límite de banach

término matemático

En análisis matemático , un límite de Banach es una funcional lineal continua definida en el espacio de Banach de todas las secuencias acotadas de valores complejos de modo que para todas las secuencias , in y números complejos : ${\displaystyle \phi :\ell ^{\infty }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle x=(x_{n})}$ ${\displaystyle y=(y_{n})}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \alpha }$

1. ${\displaystyle \phi (\alpha x+y)=\alpha \phi (x)+\phi (y)}$(linealidad);
2. si es para todos , entonces (positividad); ${\displaystyle x_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$
3. ${\displaystyle \phi (x)=\phi (Sx)}$, donde está el operador de turno definido por (invariancia de turno); ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (Sx)_{n}=x_{n+1}}$
4. Si es una secuencia convergente , entonces . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi (x)=\lim x}$

Por lo tanto, es una extensión del funcional continuo donde es el espacio vectorial complejo de todas las secuencias que convergen a un límite (habitual) en . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \lim :c\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

En otras palabras, un límite de Banach extiende los límites habituales, es lineal, invariante al cambio y positivo. Sin embargo, existen secuencias para las cuales los valores de dos límites de Banach no coinciden. Decimos que el límite de Banach no está determinado de forma única en este caso.

Como consecuencia de las propiedades anteriores, un límite de Banach de valor real también satisface:

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \phi (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

La existencia de límites de Banach suele demostrarse utilizando el teorema de Hahn-Banach (enfoque del analista), ^[1] o utilizando ultrafiltros (este enfoque es más frecuente en exposiciones de teoría de conjuntos). ^[2] Estas pruebas utilizan necesariamente el axioma de elección (la llamada prueba no efectiva).

Casi convergencia

Hay secuencias no convergentes que tienen un límite de Banach determinado de forma única. Por ejemplo, si , entonces es una secuencia constante y ${\displaystyle x=(1,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle x+S(x)=(1,1,1,\ldots )}$

${\displaystyle 2\phi (x)=\phi (x)+\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=\phi (x+Sx)=\phi ((1,1,1,\ldots ))=\lim((1,1,1,\ldots ))=1}$

sostiene. Por tanto, para cualquier límite de Banach, esta secuencia tiene límite . ${\displaystyle 1/2}$

Una secuencia acotada con la propiedad de que para cada límite de Banach el valor es el mismo se llama casi convergente . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (x)}$

espacios de banach

Dada una secuencia convergente en , el límite ordinario de no surge de un elemento de , si se considera la dualidad . El último medio es el espacio dual continuo (espacio dual de Banach) de y, en consecuencia, induce funcionales lineales continuos en , pero no en todos. Cualquier límite de Banach es un ejemplo de un elemento del espacio dual de Banach que no está en . El dual de se conoce como espacio ba y consta de todas las medidas finitamente aditivas ( con signo ) del álgebra sigma de todos los subconjuntos de los números naturales , o de manera equivalente, todas las medidas de Borel (con signo) de la compactación de Stone-Čech del números naturales. ${\displaystyle x=(x_{n})}$ ${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle }$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

enlaces externos

• "Límite de Banach". PlanetMath .

Referencias

1. Conway, Teorema III.7.1
2. Balcar-Štěpánek, 8,34

• Balcar, Bohuslav ; Štěpánek, Petr (2000). Teorie množin (en checo) (2 ed.). Praga: Academia. ISBN 802000470X.
• Conway, John B. (1994). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 96. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-97245-5.