por x , lo que nos lleva a la ecuación $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}$$

Además de los límites en valores finitos, las funciones también pueden tener límites en el infinito. Por ejemplo, considere la función donde: $${\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x}}}$$

• f (100) = 1,9900
• f (1000) = 1,9990
• f (10000) = 1,9999

A medida que x se vuelve extremadamente grande, el valor de f ( x ) se acerca a 2 y el valor de f ( x ) se puede hacer tan cercano a 2 como se desee, haciendo que x sea lo suficientemente grande. Por lo tanto, en este caso, el límite de f ( x ) cuando x tiende al infinito es 2 o, en notación matemática, $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.}$$

Funciones continuas

Una clase importante de funciones cuando se consideran límites son las funciones continuas . Éstas son precisamente aquellas funciones que preservan los límites , en el sentido de que si es una función continua, entonces siempre que esté en el dominio de , entonces el límite existe y además es . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a_{n})}$ ${\displaystyle f(a)}$

En el contexto más general de los espacios topológicos, a continuación se ofrece una breve demostración:

Sea una función continua entre espacios topológicos y . Por definición, para cada conjunto abierto en , la preimagen es abierta en . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X}$

Ahora supongamos que es una secuencia con límite en . Entonces es una secuencia en , y es algún punto. ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(a_{n})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(a)}$

Elijamos un entorno de . Entonces es un conjunto abierto (por continuidad de ) que en particular contiene a , y por lo tanto es un entorno de . Por la convergencia de a , existe un tal que para , tenemos . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle a_{n}\in f^{-1}(V)}$

Luego, al aplicarlo a ambos lados, obtenemos que, para el mismo , para cada uno tenemos . Originalmente era un entorno arbitrario de , por lo que . Esto concluye la prueba. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle f(a_{n})\in V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(a_{n})\rightarrow f(a)}$

En el análisis real, para el caso más concreto de funciones de valor real definidas en un subconjunto , es decir, , una función continua también puede definirse como una función que es continua en cada punto de su dominio. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} }$

Puntos límite

En topología , los límites se utilizan para definir puntos límite de un subconjunto de un espacio topológico, que a su vez proporcionan una caracterización útil de conjuntos cerrados .

En un espacio topológico , considere un subconjunto . Un punto se denomina punto límite si existe una secuencia en tal que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle S\backslash \{a\}}$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$

La razón por la que se define como estar en en lugar de simplemente estar se ilustra con el siguiente ejemplo. Tome y . Entonces , y por lo tanto es el límite de la secuencia constante . Pero no es un punto límite de . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle S\backslash \{a\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=[0,1]\cup \{2\}}$ ${\displaystyle 2\in S}$ ${\displaystyle 2,2,\cdots }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle S}$

Un conjunto cerrado, que se define como el complemento de un conjunto abierto, es equivalentemente cualquier conjunto que contiene todos sus puntos límite. ${\displaystyle C}$

Derivado

La derivada se define formalmente como un límite. En el ámbito del análisis real , la derivada se define primero para funciones reales definidas en un subconjunto . La derivada en se define de la siguiente manera. Si existe el límite de como , entonces la derivada en es este límite. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in E}$ $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$ ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle x}$

De manera equivalente, es el límite a partir de ${\displaystyle y\rightarrow x}$ $${\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}.}$$

Si la derivada existe, comúnmente se denota por . ${\displaystyle f'(x)}$

Propiedades

Sucesiones de números reales

Para las secuencias de números reales, se pueden demostrar varias propiedades. ^[12] Supongamos que y son dos secuencias que convergen a y respectivamente. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

• La suma de los límites es igual al límite de la suma

$${\displaystyle a_{n}+b_{n}\rightarrow a+b.}$$

• El producto de los límites es igual al límite del producto.

$${\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow a\cdot b.}$$

• El inverso del límite es igual al límite del inverso (siempre que ) ${\displaystyle a\neq 0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}\rightarrow {\frac {1}{a}}.}$$De manera equivalente, la función es continua respecto de un valor distinto de cero . ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ${\displaystyle x}$

Secuencias de Cauchy

Una propiedad de las secuencias convergentes de números reales es que son secuencias de Cauchy . ^[12] La definición de una secuencia de Cauchy es que para cada número real , existe un tal que siempre que , ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N}$ $${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\epsilon .}$$

De manera informal, para cualquier error arbitrariamente pequeño , es posible encontrar un intervalo de diámetro tal que eventualmente la secuencia esté contenida dentro del intervalo. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Las sucesiones de Cauchy están estrechamente relacionadas con las sucesiones convergentes. De hecho, para las sucesiones de números reales son equivalentes: cualquier sucesión de Cauchy es convergente.

En espacios métricos generales, sigue siendo válido que las sucesiones convergentes también son de Cauchy. Pero lo inverso no es cierto: no toda sucesión de Cauchy es convergente en un espacio métrico general. Un contraejemplo clásico son los números racionales , , con la distancia habitual. La sucesión de aproximaciones decimales a , truncada en el decimal n es una sucesión de Cauchy, pero no converge en . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un espacio métrico en el que cada secuencia de Cauchy es también convergente, es decir, las secuencias de Cauchy son equivalentes a secuencias convergentes, se conoce como espacio métrico completo .

Una razón por la que las secuencias de Cauchy pueden ser "más fáciles de trabajar" que las secuencias convergentes es que son una propiedad de la secuencia únicamente, mientras que las secuencias convergentes requieren no sólo la secuencia sino también el límite de la secuencia . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle a}$

Orden de convergencia

Más allá de si una secuencia converge o no a un límite , es posible describir la rapidez con la que una secuencia converge a un límite. Una forma de cuantificar esto es utilizando el orden de convergencia de una secuencia. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle a}$

Una definición formal del orden de convergencia puede enunciarse de la siguiente manera. Supongamos que es una secuencia de números reales que es convergente con límite . Además, para todos los . Si existen constantes positivas y tales que entonces se dice que converge a con orden de convergencia . La constante se conoce como constante de error asintótico. ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{n}\neq a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\left|a_{n+1}-a\right|}{\left|a_{n}-a\right|^{\alpha }}}=\lambda }$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$

El orden de convergencia se utiliza, por ejemplo, en el campo del análisis numérico , en el análisis de errores.

Computabilidad

Los límites pueden ser difíciles de calcular. Existen expresiones límite cuyo módulo de convergencia es indecidible . En la teoría de la recursión , el lema del límite demuestra que es posible codificar problemas indecidibles utilizando límites. ^[14]

Existen varios teoremas o pruebas que indican si existe el límite. Se conocen como pruebas de convergencia . Algunos ejemplos son la prueba de la razón y el teorema de compresión . Sin embargo, es posible que no indiquen cómo calcular el límite.

Véase también

• Análisis asintótico : un método para describir el comportamiento límite
  • Notación O grande : se utiliza para describir el comportamiento límite de una función cuando el argumento tiende hacia un valor particular o infinito
• Límite de Banach definido en el espacio de Banach que extiende los límites habituales. ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• Convergencia de variables aleatorias
• Matriz convergente
• Límite en la teoría de categorías
  • Límite directo
  • Límite inverso
• Límite de una función
  • Límite unilateral : cualquiera de los dos límites de funciones de una variable real x , cuando x se acerca a un punto desde arriba o desde abajo.
  • Lista de límites : lista de límites para funciones comunes
  • Teorema de compresión : encuentra un límite de una función mediante la comparación con otras dos funciones
• Límite superior y límite inferior
• Modos de convergencia
  • Un índice anotado

Notas

1. Stewart, James (2008). Cálculo: trascendentales tempranos (6.ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Schubring, Gert (2005). Conflictos entre generalización, rigor e intuición: conceptos numéricos subyacentes al desarrollo del análisis en Francia y Alemania entre los siglos XVII y XIX . Nueva York: Springer. pp. 22-23. ISBN 0387228365.
3. "Elementos de Euclides, Libro X, Proposición 1". aleph0.clarku.edu .
4. Van Looy, Herman (1984). "Una cronología y análisis histórico de los manuscritos matemáticos de Gregorius a Sancto Vincentio (1584-1667)". Historia Matemática . 11 (1): 57–75. doi : 10.1016/0315-0860(84)90005-3 .
5. Felscher, Walter (2000), "Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta", American Mathematical Monthly , 107 (9): 844–862, doi :10.2307/2695743, JSTOR  2695743
6. Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2010). Cálculo de una sola variable (novena edición). Brooks/Cole , Cengage Learning . ISBN 978-0-547-20998-2.
7. Miller, Jeff (1 de diciembre de 2004), Earliest Uses of Symbols of Calculus, archivado desde el original el 1 de mayo de 2015 , consultado el 18 de diciembre de 2008
8. Stillwell, John (1994), Elementos del álgebra: geometría, números, ecuaciones , Springer, pág. 42, ISBN 978-1441928399
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10. Apóstol (1974, págs. 75-76)
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12. Chua, Dexter. "Análisis I (basado en un curso dictado por Timothy Gowers)". Notas del examen final de matemáticas .
13. "límite | Definición, ejemplo y hechos". Enciclopedia Británica . Archivado desde el original el 2021-05-09 . Consultado el 2020-08-18 .
14. Soare, Robert I. (2014). Conjuntos y grados enumerables recursivamente: un estudio de funciones computables y conjuntos generados computacionalmente. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66681-3.OCLC 1154894968  .

Referencias

• Apostol, Tom M. (1974), Análisis matemático (2.ª ed.), Menlo Park: Addison-Wesley , LCCN  72011473

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