Sucesión aritmético-geométrica

Secuencia matemática que satisface un patrón específico

En matemáticas , una sucesión aritmético-geométrica es el resultado de la multiplicación elemento por elemento de los elementos de una progresión geométrica con los elementos correspondientes de una progresión aritmética . El n- ésimo elemento de una sucesión aritmético-geométrica es el producto del n -ésimo elemento de una sucesión aritmética y el n -ésimo elemento de una sucesión geométrica. ^[1] Una serie aritmético-geométrica es una suma de términos que son los elementos de una sucesión aritmético-geométrica. Las sucesiones y series aritmético-geométricas surgen en diversas aplicaciones, como el cálculo de valores esperados en la teoría de la probabilidad , especialmente en los procesos de Bernoulli .

Por ejemplo, la secuencia

${\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }$

es una sucesión aritmético-geométrica. El componente aritmético aparece en el numerador (en azul), y el geométrico en el denominador (en verde). La serie sumatoria de los infinitos elementos de esta sucesión se ha denominado escalera de Gabriel y tiene valor 2. ^{[2] [3]} En general,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\color {blue}k}{\color {green}r^{k}}={\frac {r}{(1-r)^{2}}}\quad \mathrm {for\ } 0<r<1.}$

La etiqueta de sucesión aritmético-geométrica también puede darse a diferentes objetos que combinan características tanto de sucesiones aritméticas como geométricas. Por ejemplo, la noción francesa de sucesión aritmético-geométrica se refiere a sucesiones que satisfacen relaciones de recurrencia de la forma , que combinan las relaciones de recurrencia definitorias para sucesiones aritméticas y para sucesiones geométricas. Estas sucesiones son, por lo tanto, soluciones a una clase especial de ecuación diferencial lineal : recurrencias lineales de primer orden no homogéneas con coeficientes constantes . ${\displaystyle u_{n+1}=ru_{n}+d}$ ${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+d}$ ${\displaystyle u_{n+1}=ru_{n}}$

Elementos

Los elementos de una progresión aritmético-geométrica son los productos de los elementos de una progresión aritmética (en azul) con valor inicial y diferencia común , con los elementos correspondientes de una progresión geométrica (en verde) con valor inicial y razón común , de modo que ^[4] ${\displaystyle (A_{n}G_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (A_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A_{n}=a+(n-1)d,}$ ${\displaystyle (G_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G_{n}=br^{n-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}G_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\A_{2}G_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\A_{3}G_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\A_{n}G_{n}&=\color {blue}(a+(n-1)d)\color {green}br^{n-1}\color {black}.\end{aligned}}}$

Estos cuatro parámetros son algo redundantes y se pueden reducir a tres: y ${\displaystyle ab,}$ ${\displaystyle bd,}$ ${\displaystyle r.}$

Ejemplo

La secuencia

${\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }$

es la secuencia aritmético-geométrica con parámetros , , y . ${\displaystyle d=b=1}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle r=1/2}$

Serie

Sumas parciales

La suma de los primeros n términos de una serie aritmético-geométrica tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}A_{k}G_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(a+(k-1)d\right)br^{k-1}=b\sum _{k=0}^{n-1}\left(a+kd\right)r^{k}\\&=ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +(a+(n-1)d)br^{n-1}\end{aligned}}}$

donde y son los i- ésimos elementos de la progresión aritmética y geométrica, respectivamente. ${\textstyle A_{i}}$ ${\textstyle G_{i}}$

Esta suma parcial tiene la expresión en forma cerrada

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}}$

Derivación

Multiplicando ^[4]

${\displaystyle S_{n}=ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +(a+(n-1)d)br^{n-1}}$

por r da

${\displaystyle rS_{n}=abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +(a+(n-1)d)br^{n}.}$

Restando rS _n de S _n , dividiendo ambos lados por y utilizando la técnica de series telescópicas (segunda igualdad) y la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (quinta igualdad) se obtiene ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}/b={}&\left(a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +(a+(n-1)d)r^{n-1}\right)\\[5pt]&{}-\left(ar+(a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\cdots +(a+(n-1)d)r^{n}\right)\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+(n-1)d\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+dr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+{\frac {dr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)r^{n},\\S_{n}=&{\frac {b}{1-r}}\left(a-(a+nd)r^{n}+{\frac {dr(1-r^{n})}{1-r}}\right)\\=&{\frac {ab-(a+nd)br^{n}}{1-r}}+{\frac {dr(b-br^{n})}{(1-r)^{2}}}\\=&{\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr(G_{1}-G_{n+1})}{(1-r)^{2}}}\end{aligned}}}$

como se afirma.

Serie infinita

Si −1 < r < 1, entonces la suma S de la serie aritmético-geométrica , es decir, el límite de las sumas parciales de los elementos de la secuencia, está dada por ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r}}+{\frac {drG_{1}}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Si r está fuera del rango anterior, b no es cero y a y d no son ambos cero, el límite no existe y la serie es divergente .

Ejemplo

La suma

${\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots }$,

es la suma de una serie aritmético-geométrica definida por , , y , y converge a . Esta secuencia corresponde al número esperado de lanzamientos de moneda necesarios para obtener "cruz". La probabilidad de obtener cruz por primera vez en el k -ésimo lanzamiento es la siguiente: ${\displaystyle d=b=1}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle S=2}$ ${\displaystyle T_{k}}$

${\displaystyle T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}}$.

Por lo tanto, el número esperado de lanzamientos para llegar a las primeras "cruces" está dado por

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=2.}$

De manera similar, la suma

${\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{5/6}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{6/5}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{(6/5)^{2}}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{(6/5)^{3}}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}*\color {green}{1/6}}{\color {green}{(6/5)^{4}}}}+\cdots }$

es la suma de una serie aritmético-geométrica definida por , , , y , y converge a 6. Esta secuencia corresponde al número esperado de tiradas de dados de seis caras necesarias para obtener un valor específico en una tirada de dados, por ejemplo "5". En general, estas series con , , , y dan las expectativas de "la cantidad de ensayos hasta el primer éxito" en procesos de Bernoulli con "probabilidad de éxito" . Las probabilidades de cada resultado siguen una distribución geométrica y proporcionan los factores de secuencia geométrica en los términos de la serie, mientras que el número de ensayos por resultado proporciona los factores de secuencia aritmética en los términos. ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=(1/6)/(5/6)}$ ${\displaystyle r=5/6}$ ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=p/(1-p)}$ ${\displaystyle r=(1-p)}$ ${\displaystyle p}$

Referencias

1. "Progresión aritmético-geométrica | Wiki de Brilliant Math & Science". brilliant.org . Consultado el 21 de abril de 2021 .
2. Swain, Stuart G. (2018). "Prueba sin palabras: la escalera de Gabriel". Revista de Matemáticas . 67 (3): 209. doi :10.1080/0025570X.1994.11996214. ISSN  0025-570X.
3. Edgar, Tom (2018). "Serie Escalera". Revista de Matemáticas . 91 (2): 92–95. doi :10.1080/0025570X.2017.1415584. ISSN  0025-570X. S2CID  218542483.
4. KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería (3.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 118. ISBN 978-0-521-86153-3.

Lectura adicional

• D. Khattar. La guía Pearson de matemáticas para el IIT-JEE, 2/e (nueva edición). Pearson Education India. pág. 10.8. ISBN 81-317-2876-5.
• P. Gupta. Matemáticas integrales XI. Laxmi Publications. pág. 380. ISBN 81-7008-597-7.