Neto (matemáticas)

Una generalización de una secuencia de puntos.

En matemáticas , más específicamente en topología general y ramas relacionadas, una red o secuencia de Moore-Smith es una función cuyo dominio es un conjunto dirigido . El codominio de esta función suele ser algún espacio topológico . Las redes generalizan directamente el concepto de secuencia en un espacio métrico . Las redes se utilizan principalmente en los campos del análisis y la topología , donde se utilizan para caracterizar muchas propiedades topológicas importantes que (en general), las secuencias no pueden caracterizar (esta deficiencia de las secuencias motivó el estudio de los espacios secuenciales y los espacios de Fréchet-Urysohn ). . Las redes están en correspondencia uno a uno con los filtros .

Historia

El concepto de red fue introducido por primera vez por EH Moore y Herman L. Smith en 1922. ^[1] El término "red" fue acuñado por John L. Kelley . ^{[2] [3]}

El concepto relacionado de filtro fue desarrollado en 1937 por Henri Cartan .

Definiciones

Un conjunto dirigido es un conjunto no vacío junto con un preorden , que generalmente se supone automáticamente denotado por (a menos que se indique lo contrario), con la propiedad de que también está dirigido ( hacia arriba ) , lo que significa que para cualquiera existe algo tal que y En palabras, esta propiedad significa que dados dos elementos cualesquiera (de ), siempre hay algún elemento que está "por encima" de ambos (mayor o igual a cada uno); de esta manera, los conjuntos dirigidos generalizan la noción de "una dirección" de una manera matemáticamente rigurosa. Sin embargo, es importante destacar que no es necesario que los conjuntos dirigidos sean pedidos totales o incluso pedidos parciales . Un conjunto dirigido puede tener elementos mayores y/o elementos máximos . En este caso, las condiciones y no pueden ser reemplazadas por las desigualdades estrictas y , ya que las desigualdades estrictas no pueden satisfacerse si aob es máximo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a,b\in A,}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c}$ ${\displaystyle a<c}$ ${\displaystyle b<c}$

Una red en , denotada por , es una función de la forma cuyo dominio es algún conjunto dirigido y cuyos valores son . Los elementos del dominio de una red se denominan índices . Cuando el conjunto queda claro por el contexto, simplemente se le llama red y se supone que es un conjunto dirigido con orden anticipado. La notación para redes varía, por ejemplo, usando corchetes angulares . Como es común en la notación de topología algebraica , el disco lleno o "bala" reemplaza la variable de entrada o índice . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }(a)=x_{a}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq .}$ ${\displaystyle \left\langle x_{a}\right\rangle _{a\in A}}$ ${\displaystyle a\in A}$

Límites de las redes

Se dice que una red está eventual o residualmente en un conjunto si existe algo tal que para cada punto Un punto se llama ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle b\geq a,}$ ${\displaystyle x_{b}\in S.}$ ${\displaystyle x\in X}$punto límite olímite de la redensiempre que: ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$

porque cada vecindad abierta de la red eventualmente está en , ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle U}$

expresado de manera equivalente como: el netoconverge hacia/hacia ${\displaystyle x}$otienecomo límite ${\displaystyle x}$; y denotado de diversas formas como:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim \;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X.\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle X}$

Si y este límite es único (es decir, sólo para ), entonces se escribe: ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to y}$ ${\displaystyle x=y}$

$${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim x_{a}=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x}$$

^[4]espacio de Hausdorff^[4] ${\displaystyle \to .}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$

Puntos de agrupamiento de redes.

Se dice que una red es ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$frecuentemente ocofinalmente en si para cadaexiste algotal quey^[5]Se dice queun punto ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle x_{b}\in S.}$ ${\displaystyle x\in X}$punto de acumulación opunto de agrupaciónde una red si para cada vecindaddela red está frecuentemente/cofinalmente en^[5]De hecho,es un punto de agrupación si y sólo si tiene un subconjunto que converge a^[6]El conjuntode todos los puntos de agrupación deines igual apara cada uno, donde. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$

Subredes

El análogo de "subsecuencia" para las redes es la noción de "subred". Hay varias definiciones diferentes no equivalentes de "subred" y este artículo utilizará la definición introducida en 1970 por Stephen Willard , ^[7] que es la siguiente: Si y son redes, entonces se llama subred o ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$Willard-subred ^[7]desi existe un mapa que preserva el ordental quesea un subconjunto cofinal dey ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ for all }}i\in I.}$$

preservador de ordenhomomorfismo de ordencofinal ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle h(i)\leq h(j).}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in h(I)}$ ${\displaystyle b\geq a.}$

Si es un punto de agrupación de alguna subred de entonces también es un punto de agrupación de ^[6] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Ultranets

Una red en conjunto se llama ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$red universal o unaultranet si para cada subconjuntoeventualmente está enoeventualmente está en el complemento^[5] ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$

Cada red constante es una ultranet (trivial). Cada subred de una ultranet es una ultranet. ^[8] Suponiendo el axioma de elección , cada red tiene alguna subred que es una ultrared, pero nunca se han construido explícitamente ultraredes no triviales. ^[5] Si es una ultranet y es una función entonces es una ultranet en ^[5] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle Y.}$

Dada una ultranet se agrupa en si y solo converge a ^[5] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

redes cauchy

Una red de Cauchy generaliza la noción de secuencia de Cauchy a redes definidas en espacios uniformes . ^[9]

Una red es una ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$Red de Cauchy si para cadaentorno existetal que para todossea miembro de^[9][10]Más generalmente, en unespacio de Cauchy, una redes Cauchy si el filtro generado por la red es unfiltro de Cauchy. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle \left(x_{a},x_{b}\right)}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$

Un espacio vectorial topológico (TVS) se llama completo si cada red de Cauchy converge en algún punto. Un espacio normado , que es un tipo especial de espacio vectorial topológico, es un TVS completo (equivalentemente, un espacio de Banach ) si y sólo si cada secuencia de Cauchy converge en algún punto (una propiedad que se llama completitud secuencial ). Aunque las redes de Cauchy no son necesarias para describir la integridad de espacios normados, sí son necesarias para describir la integridad de espacios vectoriales topológicos más generales (posiblemente no normables ).

Caracterizaciones de propiedades topológicas.

Prácticamente todos los conceptos de topología pueden reformularse en el lenguaje de redes y límites. Esto puede resultar útil para guiar la intuición ya que la noción de límite de una red es muy similar a la de límite de una secuencia . El siguiente conjunto de teoremas y lemas ayudan a consolidar esa similitud:

Conjuntos cerrados y cierre

Un subconjunto es cerrado en si y sólo si cada punto límite en de una red en necesariamente se encuentra en . Explícitamente, esto significa que si es una red con para todos , y en entonces ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle s_{a}\in S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in S.}$

De manera más general, si es cualquier subconjunto, el cierre de es el conjunto de puntos con algún neto en . ^[6] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \lim _{a\in A}s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$

Conjuntos abiertos y caracterizaciones de topologías.

Un subconjunto es abierto si y sólo si ninguna red en converge a un punto de ^[11] Además, el subconjunto es abierto si y sólo si toda red que converge a un elemento de está finalmente contenida en Son estas caracterizaciones de "subconjunto abierto" las que permiten redes para caracterizar topologías . Las topologías también se pueden caracterizar por subconjuntos cerrados, ya que un conjunto es abierto si y sólo si su complemento es cerrado. Por tanto, las caracterizaciones de "conjunto cerrado" en términos de redes también se pueden utilizar para caracterizar topologías. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Continuidad

Una función entre espacios topológicos es continua en un punto si y sólo si para cada red en el dominio, en implica en ^[6] Brevemente, una función es continua si y sólo si en implica en En general, esta afirmación no sería cierta si la palabra "neto" fue sustituida por "secuencia"; es decir, es necesario permitir conjuntos dirigidos distintos de los números naturales si no es un primer espacio contable (o no es un espacio secuencial ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$

Compacidad

Un espacio es compacto si y sólo si cada red tiene una subred con un límite. Esto puede verse como una generalización del teorema de Bolzano-Weierstrass y del teorema de Heine-Borel . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Puntos de conglomerado y límite

El conjunto de puntos de conglomerado de una red es igual al conjunto de límites de sus subredes convergentes .

Una red tiene un límite si y sólo si todas sus subredes tienen límites. En ese caso, cada límite de la red es también un límite de cada subred.

Otras propiedades

En general, una red en un espacio puede tener más de un límite, pero si es un espacio de Hausdorff , el límite de una red, si existe, es único. Por el contrario, si no es Hausdorff, entonces existe una red con dos límites distintos. Así, la unicidad del límite es equivalente a la condición de Hausdorff en el espacio y, de hecho, esto puede tomarse como definición. Este resultado depende de la condición de direccionalidad; un conjunto indexado por un preorden general o un orden parcial puede tener puntos límite distintos incluso en un espacio de Hausdorff. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Relación con los filtros

Un filtro es una idea relacionada en topología que permite una definición general de convergencia en espacios topológicos generales. Las dos ideas son equivalentes en el sentido de que dan el mismo concepto de convergencia. ^[12] Más específicamente, cada base de filtro induce una red asociada utilizando los conjuntos puntiagudos del filtro, y la convergencia de la base de filtro implica la convergencia de la red asociada. De manera similar, cualquier red induce una base de filtro de colas donde el filtro generado por esta base de filtro se llama filtro de eventualidades de la red . La convergencia de la red implica la convergencia del filtro de eventualidades. ^[13] Esta correspondencia permite que cualquier teorema que pueda demostrarse con un concepto pueda demostrarse con el otro. ^[13] Por ejemplo, la continuidad de una función de un espacio topológico al otro puede caracterizarse por la convergencia de una red en el dominio que implica la convergencia de la red correspondiente en el codominio, o por la misma afirmación con bases de filtro. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{\left\{x_{a}:a\in A,a_{0}\leq a\right\}:a_{0}\in A\right\}}$ ${\displaystyle X}$

Robert G. Bartle sostiene que a pesar de su equivalencia, es útil tener ambos conceptos. ^[13] Sostiene que las redes son suficientes como secuencias para hacer pruebas y definiciones naturales en analogía con las secuencias, especialmente aquellas que utilizan elementos secuenciales, como es común en el análisis , mientras que los filtros son más útiles en topología algebraica . En cualquier caso, muestra cómo los dos pueden usarse en combinación para demostrar varios teoremas en topología general .

La curva de aprendizaje para el uso de redes suele ser mucho menos pronunciada que la de los filtros, razón por la cual muchos matemáticos, especialmente analistas , las prefieren a los filtros. Sin embargo, los filtros, y especialmente los ultrafiltros , tienen algunas ventajas técnicas importantes sobre las redes que, en última instancia, hacen que las redes se encuentren con mucha menos frecuencia que los filtros fuera de los campos de análisis y topología.

Como generalización de secuencias.

Todo conjunto totalmente ordenado no vacío es dirigido. Por lo tanto, cada función en dicho conjunto es una red. En particular, los números naturales junto con el preorden habitual de comparación de enteros forman el ejemplo arquetípico de un conjunto dirigido. Una secuencia es una función de los números naturales, por lo que cada secuencia en un espacio topológico puede considerarse una red definida en Por el contrario, cualquier red cuyo dominio sean los números naturales es una secuencia porque, por definición, una secuencia es solo una función de en Es de esta manera que las redes son generalizaciones de secuencias: en lugar de definirse en un conjunto contable ordenado linealmente ( ), una red se define en un conjunto dirigido arbitrario . Las redes se denotan con frecuencia utilizando una notación similar (e inspirada en) la que se usa con las secuencias. Por ejemplo, la notación de subíndice se toma de secuencias. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{a}}$

De manera similar, cada límite de una secuencia y límite de una función puede interpretarse como un límite de una red. Específicamente, la red eventualmente está en un subconjunto de si existe un tal que para cada número entero el punto esté en Entonces si y solo si para cada vecindad de la red eventualmente en La red está frecuentemente en un subconjunto de si y solo si para cada existe algún número entero tal que es, si y sólo si una infinidad de elementos de la secuencia están en Así, un punto es un punto de conglomerado de la red si y sólo si cada vecindad de contiene una infinidad de elementos de la secuencia. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \lim {}_{n}a_{n}\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle a_{n}\in S,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$

En el contexto de la topología, las secuencias no codifican completamente toda la información sobre funciones entre espacios topológicos. En particular, las dos condiciones siguientes, en general, no son equivalentes para un mapa entre espacios topológicos y : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

1. El mapa es continuo en el sentido topológico ; ${\displaystyle f}$
2. Dado cualquier punto y cualquier secuencia en convergente a la composición de con esta secuencia converge a (continua en el sentido secuencial) . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

Si bien la condición 1 siempre garantiza la condición 2, lo contrario no es necesariamente cierto. Los espacios para los cuales las dos condiciones son equivalentes se llaman espacios secuenciales . Todos los primeros espacios contables , incluidos los espacios métricos , son espacios secuenciales, pero no todos los espacios topológicos son secuenciales. Las redes generalizan la noción de secuencia de modo que la condición 2 dice lo siguiente:

2. Dado cualquier punto y cualquier red en convergente a la composición de con esta red converge a (continua en el sentido neto). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

Con este cambio, las condiciones se vuelven equivalentes para todos los mapas de espacios topológicos, incluidos los espacios topológicos que no necesariamente tienen una base de vecindad contable u ordenada linealmente alrededor de un punto. Por lo tanto, mientras que las secuencias no codifican suficiente información sobre funciones entre espacios topológicos, las redes sí lo hacen, porque las colecciones de conjuntos abiertos en espacios topológicos se parecen mucho a los conjuntos dirigidos en su comportamiento.

Para un ejemplo donde las secuencias no son suficientes, interprete el conjunto de todas las funciones con prototipo como el producto cartesiano (identificando una función con la tupla y viceversa) y dotelo de la topología del producto . Esta topología (de producto) es idéntica a la topología de convergencia puntual . Denotemos el conjunto de todas las funciones que son iguales en todas partes excepto en un número finito de puntos (es decir, tales que el conjunto es finito). Entonces la función constante pertenece al cierre de en es decir, ^[8] Esto se demostrará construyendo una red en que converge a Sin embargo, no existe ninguna secuencia que converja a ^[14] lo que hace que esta instancia sea donde ( Se deben utilizar redes sin secuencia porque las secuencias por sí solas no pueden llegar a la conclusión deseada. Compare elementos de puntualmente de la manera habitual declarando que si y sólo si para todos. Esta comparación puntual es un orden parcial que forma un conjunto dirigido ya que dado cualquiera, su mínimo puntual pertenece y satisface y Este orden parcial convierte el mapa de identidad (definido por ) en un neto valorado. Esta red converge puntualmente a en lo que implica que pertenece al cierre de en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{x\in \mathbb {R} }}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f(x))_{x\in \mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \{0,1\}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{x:f(x)=0\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbf {0} :\mathbb {R} \to \{0\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} };}$ ${\displaystyle \mathbf {0} \in \operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f\geq g}$ ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle (E,\geq )}$ ${\displaystyle f,g\in E,}$ ${\displaystyle m:=\min\{f,g\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\geq m}$ ${\displaystyle g\geq m.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :(E,\geq )\to E}$ ${\displaystyle f\mapsto f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }.}$

De manera más general, una subred de una secuencia no es necesariamente una secuencia. ^{[5] [a]} Más aún, una subred de una secuencia puede ser una secuencia, pero no una subsecuencia. ^[b] Pero, en el caso específico de un espacio secuencial, cada red induce una secuencia correspondiente, y esta relación asigna subredes a subsecuencias. Específicamente, para un primer espacio contable, la red induce la secuencia donde se define como el valor más pequeño en  , es decir, let y let para cada número entero . ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h_{1}:=\inf A}$ ${\displaystyle h_{n}:=\inf\{a\in A:a>h_{n-1}\}}$ ${\displaystyle n>1}$

Ejemplos

Topología subespacial

Si el conjunto está dotado de la topología subespacial inducida sobre él por entonces en si y solo si en De esta manera, la cuestión de si la red converge o no al punto dado depende únicamente de este subespacio topológico que consiste en y la imagen de ( es decir, los puntos de) la red ${\displaystyle S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Sistemas vecinales

Intuitivamente, la convergencia de una red significa que los valores vienen y permanecen tan cerca como queramos durante un tiempo suficientemente grande. Dado un punto en un espacio topológico, denotemos el conjunto de todas las vecindades que contienen. Entonces es un conjunto dirigido, donde la dirección está dada por inclusión inversa, de modo que si y sólo si está contenido en Para sea un punto en Entonces es una red. Como los aumentos con respecto a los puntos de la red están obligados a ubicarse en vecindades decrecientes de . Por lo tanto, en este sistema de vecindad de un punto , de hecho converge según la definición de convergencia neta. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle S\geq T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle S\in N_{x},}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \left(x_{S}\right)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\geq ,}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle x}$

Dada una subbase para la topología en (donde tenga en cuenta que cada base para una topología también es una subbase) y dado un punto al que converge una red si y solo si finalmente está en cada vecindad de Esta caracterización se extiende a las subbases vecinas (y así también bases vecinales ) del punto dado ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x.}$

Límites en un producto cartesiano

Una red en el espacio del producto tiene un límite si y sólo si cada proyección tiene un límite.

Explícitamente, sean espacios topológicos, doten su producto cartesiano. ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$

$${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$

topología del producto ${\displaystyle l\in I,}$ ${\displaystyle X_{l}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}}$$

Sea una red dirigida por y para cada índice . ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I,}$

$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$$

composición de funciones ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

Para cualquier punto dado, la red converge en el espacio del producto si y sólo si para cada índice converge a in ^[15] Y siempre que la red se agrupa en in, entonces se agrupa en para cada índice ^[8] Sin embargo, lo contrario no se cumple en general . ^[8] Por ejemplo, supongamos que y let denotan la secuencia que alterna entre y Then y son puntos de grupo de ambos y en pero no es un punto de grupo de ya que la bola abierta de radio centrada en no contiene ni un solo punto ${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle X_{1}=X_{2}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots }$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (0,0).}$ ${\displaystyle L_{1}:=0}$ ${\displaystyle L_{2}:=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$

Teorema de Tychonoff y relación con el axioma de elección

Si no se da pero para cada existe algo tal que in entonces la tupla definida por será un límite de in Sin embargo, podría ser necesario asumir el axioma de elección para concluir que esta tupla existe; el axioma de elección no es necesario en algunas situaciones, como cuando cada es finito o cuando cada es el límite único de la red (porque entonces no hay nada entre qué elegir), lo que sucede por ejemplo, cuando cada es un espacio de Hausdorff . Si es infinito y no está vacío, entonces el axioma de elección (en general) aún sería necesario para concluir que las proyecciones son aplicaciones sobreyectivas . ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}}$

El axioma de elección equivale al teorema de Tychonoff , que establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. Pero si todo espacio compacto es también Hausdorff, entonces se puede utilizar el llamado "teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff", que es equivalente al lema del ultrafiltro y, por tanto, estrictamente más débil que el axioma de elección . Las redes se pueden utilizar para dar pruebas breves de ambas versiones del teorema de Tychonoff utilizando la caracterización de la convergencia neta dada anteriormente junto con el hecho de que un espacio es compacto si y sólo si cada red tiene una subred convergente .

Límite superior/inferior

El límite superior y el límite inferior de una red de números reales se pueden definir de manera similar a las secuencias. ^{[16] [17] [18]} Algunos autores trabajan incluso con estructuras más generales que la línea real, como celosías completas. ^[19]

Para una puesta neta ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$

$${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.}$$

El límite superior de una red de números reales tiene muchas propiedades análogas al caso de las sucesiones. Por ejemplo,

$${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},}$$

integral de riemann

La definición del valor de una integral de Riemann se puede interpretar como un límite de una red de sumas de Riemann donde el conjunto dirigido de la red es el conjunto de todas las particiones del intervalo de integración, parcialmente ordenadas por inclusión.

Espacios métricos

Supongamos que es un espacio métrico (o un espacio pseudométrico ) y está dotado de la topología métrica . Si es un punto y es un neto, entonces en si y solo si en dónde es un neto de números reales . En términos sencillos , esta caracterización dice que una red converge a un punto en un espacio métrico si y sólo si la distancia entre la red y el punto converge a cero. Si es un espacio normado (o un espacio seminormado ), entonces en si y solo si en donde ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right):=\left(d\left(m,m_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ ${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|:=\left(\left\|m-m_{a}\right\|\right)_{a\in A}.}$

Si tiene al menos dos puntos, entonces podemos fijar un punto (como con la métrica euclidiana siendo el origen, por ejemplo) y dirigir el conjunto en sentido inverso según la distancia desde declarando que si y sólo si. En otras palabras, la relación es "tiene al menos la misma distancia que ", de modo que "lo suficientemente grande" con respecto a esta relación significa "lo suficientemente cerca de ". Dada cualquier función con dominio, su restricción puede interpretarse canónicamente como una red dirigida por ^[8] ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle c\in M}$ ${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle c:=0}$ ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle d(j,c)\leq d(i,c).}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle (I,\leq ).}$

Una red eventualmente está en un subconjunto de un espacio topológico si y sólo si existe algo tal que para cada satisfacción el punto esté en Tal red converge en un punto dado si y sólo si en el sentido habitual (lo que significa que para cada vecindad de finalmente está en ). ^[8] ${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c),}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle \lim _{m\to c}f(m)\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$

La red está frecuentemente en un subconjunto de si y sólo si para cada existe algo con tal que está en En consecuencia, un punto es un punto de grupo de la red si y sólo si para cada vecindad de la red está frecuentemente en ${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c)}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle V.}$

Función de un conjunto bien ordenado a un espacio topológico

Considere un conjunto bien ordenado con un punto límite y una función desde a un espacio topológico. Esta función es una red en ${\displaystyle [0,c]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,t)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle [0,t).}$

Eventualmente está en un subconjunto de si existe un tal que para cada punto esté en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in [0,t)}$ ${\displaystyle s\in [r,t)}$ ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle V.}$

Entonces , si y sólo si para cada vecindario de finalmente está en ${\displaystyle \lim _{x\to t}f(x)\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V.}$

La red está frecuentemente en un subconjunto de si y sólo si para cada existe algo tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in [0,t)}$ ${\displaystyle s\in [r,t)}$ ${\displaystyle f(s)\in V.}$

Un punto es un punto de conglomerado de la red si y sólo si para cada vecindad de la red está frecuentemente en ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle V.}$

El primer ejemplo es un caso especial de esto con ${\displaystyle c=\omega .}$

Véase también secuencia indexada ordinal .

Ver también

• Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos.
• Filtro (teoría de conjuntos)  : familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Preorden  - Relación binaria reflexiva y transitiva
• Espacio secuencial  - Espacio topológico caracterizado por secuencias
• Ultrafiltro (teoría de conjuntos)  : filtro máximo adecuadoPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Por ejemplo, sea y sea para cada , esa es la secuencia cero constante. Sea dirigido por el orden habitual y sea para cada Definir dejando ser el techo de El mapa es un morfismo de orden cuya imagen es cofinal en su codominio y se cumple para cada Esto muestra que es una subred de la secuencia (donde esta subred no es una subsecuencia de porque ni siquiera es una secuencia ya que su dominio es un conjunto incontable ). ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=(0)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle s_{r}=0}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle \varphi :I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \varphi (r)=\lceil r\rceil }$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle \varphi :I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(x_{\bullet }\circ \varphi \right)(r)=x_{\varphi (r)}=0=s_{r}}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in R}=x_{\bullet }\circ \varphi }$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$
2. La secuencia no es una subsecuencia de , aunque es una subred, porque el mapa definido por es un mapa que preserva el orden cuya imagen es y satisface para todos. De hecho, esto se debe a y para cada , en otras palabras, cuando se considera como funciones en la secuencia es solo el mapa de identidad mientras ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,1,2,2,3,3,\ldots )}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,2,3,\ldots )}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(i):=\left\lfloor {\tfrac {i+1}{2}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle h(\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle s_{i}=h(i)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{\bullet }=h.}$

Citas

1. Moore, EH ; Smith, HL (1922). "Una teoría general de los límites". Revista Estadounidense de Matemáticas . 44 (2): 102-121. doi :10.2307/2370388. JSTOR  2370388.
2. (Sundström 2010, pág.16n)
3. Megginson, pag. 143
4. Kelley 1975, págs. 65–72.
5. Willard 2004, págs. 73–77.
6. Willard 2004, pag. 75.
7. Schechter 1996, págs. 157-168.
8. Willard 2004, pág. 77.
9. Willard, Stephen (2012), Topología general, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 260, ISBN 9780486131788.
10. Joshi, KD (1983), Introducción a la topología general, New Age International, p. 356, ISBN 9780852264447.
11. Howes 1995, págs. 83–92.
12. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 24 de abril de 2015 . Consultado el 15 de enero de 2013 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
13. RG Bartle, Redes y filtros en topología, American Mathematical Monthly, vol. 62, núm. 8 (1955), págs. 551–557.
14. Willard 2004, págs. 71–72.
15. Willard 2004, pág. 76.
16. Aliprantis-Border, pag. 32
17. Megginson, pag. 217, pág. 221, Ejercicios 2.53–2.55
18. Cerveza, pag. 2
19. Schechter, secciones 7.43–7.47

Referencias

• Sundström, Manya Raman (2010). "Una historia pedagógica de la compacidad". arXiv : 1006.4131v1 [matemáticas.HO].
• Aliprantis, Charalambos D .; Frontera, Kim C. (2006). Análisis de dimensiones infinitas: una guía para el autoestopista (3ª ed.). Berlín: Springer. págs.xxii, 703. ISBN 978-3-540-32696-0. SEÑOR  2378491.
• Cerveza, Gerald (1993). Topologías sobre conjuntos cerrados y convexos cerrados . Matemáticas y sus aplicaciones 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. págs.xii, 340. ISBN 0-7923-2531-1. SEÑOR  1269778.
• Howes, Norman R. (23 de junio de 1995). Análisis y topología modernos . Textos de Posgrado en Matemáticas . Nueva York: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970. OL  1272666M.
• Kelley, John L. (1975). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 27. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Kelley, John L. (1991). Topología general . Saltador. ISBN 3-540-90125-6.
• Megginson, Robert E. (1998). Una introducción a la teoría del espacio de Banach . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 193. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-98431-3.
• Schechter, Eric (1997). Manual de análisis y sus fundamentos. San Diego: Prensa académica. ISBN 9780080532998. Consultado el 22 de junio de 2013 .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.