Teorema del binomio

Expansión algebraica de potencias de un binomio

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

El coeficiente binomial aparece como la entrada k en la fila n del triángulo de Pascal (donde la parte superior es la fila 0 ). Cada entrada es la suma de las dos que están por encima. ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}}$

En álgebra elemental , el teorema del binomio (o desarrollo binomial ) describe la expansión algebraica de potencias de un binomio . Según el teorema, es posible desarrollar el polinomio ( x + y ) ⁿ en una suma que involucra términos de la forma ax ^b y ^c , donde los exponentes b y c son números enteros no negativos con b + c = n , y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo específico que depende de n y b . Por ejemplo, para n = 4 , $${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$$

El coeficiente a en el término de ax ^b y ^c se conoce como coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor). Estos coeficientes para variar n y b se pueden organizar para formar el triángulo de Pascal . Estos números también aparecen en combinatoria , donde da el número de combinaciones diferentes (es decir, subconjuntos) de elementos b que se pueden elegir de un conjunto de n elementos . Por lo tanto, se suele pronunciar como " n elige b ". ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{c}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$

Historia

Los casos especiales del teorema del binomio se conocían al menos desde el siglo IV a. C., cuando el matemático griego Euclides mencionó el caso especial del teorema del binomio para el exponente . ^[1] El matemático griego Diofanto elevó al cubo varios binomios, incluido . ^[1] El método del matemático indio Aryabhata para encontrar raíces cúbicas, de alrededor del 510 d. C., sugiere que conocía la fórmula binomial para el exponente . ^[1] ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle n=3}$

Los coeficientes binomiales, como cantidades combinatorias que expresan el número de formas de seleccionar k objetos de n sin reemplazo, eran de interés para los antiguos matemáticos indios. La primera referencia conocida a este problema combinatorio es el Chandaḥśāstra del letrista indio Pingala (c. 200 a. C.), que contiene un método para su solución. ^{[2] : 230} El comentarista Halayudha del siglo X d. C. explica este método. ^{[2] : 230} En el siglo VI d. C., los matemáticos indios probablemente sabían cómo expresar esto como un cociente , ^[3] y se puede encontrar una declaración clara de esta regla en el texto del siglo XII Lilavati de Bhaskara . ^[3] ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$

La primera formulación conocida del teorema binomial y la tabla de coeficientes binomiales aparece en una obra de Al-Karaji , citada por Al-Samaw'al en su "al-Bahir". ^{[4] [5] [6]} Al-Karaji describió el patrón triangular de los coeficientes binomiales ^[7] y también proporcionó una prueba matemática tanto del teorema binomial como del triángulo de Pascal, utilizando una forma temprana de inducción matemática . ^[7] El poeta y matemático persa Omar Khayyam probablemente estaba familiarizado con la fórmula hasta órdenes superiores, aunque muchos de sus trabajos matemáticos se han perdido. ^[1] Las expansiones binomiales de grados pequeños se conocían en las obras matemáticas del siglo XIII de Yang Hui ^[8] y también de Chu Shih-Chieh . ^[1] Yang Hui atribuye el método a un texto mucho más antiguo del siglo XI de Jia Xian , aunque esos escritos también se han perdido ahora. ^{[2] : 142}

En 1544, Michael Stifel introdujo el término "coeficiente binomial" y mostró cómo utilizarlo para expresar en términos de , a través del "triángulo de Pascal". ^[9] Blaise Pascal estudió el triángulo epónimo exhaustivamente en su Traité du triangle arithmétique . ^[10] Sin embargo, el patrón de números ya era conocido por los matemáticos europeos de finales del Renacimiento, incluidos Stifel, Niccolò Fontana Tartaglia y Simon Stevin . ^[9] ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ ${\displaystyle (1+x)^{n-1}}$

A Isaac Newton se le atribuye generalmente el descubrimiento del teorema binomial generalizado, válido para cualquier exponente real, en 1665. ^{[9] [11]} Fue descubierto independientemente en 1670 por James Gregory . ^[12]

Declaración

Según el teorema, la expansión de cualquier potencia entera no negativa n del binomio x + y es una suma de la forma donde cada uno es un entero positivo conocido como coeficiente binomial , definido como $${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}$$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.}$$

Esta fórmula también se conoce como fórmula binomial o identidad binomial . Si se utiliza la notación de suma , se puede escribir de forma más concisa como $${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}$$

La expresión final se desprende de la anterior por la simetría de x e y en la primera expresión, y por comparación se deduce que la secuencia de coeficientes binomiales en la fórmula es simétrica, ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}.}$

Una variante simple de la fórmula binomial se obtiene sustituyendo 1 por y , de modo que solo involucre una única variable . En esta forma, la fórmula se lee $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+1)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}$$

Ejemplos

Estos son los primeros casos del teorema binomial: En general, para la expansión de ( x + y ) ⁿ en el lado derecho en la fila n (numerada de modo que la fila superior sea la fila 0): $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}}$$

• los exponentes de x en los términos son n , n − 1, ..., 2, 1, 0 (el último término contiene implícitamente x ⁰ = 1 );
• los exponentes de y en los términos son 0, 1, 2, ..., n − 1, n (el primer término contiene implícitamente y ⁰ = 1 );
• los coeficientes forman la n- ésima fila del triángulo de Pascal;
• antes de combinar términos iguales, hay 2 ⁿ términos x ⁱ y ^j en la expansión (no se muestra);
• después de combinar términos iguales, hay n + 1 términos, y sus coeficientes suman 2 ⁿ .

Un ejemplo que ilustra los dos últimos puntos: con . $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}$

Un ejemplo sencillo con un valor positivo específico de y : $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}$$

Un ejemplo sencillo con un valor negativo específico de y : $${\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}$$

Explicación geométrica

Visualización del desarrollo binomial hasta la 4ª potencia

Para valores positivos de a y b , el teorema binomial con n = 2 es el hecho geométricamente evidente de que un cuadrado de lado a + b puede cortarse en un cuadrado de lado a , un cuadrado de lado b y dos rectángulos de lados a y b . Con n = 3 , el teorema establece que un cubo de lado a + b puede cortarse en un cubo de lado a , un cubo de lado b , tres cajas rectangulares a × a × b y tres cajas rectangulares a × b × b .

En cálculo , esta imagen también da una prueba geométrica de la derivada ^[13] si uno establece e interpreta b como un cambio infinitesimal en a , entonces esta imagen muestra el cambio infinitesimal en el volumen de un hipercubo n -dimensional , donde el coeficiente del término lineal (en ) es el área de las n caras, cada una de dimensión n − 1 : Sustituir esto en la definición de la derivada a través de un cociente de diferencias y tomar límites significa que los términos de orden superior, y superior, se vuelven insignificantes, y produce la fórmula interpretada como ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$ ${\displaystyle a=x}$ ${\displaystyle b=\Delta x,}$ ${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle nx^{n-1},}$ $${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$$ ${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$ ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$

"la tasa infinitesimal de cambio en el volumen de un n -cubo a medida que varía la longitud del lado es el área de n de sus ( n − 1) -caras dimensionales".

Si se integra esta imagen, lo que corresponde a la aplicación del teorema fundamental del cálculo , se obtiene la fórmula de cuadratura de Cavalieri , la integral (véase la prueba de la fórmula de cuadratura de Cavalieri para más detalles). ^[13] ${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$

Coeficientes binomiales

Los coeficientes que aparecen en el desarrollo binomial se denominan coeficientes binomiales . Estos suelen escribirse y pronunciarse " n choose k ". ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$

Fórmulas

El coeficiente de x ^{n − k} y ^k se obtiene mediante la fórmula que se define en términos de la función factorial n ! . De manera equivalente, esta fórmula se puede escribir con k factores tanto en el numerador como en el denominador de la fracción . Aunque esta fórmula implica una fracción, el coeficiente binomial es en realidad un número entero . $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$$ $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Interpretación combinatoria

El coeficiente binomial puede interpretarse como el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos. Esto está relacionado con los binomios por la siguiente razón: si escribimos ( x + y ) ⁿ como un producto , entonces, de acuerdo con la ley distributiva , habrá un término en la expansión para cada elección de x o y de cada uno de los binomios del producto. Por ejemplo, solo habrá un término x ⁿ , correspondiente a elegir x de cada binomio. Sin embargo, habrá varios términos de la forma x ^{n −2} y ² , uno para cada forma de elegir exactamente dos binomios para contribuir con y . Por lo tanto, después de combinar términos iguales , el coeficiente de x ^{n −2} y ² será igual al número de formas de elegir exactamente 2 elementos de un conjunto de n elementos. ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ $${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$$

Pruebas

Prueba combinatoria

Desarrollando ( x + y ) ⁿ se obtiene la suma de los 2 ⁿ productos de la forma e ₁ e ₂ ... e _n donde cada e _i es x o  y . Reordenando los factores se muestra que cada producto es igual a x ^{n − k} y ^k para algún k entre 0 y  n . Para un k dado , se demuestra que los siguientes son iguales en sucesión:

• el número de términos iguales a x ^{n − k} y ^k en la expansión
• el número de cadenas x , y de n caracteres que tienen y en exactamente k posiciones
• el número de subconjuntos de k elementos de {1, 2, ..., n }
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$ya sea por definición, o por un argumento combinatorio corto si uno está definiendo como ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Esto demuestra el teorema del binomio.

Ejemplo

El coeficiente de xy ² es igual a porque hay tres cadenas x , y de longitud 3 con exactamente dos y , es decir, correspondientes a los tres subconjuntos de 2 elementos de {1, 2, 3} , es decir, donde cada subconjunto especifica las posiciones de las y en una cadena correspondiente. $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$ $${\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}$$ $${\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}$$

Prueba inductiva

La inducción produce otra prueba del teorema del binomio. Cuando n = 0 , ambos lados son iguales a 1 , ya que x ⁰ = 1 y Ahora supongamos que la igualdad se cumple para un n dado ; la probaremos para n + 1 . Para j , k ≥ 0 , sea [ f ( x , y )] _{j , k} el coeficiente de x ^j y ^k en el polinomio f ( x , y ) . Por la hipótesis inductiva, ( x + y ) ⁿ es un polinomio en x e y tal que [( x + y ) ⁿ ] _{j , k} es si j + k = n , y 0 en caso contrario. La identidad muestra que ( x + y ) ^{n + 1} también es un polinomio en x e y , y dado que si j + k = n + 1 , entonces ( j − 1) + k = n y j + ( k − 1) = n . Ahora, el lado derecho es por la identidad de Pascal . ^[14] Por otro lado, si j + k ≠ n + 1 , entonces ( j – 1) + k ≠ n y j + ( k – 1) ≠ n , por lo que obtenemos 0 + 0 = 0 . Por lo tanto, que es la hipótesis inductiva con n + 1 sustituido por n y así completa el paso inductivo. ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ $${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$$ $${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$$ $${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$$ $${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$$

Generalizaciones

Teorema binomial generalizado de Newton

Alrededor de 1665, Isaac Newton generalizó el teorema del binomio para permitir exponentes reales distintos de los enteros no negativos. (La misma generalización también se aplica a los exponentes complejos ). En esta generalización, la suma finita se reemplaza por una serie infinita . Para hacer esto, es necesario dar significado a los coeficientes binomiales con un índice superior arbitrario, lo que no se puede hacer utilizando la fórmula habitual con factoriales. Sin embargo, para un número arbitrario r , se puede definir donde es el símbolo de Pochhammer , que aquí representa un factorial descendente . Esto concuerda con las definiciones habituales cuando r es un entero no negativo. Entonces, si x e y son números reales con | x | > | y | , ^{[Nota 1]} y r es cualquier número complejo, se tiene $${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},}$$ ${\displaystyle (\cdot )_{k}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Cuando r es un entero no negativo, los coeficientes binomiales para k > r son cero, por lo que esta ecuación se reduce al teorema binomial habitual y hay como máximo r + 1 términos distintos de cero. Para otros valores de r , la serie normalmente tiene una cantidad infinita de términos distintos de cero.

Por ejemplo, r = 1/2 da la siguiente serie para la raíz cuadrada: $${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}$$

Tomando r = −1 , la serie binomial generalizada da la fórmula de la serie geométrica , válida para | x | < 1 : $${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .}$$

De manera más general, con r = − s , tenemos para | x | < 1 : ^[15] $${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{-s \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}x^{k}.}$$

Así, por ejemplo, cuando s = 1/2 , $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

Reemplazar x por -x da como resultado: $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.}$$

Así, por ejemplo, cuando s = 1/2 , tenemos para | x | < 1 : $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

Generalizaciones adicionales

El teorema binomial generalizado se puede extender al caso en que x e y son números complejos. Para esta versión, se debe suponer nuevamente | x | > | y | ^{[Nota 1]} y definir las potencias de x + y y x utilizando una rama holomorfa de log definida en un disco abierto de radio | x | centrado en x . El teorema binomial generalizado es válido también para los elementos x e y de un álgebra de Banach siempre que xy = yx , y x sea invertible, y ‖ y / x ‖ < 1 .

Una versión del teorema binomial es válida para la siguiente familia de polinomios similares al símbolo de Pochhammer : para una constante real dada c , defina y para Entonces ^[16] El caso c = 0 recupera el teorema binomial habitual. ${\displaystyle x^{(0)}=1}$ $${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$$ ${\displaystyle n>0.}$ $${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$$

De manera más general, se dice que una secuencia de polinomios es de tipo binomial si ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$Para todos , ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$, y
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$para todos , , y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$

Se dice que un operador en el espacio de polinomios es el operador base de la secuencia si y para todo . Una secuencia es binomial si y solo si su operador base es un operador Delta . ^[17] Escribiendo para el operador de desplazamiento por , los operadores Delta correspondientes a las familias de polinomios "Pochhammer" anteriores son la diferencia hacia atrás para , la derivada ordinaria para y la diferencia hacia adelante para . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle Qp_{0}=0}$ ${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle E^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I-E^{-c}}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle E^{-c}-I}$ ${\displaystyle c<0}$

Teorema multinomial

El teorema del binomio se puede generalizar para incluir potencias de sumas con más de dos términos. La versión general es

$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$$

donde la suma se toma sobre todas las secuencias de índices enteros no negativos k ₁ a k _m tales que la suma de todos los k _i es  n . (Para cada término en la expansión, los exponentes deben sumar  n ). Los coeficientes se conocen como coeficientes multinomiales y se pueden calcular mediante la fórmula ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$ $${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$$

Combinatoriamente, el coeficiente multinomial cuenta el número de formas diferentes de particionar un conjunto de n elementos en subconjuntos disjuntos de tamaños k ₁ , ..., k _m . ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

Teorema multibinomial

Cuando se trabaja en más dimensiones, suele ser útil trabajar con productos de expresiones binomiales. Según el teorema del binomio, esto es igual a $${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$$

Esto se puede escribir de forma más concisa, mediante notación de múltiples índices , como $${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$

Regla general de Leibniz

La regla general de Leibniz da la derivada n- ésima de un producto de dos funciones en una forma similar a la del teorema binomial: ^[18] $${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$$

Aquí, el superíndice ( n ) indica la derivada n- ésima de una función, . Si se establece f ( x ) = e ^ax y g ( x ) = e ^bx , al cancelar el factor común de e ^{( a + b ) x} de cada término se obtiene el teorema del binomio ordinario. ^[19] ${\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$

Aplicaciones

Identidades de múltiples ángulos

Para los números complejos, el teorema del binomio se puede combinar con la fórmula de De Moivre para obtener fórmulas de ángulos múltiples para el seno y el coseno . Según la fórmula de De Moivre, $${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$$

Usando el teorema del binomio, la expresión de la derecha puede ser expandida, y luego las partes real e imaginaria pueden ser tomadas para producir fórmulas para cos( nx ) y sen( nx ) . Por ejemplo, dado que Pero la fórmula de De Moivre identifica el lado izquierdo con , entonces que son las identidades de doble ángulo usuales. De manera similar, dado que la fórmula de De Moivre produce En general, y También hay fórmulas similares que usan polinomios de Chebyshev . $${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}$$ ${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}$ $${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$$ $${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$$ $${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$$ $${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$$ $${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$$

Serie parami

El número e se define a menudo mediante la fórmula $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$

Aplicando el teorema del binomio a esta expresión se obtiene la serie infinita habitual para e . En particular: $${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}$$

El término k- ésimo de esta suma es $${\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$$

Como n → ∞ , la expresión racional de la derecha se acerca a 1 y, por lo tanto, $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$$

Esto indica que e puede escribirse como una serie: $${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$$

De hecho, como cada término del desarrollo binomial es una función creciente de n , se deduce del teorema de convergencia monótona para series que la suma de esta serie infinita es igual a  e .

Probabilidad

El teorema binomial está estrechamente relacionado con la función de masa de probabilidad de la distribución binomial negativa . La probabilidad de que una colección (contable) de ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito no ocurra en todos los casos es ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$ ${\displaystyle p\in [0,1]}$

${\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.}$

Un límite superior para esta cantidad es ^[20] ${\displaystyle e^{-p|S|}.}$

En álgebra abstracta

El teorema binomial es válido de manera más general para dos elementos x e y en un anillo , o incluso un semianillo , siempre que xy = yx . Por ejemplo, es válido para dos matrices n × n , siempre que esas matrices conmuten; esto es útil para calcular potencias de una matriz. ^[21]

El teorema binomial se puede enunciar diciendo que la secuencia polinomial {1, x , x ² , x ³ , ...} es de tipo binomial .

En la cultura popular

• El teorema del binomio se menciona en la canción del mayor general en la ópera cómica Los piratas de Penzance .
• Sherlock Holmes describe al profesor Moriarty como autor de un tratado sobre el teorema del binomio .
• El poeta portugués Fernando Pessoa , utilizando el heterónimo Álvaro de Campos , escribió que "El Binomio de Newton es tan bello como la Venus de Milo . La verdad es que poca gente se fija en él". ^[22]
• En la película The Imitation Game de 2014 , Alan Turing hace referencia al trabajo de Isaac Newton sobre el teorema del binomio durante su primer encuentro con el comandante Denniston en Bletchley Park.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Aproximación binomial
• Distribución binomial
• Teorema del inverso del binomio
• Aproximación de Stirling
• Teorema de Tannery
• Polinomios que calculan sumas de potencias de progresiones aritméticas
• teorema del binomio q

Notas

1. Esto es para garantizar la convergencia. Dependiendo de r , la serie también puede converger algunas veces cuando | x | = | y | .

Referencias

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22. "Arquivo Pessoa: Obra Édita - O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo". arquivopessoa.net.

Lectura adicional

• Bag, Amulya Kumar (1966). "Teorema del binomio en la antigua India". Indian J. History Sci . 1 (1): 68–74.
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Coeficientes binomiales". Matemáticas concretas (2.ª ed.). Addison Wesley. págs. 153–256. ISBN 978-0-201-55802-9.OCLC 17649857  .

Enlaces externos

• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Binomio de Newton", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Teorema binomial de Stephen Wolfram y "Teorema binomial (paso a paso)" de Bruce Colletti y Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Este artículo incorpora material de la prueba inductiva del teorema binomial en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .