Modos de convergencia (índice anotado)

Índice anotado de varios modos de convergencia

El propósito de este artículo es servir como un índice anotado de varios modos de convergencia y sus relaciones lógicas. Para un artículo expositivo, véase Modos de convergencia . Se indican relaciones lógicas simples entre diferentes modos de convergencia (por ejemplo, si uno implica otro), de manera formulada en lugar de en prosa para una referencia rápida, y las descripciones y discusiones en profundidad se reservan para sus respectivos artículos.

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Guía para este índice. Para evitar una verborrea excesiva, tenga en cuenta que cada uno de los siguientes tipos de objetos es un caso especial de los tipos que lo preceden: conjuntos , espacios topológicos , espacios uniformes , grupos abelianos topológicos (TAG), espacios vectoriales normados , espacios euclidianos y los números reales / complejos . Tenga en cuenta también que cualquier espacio métrico es un espacio uniforme. Por último, los subtítulos siempre indicarán casos especiales de sus supertítulos.

La siguiente es una lista de modos de convergencia para:

Una secuencia de elementos {un​} en un espacio topológico (Y)

• Convergencia , o "convergencia topológica" para enfatizar (es decir, la existencia de un límite).

...en un espacio uniforme (tú)

• Convergencia de Cauchy

Trascendencia:

  - Convergencia Cauchy-convergencia ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Convergencia de Cauchy y convergencia de una subsecuencia junto con convergencia. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  -   U se llama "completo" si hay convergencia de Cauchy (para redes). ${\displaystyle \Rightarrow }$

Nota: Una secuencia que exhibe convergencia de Cauchy se denomina secuencia de Cauchy para enfatizar que puede no ser convergente.

Una serie de elementos Σb ken una ETIQUETA (GRAMO)

• Convergencia (de secuencia de suma parcial)
• Convergencia de Cauchy (de secuencia de suma parcial)
• Convergencia incondicional

Trascendencia:

  - Convergencia incondicional convergencia (por definición). ${\displaystyle \Rightarrow }$

...en un espacio normado (norte)

• Convergencia absoluta (convergencia de) ${\displaystyle \sum |b_{k}|}$

Trascendencia:

  - Convergencia absoluta Convergencia de Cauchy Convergencia absoluta de alguna agrupación ¹ . ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Por lo tanto: N es Banach (completo) si hay convergencia absoluta . ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Convergencia absoluta y convergencia juntas convergencia incondicional. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Convergencia incondicional convergencia absoluta, incluso si N es Banach. ${\displaystyle \not \Rightarrow }$

  - Si N es un espacio euclidiano, entonces convergencia incondicional convergencia absoluta. ${\displaystyle \equiv }$

¹ Nota: "agrupación" se refiere a una serie obtenida agrupando (pero no reordenando) los términos de la serie original. Por lo tanto, una agrupación de una serie corresponde a una subsucesión de sus sumas parciales.

Una secuencia de funciones {Fn​} de un conjunto (S) a un espacio topológico (Y)

• Convergencia puntual

...de un conjunto (S) a un espacio uniforme (tú)

• Convergencia uniforme
• Convergencia de Cauchy puntual
• Convergencia de Cauchy uniforme

Las implicaciones son casos de los anteriores, excepto:

  - Convergencia uniforme, tanto convergencia puntual como convergencia de Cauchy uniforme. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Convergencia de Cauchy uniforme y convergencia puntual de una subsecuencia de convergencia uniforme. ${\displaystyle \Rightarrow }$

...de un espacio topológico (incógnita) a un espacio uniforme (tú)

Para muchos modos "globales" de convergencia, existen nociones correspondientes de a ) convergencia "local" y b ) convergencia "compacta", que se dan al requerir que la convergencia ocurra a ) en algún vecindario de cada punto, o b ) en todos los subconjuntos compactos de X. Ejemplos:

• Convergencia uniforme local (es decir, convergencia uniforme en un vecindario de cada punto)
• Convergencia compacta (uniforme) (es decir, convergencia uniforme en todos los subconjuntos compactos)
• Más ejemplos de este patrón a continuación.

Trascendencia:

  - Los modos de convergencia "globales" implican los modos de convergencia "locales" y "compactos" correspondientes. Por ejemplo:

      Convergencia uniforme, tanto convergencia uniforme local como convergencia compacta (uniforme). ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Los modos de convergencia "locales" tienden a implicar modos de convergencia "compactos". Por ejemplo,

      Convergencia uniforme local convergencia compacta (uniforme). ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Si es localmente compacto, las recíprocas tienden a cumplirse: ${\displaystyle X}$

      Convergencia uniforme local convergencia compacta (uniforme). ${\displaystyle \equiv }$

...de un espacio de medida (S,μ) a los números complejos (C)

• Casi en todas partes convergencia
• Convergencia casi uniforme
• Convergencia L ^p
• Convergencia en la medida
• Convergencia en la distribución

Trascendencia:

  - Convergencia puntual, convergencia casi en todas partes. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Convergencia uniforme convergencia casi uniforme. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Casi en todas partes converge convergencia en medida. (En un espacio de medida finito) ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Convergencia casi uniforme en la medida. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - L ^p convergencia convergencia en medida. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Convergencia en la medida convergencia en la distribución si μ es una medida de probabilidad y las funciones son integrables. ${\displaystyle \Rightarrow }$

Una serie de funciones Σg kde un conjunto (S) a una ETIQUETA (GRAMO)

• Convergencia puntual (de una secuencia de suma parcial)
• Convergencia uniforme (de secuencia de suma parcial)
• Convergencia de Cauchy puntual (de secuencia de suma parcial)
• Convergencia de Cauchy uniforme (de secuencia de suma parcial)
• Convergencia puntual incondicional
• Convergencia uniforme incondicional

Las implicaciones son todos casos de los anteriores.

...de un conjunto (S) a un espacio normado (norte)

Generalmente, reemplazar "convergencia" por "convergencia absoluta" significa que uno se refiere a la convergencia de la serie de funciones no negativas en lugar de . ${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$ ${\displaystyle \Sigma g_{k}}$

• Convergencia absoluta puntual (convergencia puntual de ) ${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$
• Convergencia absoluta uniforme (convergencia uniforme de) ${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$
• Convergencia normal (convergencia de la serie de normas uniformes ) ${\displaystyle \Sigma ||g_{k}||_{u}}$

Las implicaciones son casos de los anteriores, excepto:

  - Convergencia normal convergencia absoluta uniforme ${\displaystyle \Rightarrow }$

...de un espacio topológico (incógnita) a una ETIQUETA (GRAMO)

• Convergencia uniforme local (de secuencia de suma parcial)
• Convergencia compacta (uniforme) (de secuencia de suma parcial)

Las implicaciones son todos casos de los anteriores.

...de un espacio topológico (incógnita) a un espacio normado (norte)

• Convergencia absoluta uniforme local
• Convergencia absoluta compacta (uniforme)
• Convergencia normal local
• Convergencia normal compacta

Implicaciones (en su mayoría casos de los anteriores):

  - Convergencia absoluta uniforme, tanto convergencia absoluta uniforme local como convergencia absoluta compacta (uniforme). ${\displaystyle \Rightarrow }$

      Convergencia normal tanto convergencia normal local como convergencia normal compacta. ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Convergencia normal local convergencia absoluta uniforme local. ${\displaystyle \Rightarrow }$

      Convergencia normal compacta convergencia absoluta compacta (uniforme). ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Convergencia absoluta uniforme local compacta (uniforme). ${\displaystyle \Rightarrow }$

      Convergencia normal local Convergencia normal compacta ${\displaystyle \Rightarrow }$

  - Si X es localmente compacto:

      Convergencia absoluta uniforme local, convergencia absoluta compacta (uniforme). ${\displaystyle \equiv }$

      Convergencia normal local Convergencia normal compacta ${\displaystyle \equiv }$

Véase también

• Límite de una secuencia
• Convergencia de medidas
• Convergencia en la medida
• Convergencia de variables aleatorias :
  • En distribución
  • En probabilidad
  • casi seguro
  • seguro
  • En serio

Referencias