Suma

Suma de varios números u otros valores

En matemáticas , la sumatoria es la adición de una secuencia de números , llamados sumandos o sumandos , cuyo resultado es la suma o total de los mismos . Además de números, también se pueden sumar otros tipos de valores: funciones , vectores , matrices , polinomios y, en general, elementos de cualquier tipo de objetos matemáticos sobre los que se defina una operación denotada "+".

Las sumas de sucesiones infinitas se denominan series . Implican el concepto de límite y no se consideran en este artículo.

La suma de una secuencia explícita se denota como una sucesión de adiciones. Por ejemplo, la suma de [1, 2, 4, 2] se denota 1 + 2 + 4 + 2 , y da como resultado 9, es decir, 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Como la adición es asociativa y conmutativa , no hay necesidad de paréntesis y el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. La suma de una secuencia de un solo sumando da como resultado este mismo sumando. La suma de una secuencia vacía (una secuencia sin elementos), por convención, da como resultado 0.

Muy a menudo, los elementos de una secuencia se definen, a través de un patrón regular, como una función de su lugar en la secuencia. Para patrones simples, la suma de secuencias largas se puede representar con la mayoría de los sumandos reemplazados por elipses. Por ejemplo, la suma de los primeros 100 números naturales se puede escribir como 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 . De lo contrario, la suma se denota utilizando la notación Σ, donde es una letra griega mayúscula agrandada sigma . Por ejemplo, la suma de los primeros n números naturales se puede denotar como . ${\textstyle \sum }$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}i}$

En el caso de sumas largas y sumas de longitud variable (definidas con elipses o notación Σ), es un problema común encontrar expresiones de forma cerrada para el resultado. Por ejemplo, ^[a]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Aunque dichas fórmulas no siempre existen, se han descubierto muchas fórmulas de suma; algunas de las más comunes y elementales se enumeran en el resto de este artículo.

Notación

Notación sigma-mayúscula

El símbolo de suma

La notación matemática utiliza un símbolo que representa de forma compacta la suma de muchos términos similares: el símbolo de suma , , una forma ampliada de la letra griega mayúscula vertical sigma . ^[1] Esto se define como ${\textstyle \sum }$

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

donde i es el índice de la sumatoria ; a _i es una variable indexada que representa cada término de la suma; m es el límite inferior de la sumatoria y n es el límite superior de la sumatoria . El " i = m " debajo del símbolo de sumatoria significa que el índice i comienza igual a m . El índice, i , se incrementa en uno para cada término sucesivo, deteniéndose cuando i = n . ^[b]

Esto se lee como "suma de a _i , desde i = m hasta n ".

A continuación se muestra un ejemplo que muestra la suma de cuadrados:

${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$

En general, si bien cualquier variable puede usarse como índice de suma (siempre que no haya ninguna ambigüedad), algunas de las más comunes incluyen letras como , ^[c] , y ; esta última también se usa a menudo para el límite superior de una suma. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Alternativamente, el índice y los límites de la suma a veces se omiten de la definición de suma si el contexto es suficientemente claro. Esto se aplica particularmente cuando el índice va de 1 a n . ^[2] Por ejemplo, se podría escribir que:

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.}$

A menudo se utilizan generalizaciones de esta notación, en las que se proporciona una condición lógica arbitraria y se pretende que la suma se realice sobre todos los valores que satisfacen la condición. Por ejemplo:

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$

es una notación alternativa para la suma de todos los números enteros en el rango especificado. De manera similar, ${\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}$ ${\displaystyle f(k)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$

es la suma de todos los elementos del conjunto , y ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}$

es la suma de todos los números enteros positivos dividiendo . ^[d] ${\displaystyle \mu (d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

También existen formas de generalizar el uso de muchos signos sigma. Por ejemplo,

${\displaystyle \sum _{i,j}}$

es lo mismo que

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}.}$

Se utiliza una notación similar para el producto de una secuencia , donde , una forma ampliada de la letra mayúscula griega pi , se utiliza en lugar de ${\textstyle \prod }$ ${\textstyle \sum .}$

Casos especiales

Es posible sumar menos de 2 números:

• Si la suma tiene un sumando , entonces la suma evaluada es . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• Si la suma no tiene sumandos, entonces la suma evaluada es cero , porque cero es la identidad de la adición. Esto se conoce como suma vacía .

Estos casos degenerados se suelen utilizar solo cuando la notación de suma arroja un resultado degenerado en un caso especial. Por ejemplo, si en la definición anterior, entonces solo hay un término en la suma; si , entonces no hay ninguno. ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle n=m-1}$

Suma algebraica

La frase "suma algebraica" se refiere a una suma de términos que pueden tener signos positivos o negativos. Los términos con signos positivos se suman, mientras que los términos con signos negativos se restan.

Definición formal

La suma puede definirse recursivamente de la siguiente manera:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$, para ; ${\displaystyle b<a}$

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}$, para . ${\displaystyle b\geqslant a}$

Notación de la teoría de la medida

En la notación de la teoría de la medida y la integración , una suma se puede expresar como una integral definida ,

${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

donde es el subconjunto de los números enteros de a , y donde es la medida de conteo sobre los números enteros. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mu }$

Cálculo de diferencias finitas

Dada una función f que está definida sobre los números enteros en el intervalo [ m , n ] , se cumple la siguiente ecuación:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

Esto se conoce como serie telescópica y es el análogo del teorema fundamental del cálculo en el cálculo de diferencias finitas , que establece que:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}$

dónde

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

es la derivada de f .

Un ejemplo de aplicación de la ecuación anterior es el siguiente:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}$

Usando el teorema binomial , esto puede reescribirse como:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.}$

La fórmula anterior se utiliza más comúnmente para invertir el operador de diferencia , definido por: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}$

donde f es una función definida sobre los números enteros no negativos. Por lo tanto, dada una función f , el problema consiste en calcular la antidiferencia de f , una función tal que . Es decir, Esta función está definida hasta la adición de una constante, y puede elegirse como ^[3] ${\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}$ ${\displaystyle \Delta F=f}$ ${\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}$

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

No siempre existe una expresión de forma cerrada para dicha suma, pero la fórmula de Faulhaber proporciona una forma cerrada en el caso donde y, por linealidad , para cada función polinomial de n . ${\displaystyle f(n)=n^{k}}$

Aproximación por integrales definidas

Muchas de estas aproximaciones se pueden obtener mediante la siguiente conexión entre sumas e integrales , que es válida para cualquier función creciente f :

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}$

y para cualquier función decreciente f :

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}$

Para aproximaciones más generales, consulte la fórmula de Euler-Maclaurin .

Para las sumas en las que el sumando está dado (o puede interpolarse) por una función integrable del índice, la suma puede interpretarse como una suma de Riemann que aparece en la definición de la integral definida correspondiente. Por lo tanto, se puede esperar que, por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}$

ya que el lado derecho es por definición el límite para el lado izquierdo. Sin embargo, para una suma dada n es fija, y poco se puede decir acerca del error en la aproximación anterior sin suposiciones adicionales sobre f : es claro que para funciones que oscilan fuertemente la suma de Riemann puede estar arbitrariamente lejos de la integral de Riemann. ${\displaystyle n\to \infty }$

Identidades

Las fórmulas siguientes implican sumas finitas; para sumas infinitas o sumas finitas de expresiones que involucran funciones trigonométricas u otras funciones trascendentales , consulte la lista de series matemáticas .

Identidades generales

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( distributividad ) ^[4]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$( conmutatividad y asociatividad ) ^[4]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$(cambio de índice)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$para una biyección σ de un conjunto finito A sobre un conjunto B (cambio de índice); esto generaliza la fórmula anterior.

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$(dividir una suma, usando asociatividad )

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$(una variante de la fórmula anterior)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$(la suma del primer término hasta el último es igual a la suma del último hasta el primero)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$(un caso particular de la fórmula anterior)

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$(conmutatividad y asociatividad, de nuevo)

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$(otra aplicación de la conmutatividad y asociatividad)

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$(dividir una suma en sus partes pares e impares , para índices pares)

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$(dividir una suma en sus partes pares e impares, para índices impares)

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad }$( distributividad )

${\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad }$(la distributividad permite la factorización)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$(el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores)

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$(la exponencial de una suma es el producto de la exponencial de los sumandos)

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }$para cualquier función de . ${\textstyle f}$ ${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

Potencias y logaritmos de progresiones aritméticas

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$para cada c que no depende de i

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$(Suma de la progresión aritmética más simple , formada por los primeros n números naturales.) ^{[3] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$(Suma de los primeros números naturales impares)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$(Suma de los primeros números naturales pares)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad }$(La suma de logaritmos es el logaritmo del producto)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$(Suma de los primeros cuadrados , ver número piramidal cuadrado .) ^{[3] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$( Teorema de Nicómaco ) ^{[3] : 52}

De manera más general, se tiene la fórmula de Faulhaber para ${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

donde denota un número de Bernoulli , y es un coeficiente binomial . ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$

Índice de sumatoria en exponentes

En las siguientes sumas, se supone que a es diferente de 1.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$(suma de una progresión geométrica )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$(caso especial para a = 1/2 )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$( a por la derivada con respecto a de la progresión geométrica)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

(suma de una secuencia aritmético-geométrica )

Coeficientes binomiales y factoriales

Existen muchas identidades de suma que involucran coeficientes binomiales (un capítulo entero de Matemáticas Concretas está dedicado sólo a las técnicas básicas). Algunas de las más básicas son las siguientes:

Implicando el teorema del binomio

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$El teorema del binomio

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}$El caso especial donde a = b = 1

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$, el caso especial donde p = a = 1 − b , que, para expresa la suma de la distribución binomial ${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}$el valor en a = b = 1 de la derivada con respecto a del teorema del binomio

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}$el valor en a = b = 1 de la antiderivada con respecto a a del teorema del binomio

Involucrando números de permutación

En las siguientes sumas, es el número de k -permutaciones de n . ${\displaystyle {}_{n}P_{k}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}$, donde y denota la función de suelo . ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

Otros

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}$

Números armónicos

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }$(el n -ésimo número armónico )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad }$(un número armónico generalizado )

Tasas de crecimiento

Las siguientes son aproximaciones útiles (utilizando la notación theta ):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$para c real mayor que −1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}$(Ver Número armónico )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$para c real mayor que 1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$para c real no negativo

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$para c , d reales no negativos

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$para números reales no negativos b > 1, c , d

Historia

• En 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz , en una carta a Henry Oldenburg , sugiere el símbolo ∫ para marcar la suma de diferenciales ( latín : calculus summatorius ), de ahí la forma de S. ^{[5] [6] [7]} El cambio de nombre de este símbolo a integral surgió más tarde en intercambios con Johann Bernoulli . ^[7]
• En 1755, el símbolo de suma Σ está atestiguado en Institutiones calculi Differentialis de Leonhard Euler . ^{[8] [9]} Euler usa el símbolo en expresiones como:

${\displaystyle \Sigma \ (2wx+w^{2})=x^{2}}$

• En 1772, el uso de Σ y Σ ⁿ está atestiguado por Lagrange . ^{[8] [10]}
• En 1823 se atestigua el uso de la letra S mayúscula como símbolo de suma de series. Este uso aparentemente estaba muy extendido. ^[8]
• En 1829, el símbolo de suma Σ es atestiguado por Fourier y CGJ Jacobi . ^[8] El uso de Fourier incluye límites inferiores y superiores, por ejemplo: ^{[11] [12]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots }$

Véase también

• Notación pi mayúscula
• Notación de Einstein
• Soporte de Iverson
• Operación binaria iterada
• Algoritmo de suma de Kahan
• Producto (matemáticas)
• Suma por partes
• Sigma § Codificación de caracteres

Notas

1. Para más detalles, consulte Número triangular .
2. Para una exposición detallada sobre la notación de suma y la aritmética con sumas, véase Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Capítulo 2: Sumas". Matemáticas concretas: una base para la informática (2.ª ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0201558029.
3. en contextos donde no hay posibilidad de confusión con la unidad imaginaria ${\displaystyle i}$
4. Aunque el nombre de la variable ficticia no importa (por definición), normalmente se usan letras del medio del alfabeto ( hasta ) para denotar números enteros, si existe riesgo de confusión. Por ejemplo, incluso si no debería haber dudas sobre la interpretación, podría resultar ligeramente confuso para muchos matemáticos ver en lugar de en las fórmulas anteriores que involucran . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Referencias

1. Apostol, Tom M. (1967). Cálculo . Vol. 1 (2.ª ed.). Estados Unidos: John Wiley & Sons. pág. 37. ISBN. 0-471-00005-1.
2. "Notación de sumatoria". www.columbia.edu . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
3. Manual de matemáticas discretas y combinatorias , Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 . 
4. "Cálculo I - Notación de sumatoria". tutorial.math.lamar.edu . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
5. Burton, David M. (2011). La historia de las matemáticas: una introducción (7.ª ed.). McGraw-Hill. pág. 414. ISBN 978-0-07-338315-6.
6. Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Gerhardt, Karl Immanuel (ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Berlín: Mayer & Müller. pag. 154.
7. Cajori (1929), págs.
8. Cajori (1929), pág. 61.
9. Euler, Leonhard (1755). Institutiones Calculi diferencialis (en latín). Petrópolis. pag. 27.
10. Lagrange, Joseph-Louis (1867–1892). Obras de Lagrange. Tomo 3 (en francés). París. pag. 451.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
11. Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France pour l'année 1825, tomo VIII (en francés). París: Didot. 1829. págs. 581-622.
12. Fourier, Jean-Baptiste Joseph (1888–1890). Obras de Fourier. Tomo 2 (en francés). París: Gauthier-Villars. pag. 149.

Bibliografía

• Cajori, Florian (1929). Una historia de las notaciones matemáticas, volumen II. Open Court Publishing. ISBN 978-0-486-67766-8.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Suma en Wikimedia Commons