En matemáticas , la geometría afín es lo que queda de la geometría euclidiana al ignorar (los matemáticos suelen decir "olvidar" [1] [2] ) las nociones métricas de distancia y ángulo .
Como la noción de líneas paralelas es una de las principales propiedades independientes de cualquier métrica, la geometría afín a menudo se considera como el estudio de las líneas paralelas. Por lo tanto, el axioma de Playfair (Dada una línea L y un punto P que no está en L , hay exactamente una línea paralela a L que pasa por P. ) es fundamental en geometría afín. Las comparaciones de figuras en geometría afín se realizan con transformaciones afines , que son mapeos que preservan la alineación de puntos y el paralelismo de líneas.
La geometría afín se puede desarrollar de dos maneras que son esencialmente equivalentes. [3]
En geometría sintética , un espacio afín es un conjunto de puntos a los que está asociado un conjunto de líneas, que satisfacen algunos axiomas (como el axioma de Playfair).
La geometría afín también se puede desarrollar sobre la base del álgebra lineal . En este contexto, un espacio afín es un conjunto de puntos equipados con un conjunto de transformaciones (es decir, asignaciones biyectivas ), las traslaciones , que forman un espacio vectorial (sobre un campo dado , comúnmente los números reales ), y tal que para cualquier espacio dado par ordenado de puntos hay una traducción única enviando el primer punto al segundo; la composición de dos traslaciones es su suma en el espacio vectorial de las traslaciones.
En términos más concretos, esto equivale a tener una operación que asocia a cualquier par ordenado de puntos un vector y otra operación que permite la traslación de un punto por un vector para dar otro punto; estas operaciones son necesarias para satisfacer una serie de axiomas (en particular, que dos traslaciones sucesivas tienen el efecto de traslación por el vector suma). Al elegir cualquier punto como " origen ", los puntos están en correspondencia uno a uno con los vectores, pero no hay una opción preferida para el origen; por tanto, se puede considerar que un espacio afín se obtiene a partir de su espacio vectorial asociado "olvidando" el origen (vector cero).
La idea de olvidar la métrica se puede aplicar en la teoría de variedades . Eso se desarrolla en el artículo sobre la conexión afín .
En 1748, Leonhard Euler introdujo el término affine [4] [5] (del latín affinis 'relacionado') en su libro Introductio in analysin infinitorum (volumen 2, capítulo XVIII). En 1827, August Möbius escribió sobre geometría afín en su Der barycentrische Calcul (capítulo 3).
Después del programa Erlangen de Felix Klein , la geometría afín fue reconocida como una generalización de la geometría euclidiana . [6]
En 1918, Hermann Weyl se refirió a la geometría afín en su texto Espacio, tiempo, materia . Usó geometría afín para introducir la suma y resta de vectores [7] en las primeras etapas de su desarrollo de la física matemática . Posteriormente, ET Whittaker escribió: [8]
Se han propuesto varios enfoques axiomáticos de la geometría afín:
Como la geometría afín trata con rectas paralelas, se ha tomado como premisa una de las propiedades de los paralelos señaladas por Pappus de Alejandría : [9] [10]
El sistema de axioma completo propuesto tiene punto , línea y línea que contiene punto como nociones primitivas :
Según HSM Coxeter :
El interés de estos cinco axiomas se ve realzado por el hecho de que pueden desarrollarse en un vasto cuerpo de proposiciones, válidas no sólo en la geometría euclidiana sino también en la geometría del tiempo y el espacio de Minkowski (en el caso simple de 1 + 1 dimensiones, mientras que la teoría especial de la relatividad necesita 1 + 3). La extensión a la geometría euclidiana o minkowskiana se logra agregando varios axiomas adicionales de ortogonalidad, etc. [11]
Los distintos tipos de geometría afín corresponden a la interpretación que se da a la rotación . La geometría euclidiana corresponde a la idea ordinaria de rotación , mientras que la geometría de Minkowski corresponde a la rotación hiperbólica . Con respecto a las líneas perpendiculares , permanecen perpendiculares cuando el plano se somete a una rotación ordinaria. En la geometría de Minkowski, las líneas que son hiperbólico-ortogonales permanecen en esa relación cuando el plano se somete a una rotación hiperbólica.
Se puede construir un tratamiento axiomático de la geometría afín plana a partir de los axiomas de la geometría ordenada mediante la adición de dos axiomas adicionales: [12]
El concepto afín de paralelismo forma una relación de equivalencia en líneas. Dado que los axiomas de la geometría ordenada tal como se presentan aquí incluyen propiedades que implican la estructura de los números reales, esas propiedades se trasladan aquí, por lo que se trata de una axiomatización de la geometría afín sobre el campo de los números reales.
El primer plano no desarguesiano fue señalado por David Hilbert en sus Fundamentos de la geometría . [13] El avión Moulton es una ilustración estándar. Para proporcionar un contexto para dicha geometría, así como para aquellas en las que el teorema de Desargues es válido, Marshall Hall desarrolló el concepto de anillo ternario .
En este enfoque, los planos afines se construyen a partir de pares ordenados tomados de un anillo ternario. Se dice que un plano tiene la "propiedad de Desargues afín menor" cuando dos triángulos en perspectiva paralela, que tienen dos lados paralelos, también deben tener los terceros lados paralelos. Si esta propiedad se cumple en el plano afín definido por un anillo ternario, entonces existe una relación de equivalencia entre "vectores" definidos por pares de puntos del plano. [14] Además, los vectores forman un grupo abeliano bajo suma ; el anillo ternario es lineal y satisface la distributividad correcta :
Geométricamente, las transformaciones afines (afinidades) preservan la colinealidad : por lo que transforman líneas paralelas en líneas paralelas y preservan relaciones de distancias a lo largo de líneas paralelas.
Identificamos como teoremas afines cualquier resultado geométrico que sea invariante bajo el grupo afín (en el programa Erlangen de Felix Klein este es su grupo subyacente de transformaciones de simetría para geometría afín). Considere en un espacio vectorial V , el grupo lineal general GL( V ) . No es todo el grupo afín porque debemos permitir también traducciones por vectores v en V . (Tal traducción asigna cualquier w en V a w + v .) El grupo afín es generado por el grupo lineal general y las traducciones y es de hecho su producto semidirecto (aquí pensamos en V como un grupo bajo su operación de suma, y utilice la representación definitoria de GL( V ) en V para definir el producto semidirecto.)
Por ejemplo, el teorema de la geometría plana de triángulos sobre la concurrencia de las líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto (en el centroide o baricentro ) depende de las nociones de punto medio y centroide como invariantes afines. Otros ejemplos incluyen los teoremas de Ceva y Menelao .
Los invariantes afines también pueden ayudar en los cálculos. Por ejemplo, las líneas que dividen el área de un triángulo en dos mitades iguales forman una envoltura dentro del triángulo. La relación entre el área de la envoltura y el área del triángulo es invariante afín, por lo que solo debe calcularse a partir de un caso simple, como un triángulo rectángulo isósceles unitario, para obtener , es decir, 0,019860... o menos del 2%. para todos los triángulos.
Fórmulas familiares como la mitad de la base por la altura para el área de un triángulo , o un tercio de la base por la altura para el volumen de una pirámide , también son invariantes afines. Si bien esto último es menos obvio que el primero en el caso general, se ve fácilmente para la sexta parte del cubo unitario formado por una cara (área 1) y el punto medio del cubo (altura 1/2). Por lo tanto, es válido para todas las pirámides, incluso las inclinadas cuyo vértice no está directamente encima del centro de la base, y aquellas cuya base es un paralelogramo en lugar de un cuadrado. La fórmula se generaliza aún más a las pirámides cuya base se puede diseccionar en paralelogramos, incluidos los conos , al permitir infinitos paralelogramos (con la debida atención a la convergencia). El mismo enfoque muestra que una pirámide de cuatro dimensiones tiene un hipervolumen 4D que es un cuarto del volumen 3D de su base paralelepípeda multiplicada por la altura , y así sucesivamente para dimensiones superiores.
En cinemática se utilizan dos tipos de transformación afín , tanto la clásica como la moderna. La velocidad v se describe utilizando longitud y dirección, donde la longitud se supone ilimitada. Esta variedad de cinemática, denominada galileana o newtoniana, utiliza coordenadas de espacio y tiempo absolutos . El mapeo de corte de un plano con un eje para cada uno representa el cambio de coordenadas para un observador que se mueve con velocidad v en un sistema de referencia en reposo . [15]
La velocidad finita de la luz , observada por primera vez por el retraso en la aparición de las lunas de Júpiter , exige una cinemática moderna. El método implica rapidez en lugar de velocidad y sustituye el mapeo de compresión por el mapeo de corte utilizado anteriormente. Esta geometría afín fue desarrollada sintéticamente en 1912. [16] [17] para expresar la teoría especial de la relatividad . En 1984, Graciela Birman y Katsumi Nomizu describieron "el plano afín asociado al espacio vectorial lorentziano L 2 " en un artículo titulado "Trigonometría en la geometría lorentziana". [18]
La geometría afín puede verse como la geometría de un espacio afín de una dimensión dada n , coordinada sobre un campo K. También existe (en dos dimensiones) una generalización combinatoria del espacio afín coordinado, tal como se desarrolla en la geometría finita sintética . En geometría proyectiva, espacio afín significa el complemento de un hiperplano en el infinito en un espacio proyectivo . El espacio afín también puede verse como un espacio vectorial cuyas operaciones se limitan a aquellas combinaciones lineales cuyos coeficientes suman uno, por ejemplo 2 x − y , x − y + z , ( x + y + z )/3 , i x + (1 − i ) y , etc.
Sintéticamente, los planos afines son geometrías afines bidimensionales definidas en términos de las relaciones entre puntos y líneas (o, a veces, en dimensiones superiores, hiperplanos ). Al definir geometrías afines (y proyectivas) como configuraciones de puntos y líneas (o hiperplanos) en lugar de usar coordenadas, se obtienen ejemplos sin campos de coordenadas. Una propiedad importante es que todos estos ejemplos tienen dimensión 2. Los ejemplos finitos en dimensión 2 ( planos afines finitos ) han sido valiosos en el estudio de configuraciones en espacios afines infinitos, en teoría de grupos y en combinatoria .
A pesar de ser menos generales que el enfoque configuracional, los otros enfoques discutidos han tenido mucho éxito al iluminar las partes de la geometría que están relacionadas con la simetría .
En la geometría tradicional , se considera que la geometría afín es un estudio entre la geometría euclidiana y la geometría proyectiva . Por un lado, la geometría afín es geometría euclidiana en la que se excluye la congruencia ; por otro lado, la geometría afín se puede obtener a partir de la geometría proyectiva mediante la designación de una línea o plano particular para representar los puntos en el infinito . [19] En geometría afín, no existe una estructura métrica , pero el postulado de las paralelas sí se cumple. La geometría afín proporciona la base para la estructura euclidiana cuando se definen líneas perpendiculares , o la base para la geometría de Minkowski a través de la noción de ortogonalidad hiperbólica . [20] Desde este punto de vista, una transformación afín es una transformación proyectiva que no permuta puntos finitos con puntos en el infinito, y la geometría de transformación afín es el estudio de propiedades geométricas a través de la acción del grupo de transformaciones afines.
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