En música, la entonación justa o entonación pura es la afinación de intervalos musicales como razones de números enteros (como 3:2 o 4:3) de frecuencias . Un intervalo afinado de esta manera se dice que es puro y se llama intervalo justo . Los intervalos justos (y los acordes creados al combinarlos) consisten en tonos de una sola serie armónica de una fundamental implícita . Por ejemplo, en el diagrama, si las notas G3 y C4 (etiquetadas 3 y 4) están afinadas como miembros de la serie armónica del C más bajo, sus frecuencias serán 3 y 4 veces la frecuencia fundamental. La razón de intervalo entre C4 y G3 es, por lo tanto, 4:3, una cuarta justa .
En la práctica musical occidental, los instrumentos de arco, como violines, violas, violonchelos y contrabajos, se afinan utilizando quintas o cuartas puras. Por el contrario, los instrumentos de teclado rara vez se afinan utilizando solo intervalos puros; el deseo de que las diferentes tonalidades tengan intervalos idénticos en la música occidental hace que esto sea poco práctico. Algunos instrumentos de tono fijo, como los pianos eléctricos, se afinan comúnmente utilizando el temperamento igual , en el que todos los intervalos que no sean octavas consisten en razones de frecuencia de números irracionales. Los pianos acústicos generalmente se afinan con las octavas ligeramente ensanchadas y, por lo tanto, sin intervalos puros en absoluto.
La frase "entonación justa" se utiliza tanto para referirse a una versión específica de una entonación diatónica de 5 límites , es decir, la diatónica intensa de Ptolomeo , como a toda una clase de afinaciones que utilizan intervalos de números enteros derivados de la serie armónica . En este sentido, la "entonación justa" se diferencia de los temperamentos iguales y las afinaciones " templadas " del Renacimiento temprano y el Barroco , como el temperamento bien o el temperamento mediotono . Dado que el límite de 5 ha sido la entonación justa más frecuente utilizada en la música occidental, los músicos occidentales han tendido posteriormente a considerar esta escala como la única versión de entonación justa. En principio, hay un número infinito de posibles "entonaciones justas", ya que la serie armónica es infinita.
Las entonaciones justas se clasifican por la noción de límites . El límite se refiere a la fracción de número primo más alta incluida en los intervalos de una escala. Todos los intervalos de cualquier entonación justa de 3 límites serán múltiplos de 3. Por lo tanto , 6 /5 está incluido en el límite de 5, porque tiene 5 en el denominador. Si una escala usa un intervalo de 21:20, es una entonación de límite de 7, ya que 21 es múltiplo de 7. El intervalo 9 /8 es un intervalo límite de 3 porque tanto el numerador como el denominador son múltiplos de 3 y 2. Es posible tener una escala que use intervalos límite de 5 pero no intervalos límite de 2, es decir, sin octavas, como las escalas alfa y beta de Wendy Carlos . También es posible hacer escalas diatónicas que no usen cuartas o quintas (límite de 3), sino que usen solo intervalos límite de 5 y 7. Por lo tanto, la noción de límite es una distinción útil, pero ciertamente no nos dice todo lo que hay que saber sobre una escala en particular.
La afinación pitagórica , o afinación límite 3, permite proporciones que incluyen los números 2 y 3 y sus potencias, como 3:2, una quinta perfecta , y 9:4, una novena mayor . Aunque el intervalo de C a G se denomina quinta perfecta para fines de análisis musical independientemente de su método de afinación, para fines de discutir los sistemas de afinación, los musicólogos pueden distinguir entre una quinta perfecta creada utilizando la proporción 3:2 y una quinta temperada utilizando algún otro sistema, como el temperamento medio o igual .
La afinación de límite 5 abarca proporciones que utilizan además el número 5 y sus potencias, como 5:4, una tercera mayor , y 15:8, una séptima mayor . El término especializado tercera perfecta se utiliza ocasionalmente para distinguir la proporción 5:4 de las terceras mayores creadas con otros métodos de afinación. Los sistemas de límite 7 y superiores utilizan números primos parciales más altos en la serie de armónicos (por ejemplo, 11, 13, 17, etc.)
Las comas son intervalos muy pequeños que resultan de diferencias mínimas entre pares de intervalos justos. Por ejemplo, la proporción 5:4 (límite 5) es diferente de la tercera mayor pitagórica (límite 3) (81:64) por una diferencia de 81:80, llamada coma sintónica . La coma septimal , la proporción de 64:63, es un intervalo límite 7 que es la distancia entre el semitono pitagórico , 32 /27 , y la séptima tercera menor , 7:6, ya que
Un cent es una medida de tamaño de intervalo. Es logarítmica en las relaciones de frecuencia musical. La octava se divide en 1200 pasos, 100 centésimas por cada semitono. Los centésimas se utilizan a menudo para describir cuánto se desvía un intervalo justo de 12 TET . Por ejemplo, la tercera mayor es de 400 centésimas en 12 TET, pero el quinto armónico, 5:4 es de 386,314 centésimas. Por lo tanto, la tercera mayor justa se desvía en −13,686 centésimas.
Escritores posteriores han atribuido la afinación pitagórica tanto a Pitágoras como a Eratóstenes , pero es posible que también la hayan analizado otros griegos primitivos o otras culturas primitivas. La descripción más antigua conocida del sistema de afinación pitagórica aparece en artefactos babilónicos. [1]
Durante el siglo II d. C., Claudio Ptolomeo describió una escala diatónica de 5 límites en su influyente texto sobre teoría musical Armónicos , a la que llamó "diatónica intensa". [2] Dadas las proporciones de longitudes de cuerdas 120, 112+1/2100 , 90, 80, 75, 66+2/3 , y 60, [2] Ptolomeo cuantificó la afinación de lo que más tarde se llamaría la escala frigia (equivalente a la escala mayor que comienza y termina en la tercera nota): 16:15, 9:8, 10:9, 9:8, 16:15, 9:8 y 10:9.
Ptolomeo describe una variedad de otras entonaciones justas derivadas de la historia ( Pitágoras , Filolao , Arquitas , Aristóxeno , Eratóstenes y Dídimo ) y varias de su propio descubrimiento/invención, incluidos muchos patrones de intervalos en 3-límite , 5-límite , 7-límite e incluso un diatónico de 11-límite.
La música no occidental, en particular la construida sobre escalas pentatónicas, se afina en gran medida utilizando solo la entonación. En China, el guqin tiene una escala musical basada en posiciones armónicas de sobretonos . Los puntos en su tabla de resonancia indican las posiciones armónicas: 1/8 , 1/6 , 1/5 , 1/4 , 1/3 , 2/5 , 1/2 , 3/5 , 2/3 , 3/4 , 4/5 , 5/6 , 7/8 . [3] La música india tiene un amplio marco teórico para la afinación en entonación justa. [ cita requerida ]
Las notas prominentes de una escala dada pueden afinarse de modo que sus frecuencias formen proporciones de números enteros (relativamente) pequeños.
La escala mayor diatónica de 5 límites está afinada de tal manera que las tríadas mayores en la tónica , subdominante y dominante están afinadas en la proporción 4:5:6, y las tríadas menores en la medianera y submediante están afinadas en la proporción 10:12:15. Debido a los dos tamaños de tono entero – 9:8 (tono entero mayor) y 10:9 (tono entero menor) – la supertónica debe ser microtonalmente bajada por una coma sintónica para formar una tríada menor pura.
La escala mayor diatónica de 5 límites ( escala diatónica intensa de Ptolomeo ) en C se muestra en la siguiente tabla: [4] [5] [6] : 78 [7]
En este ejemplo, el intervalo de D a A sería una quinta de lobo con una proporción de 40 ⁄ 27 , aproximadamente 680 cents, notablemente menor que los 702 cents de la proporción pura de 3 ⁄ 2. Schenker lo menciona en referencia a la enseñanza de Bruckner. [8]
Para una escala menor diatónica correctamente afinada, la medianera está afinada en 6:5 y la submedianera en 8:5. Esto incluiría una afinación de 9:5 para la subtónica . Por ejemplo, en A:
Hay varias formas de crear una afinación justa de la escala de doce tonos.
La afinación pitagórica puede producir una escala de doce tonos, pero lo hace involucrando proporciones de números muy grandes, correspondientes a armónicos naturales muy altos en la serie armónica que no ocurren ampliamente en los fenómenos físicos. Esta afinación utiliza proporciones que involucran solo potencias de 3 y 2, creando una secuencia de solo quintas o cuartas , como sigue:
Las proporciones se calculan con respecto a C (la nota base ). A partir de C, se obtienen desplazándose seis pasos (alrededor del círculo de quintas ) hacia la izquierda y seis hacia la derecha. Cada paso consiste en una multiplicación de la nota anterior por 2 ⁄ 3 (quinta descendente), 3 ⁄ 2 (quinta ascendente) o sus inversiones ( 3 ⁄ 4 o 4 ⁄ 3 ).
Entre las notas enarmónicas en ambos extremos de esta secuencia hay una relación de tono de 3 12/2 19 = 531441/524288 , o alrededor de 23 centésimas , conocida como la coma pitagórica . Para producir una escala de doce tonos, se descarta una de ellas arbitrariamente. Las doce notas restantes se repiten aumentando o disminuyendo sus frecuencias en una potencia de 2 (el tamaño de una o más octavas ) para construir escalas con múltiples octavas (como el teclado de un piano). Una desventaja de la afinación pitagórica es que una de las doce quintas de esta escala está mal afinada y, por lo tanto, inutilizable (la quinta del lobo , ya sea F ♯ –D ♭ si se descartaG ♭ , o B–G ♭ si se descarta F ♯ ). Esta escala de doce tonos está bastante cerca del temperamento igual , pero no ofrece mucha ventaja para la armonía tonal porque solo los intervalos perfectos (cuarta, quinta y octava) son lo suficientemente simples para sonar puros. Las terceras mayores, por ejemplo, reciben el intervalo bastante inestable de 81:64, más agudo que el 5:4 preferido por una proporción de 81:80. [9] La razón principal para su uso es que es extremadamente fácil de afinar, ya que su componente básico, la quinta perfecta, es el intervalo más simple y, en consecuencia, el más consonante después de la octava y el unísono.
La afinación pitagórica puede considerarse como un sistema de afinación de "tres límites", porque las relaciones pueden expresarse como un producto de potencias enteras únicamente de números enteros menores o iguales a 3.
También se puede crear una escala de doce tonos combinando armónicos hasta el quinto: es decir, multiplicando la frecuencia de una nota de referencia dada (la nota base) por potencias de 2, 3 o 5, o una combinación de ellas. Este método se denomina afinación de cinco límites.
Para construir una escala de doce tonos (usando C como nota base), podemos comenzar construyendo una tabla que contenga quince tonos:
Los factores enumerados en la primera fila y columna son potencias de 3 y 5, respectivamente (por ejemplo, 1 /9 = 3 −2 ). Los colores indican pares de notas enarmónicas con un tono casi idéntico. Las proporciones se expresan todas en relación con C en el centro de este diagrama (la nota base de esta escala). Se calculan en dos pasos:
Nótese que las potencias de 2 utilizadas en el segundo paso pueden interpretarse como octavas ascendentes o descendentes . Por ejemplo, multiplicar la frecuencia de una nota por 2 6 significa aumentarla en 6 octavas. Además, cada fila de la tabla puede considerarse una secuencia de quintas (ascendentes hacia la derecha) y cada columna una secuencia de terceras mayores (ascendentes hacia arriba). Por ejemplo, en la primera fila de la tabla, hay una quinta ascendente desde D y A, y otra (seguida de una octava descendente) desde A hasta E. Esto sugiere un método alternativo pero equivalente para calcular las mismas proporciones. Por ejemplo, uno puede obtener A, comenzando desde C, moviendo una celda a la izquierda y una hacia arriba en la tabla, lo que significa descender una quinta y ascender una tercera mayor:
Dado que esto está por debajo de C, es necesario subir una octava para terminar dentro del rango deseado de relaciones (de 1:1 a 2:1):
Una escala de 12 tonos se obtiene quitando una nota por cada par de notas enarmónicas. Esto se puede hacer de cuatro maneras que tienen en común la eliminación de G ♭ , según una convención que era válida incluso para las escalas pitagóricas basadas en C y de medias notas de un cuarto de coma . Nótese que es una quinta disminuida , cerca de media octava, por encima de la tónica C, que es un intervalo discordante; también su razón tiene los mayores valores en su numerador y denominador de todos los tonos de la escala, lo que la hace menos armoniosa: Todas son razones para evitarla.
La siguiente tabla muestra una forma de obtener una escala de 12 tonos eliminando una nota por cada par de notas enarmónicas. En este método se descarta la primera columna de la tabla (etiquetada como " 1 /9 ").
Esta escala es "asimétrica" en el sentido de que subiendo desde la tónica dos semitonos multiplicamos la frecuencia por 9 /8 , al bajar desde la tónica dos semitonos no dividimos la frecuencia por 9 /8 . Para dos métodos que dan escalas "simétricas", consulte Afinación de cinco límites: escala de doce tonos .
La tabla anterior utiliza solo potencias bajas de 3 y 5 para construir las razones base. Sin embargo, se puede ampliar fácilmente utilizando potencias positivas y negativas más altas de los mismos números, como 5 2 = 25, 5 −2 = 1 ⁄ 25 , 3 3 = 27 o 3 −3 = 1 ⁄ 27 . Se puede obtener una escala con 25, 35 o incluso más tonos combinando estas razones base.
En la música india , se utiliza la escala diatónica descrita anteriormente, aunque hay diferentes posibilidades, por ejemplo para el sexto tono ( dha ), y se pueden realizar modificaciones adicionales para todos los tonos excepto sa y pa . [10]
Algunos relatos del sistema de entonación indio citan 12 swaras determinados que se dividen en 22 shrutis . [11] [12] Según algunos músicos, uno tiene una escala de 12 tonos determinados y diez más (la tónica, shadja ( sa ), y la quinta pura, pancham ( pa ), son inviolables (conocidas como achala [13] en la teoría musical india):
Cuando tenemos dos proporciones para un nombre de letra o swara dado, tenemos una diferencia de 81:80 (22 cents), que es la coma sintónica [9] o el praman [13] en la teoría musical india. Estas notas se conocen como chala . [13] La distancia entre dos nombres de letras se mide en tamaños, poorna (256:243) y nyuna (25:24). [13] Se puede ver la simetría, mirándola desde la tónica, luego desde la octava.
(Este es sólo un ejemplo de explicación de una escala de 22 tonos Śhruti. Hay muchas explicaciones diferentes).
Algunas escalas y sistemas de entonación justa fija, como la escala diatónica anterior, producen intervalos de Wolf cuando la nota bemol aproximadamente equivalente se sustituye por una nota sostenida que no está disponible en la escala, o viceversa. La escala anterior permite que aparezca un tono menor junto a un semitono, lo que produce la extraña relación 32:27 para D→F, y aún peor, un tono menor junto a una cuarta que da 40:27 para D→A. Aplanar D mediante una coma a 10:9 alivia estas dificultades, pero crea otras nuevas: D→G se convierte en 27:20, y D→B se convierte en 27:16. Este problema fundamental surge en cualquier sistema de afinación que utilice un número limitado de notas.
Se pueden tener más trastes en una guitarra (o teclas en un piano) para manejar ambos La, 9:8 con respecto a Sol y 10:9 con respecto a Sol de modo que A→C se puede tocar como 6:5 mientras que A→D todavía se puede tocar como 3:2. 9:8 y 10:9 son menores que 1/53 de octava de diferencia, por lo que consideraciones mecánicas y de rendimiento han hecho que este enfoque sea extremadamente raro. Y el problema de cómo afinar acordes complejos como C 6 add 9 (C→E→G→A→D), en la entonación típica de límite de 5, queda sin resolver (por ejemplo, A podría estar 4:3 por debajo de D (lo que lo convierte en 9:8, si G es 1) o 4:3 por encima de E (lo que lo convierte en 10:9, si G es 1) pero no ambos al mismo tiempo, por lo que una de las cuartas en el acorde tendrá que ser un intervalo de lobo desafinado). La mayoría de los acordes complejos (de tono añadido y extendidos) generalmente requieren intervalos más allá de las proporciones de límite de 5 comunes para sonar armoniosos (por ejemplo, el acorde anterior podría estar afinado a 8:10:12:13:18, usando la nota A del 13.º armónico), lo que implica incluso más tonalidades o trastes. Sin embargo, los trastes se pueden quitar por completo (esto, desafortunadamente, hace que la digitación afinada de muchos acordes sea extremadamente difícil, debido a la construcción y la mecánica de la mano humana) y la afinación de la mayoría de los acordes complejos en entonación justa es generalmente ambigua.
Algunos compositores utilizan deliberadamente estos intervalos de lobo y otros intervalos disonantes como una forma de ampliar la paleta de colores tonales de una pieza musical. Por ejemplo, las extensas piezas para piano The Well-Tuned Piano de La Monte Young y The Harp of New Albion de Terry Riley utilizan una combinación de intervalos muy consonantes y disonantes para lograr un efecto musical. En "Revelation", Michael Harrison va incluso más allá y utiliza el tempo de los patrones rítmicos producidos por algunos intervalos disonantes como parte integral de varios movimientos.
Cuando se afinan en una entonación justa, muchos instrumentos de afinación fija no se pueden tocar en una nueva tonalidad sin volver a afinar el instrumento. Por ejemplo, si un piano se afina en intervalos de entonación justa y un mínimo de intervalos de Wolf para la tonalidad de sol, entonces solo otra tonalidad (normalmente mi ♭ ) puede tener los mismos intervalos, y muchas de las tonalidades tienen un sonido muy disonante y desagradable. Esto hace que la modulación dentro de una pieza, o tocar un repertorio de piezas en diferentes tonalidades, sea poco práctico o imposible.
Los sintetizadores han demostrado ser una herramienta valiosa para los compositores que desean experimentar con la entonación justa. Se pueden resintonizar fácilmente con un microafinador . Muchos sintetizadores comerciales brindan la capacidad de usar escalas de entonación justa incorporadas o de crearlas manualmente. Wendy Carlos utilizó un sistema en su álbum de 1986 Beauty in the Beast , donde se usaba un teclado electrónico para tocar las notas y otro para establecer instantáneamente la nota fundamental a la que se afinaban todos los intervalos, lo que permitía la modulación. En su álbum de conferencias de 1987 Secrets of Synthesis hay ejemplos audibles de la diferencia de sonido entre el temperamento igual y la entonación justa.
Muchos cantantes (especialmente cuartetos de barbershop) e intérpretes de instrumentos sin trastes naturalmente buscan una entonación más justa al tocar:
“No te asustes si tu entonación difiere de la del piano. Es el piano el que está desafinado. El piano con su escala temperada es un compromiso en la entonación.” - Pablo Casals
Al intentar conseguir un sistema más justo para instrumentos que sean más adaptables, como la voz humana y los instrumentos sin trastes, las compensaciones de afinación entre una armonía más consonante y una fácil transponibilidad (entre diferentes tonalidades) han sido tradicionalmente demasiado complicadas para resolverlas mecánicamente, aunque ha habido intentos a lo largo de la historia con varios inconvenientes, incluido el archicembalo .
Desde la llegada de la informática personal, ha habido más intentos de resolver el problema percibido al intentar resolver algorítmicamente lo que muchos músicos profesionales han aprendido a través de la práctica y la intuición. Cuatro de los principales problemas son que la consonancia no puede ser perfecta para algunos acordes complejos, los acordes pueden tener consistencia interna pero chocar con la dirección general de la pieza y ajustar ingenuamente la afinación teniendo en cuenta solo los acordes de forma aislada puede llevar a una desviación en la que el final de la pieza es notablemente más alto o más bajo en tono general en lugar de estar centrado.
Las soluciones de software como Hermode Tuning suelen analizar las soluciones acorde por acorde en lugar de tener en cuenta el contexto global de toda la pieza, como se supone que hacen los intérpretes humanos. Desde 2017, se han llevado a cabo investigaciones para abordar estos problemas de forma algorítmica a través de la entonación adaptada dinámicamente y el aprendizaje automático. [14]
La voz humana es uno de los instrumentos de uso común con mayor flexibilidad tonal. El tono se puede variar sin restricciones y ajustar en medio de una interpretación, sin necesidad de volver a afinarlo. Aunque el uso explícito de la entonación justa cayó en desuso al mismo tiempo que el uso creciente del acompañamiento instrumental (con sus consiguientes restricciones tonales), la mayoría de los conjuntos a capela tienden naturalmente hacia la entonación justa debido a la comodidad que brinda su estabilidad. Los cuartetos de barbería son un buen ejemplo de esto.
Los instrumentos de cuerda sin trastes, como los de la familia del violín (el violín, la viola y el violonchelo) y el contrabajo, son bastante flexibles en cuanto a la forma en que se pueden ajustar los tonos. Los instrumentos de cuerda que no tocan con instrumentos de afinación fija tienden a ajustar el tono de las notas clave, como las terceras y los tonos principales, de modo que los tonos difieren del temperamento igual.
Los trombones tienen una vara que permite una afinación arbitraria durante la interpretación. Las trompas francesas se pueden afinar acortando o alargando la vara de afinación principal en la parte posterior del instrumento, con cada vara rotatoria o de pistón individual para cada válvula rotatoria o de pistón, y usando la mano derecha dentro de la campana para ajustar el tono empujando la mano más profundamente para aplanar la nota, o tirando de ella hacia afuera para agudizar la nota mientras se toca. Algunas trompas naturales también pueden ajustar la afinación con la mano en la campana, y las cornetas, trompetas, fliscornos, saxofón alto, tubas de Wagner y tubas con válvulas tienen varas de afinación generales y válvula por válvula, como las trompas con válvulas.
Los instrumentos de viento con válvulas tienden a tener una afinación natural y deben microafinarse si se requiere un temperamento igual.
Otros instrumentos de viento, aunque estén construidos a una escala determinada, pueden microafinarse hasta cierto punto mediante el uso de la embocadura o ajustes en la digitación.
Los compositores a menudo imponen un límite a la complejidad que pueden alcanzar las proporciones. [15] [ página necesaria ] Por ejemplo, un compositor que elige escribir en entonación con límite de 7 no empleará proporciones que utilicen potencias de números primos mayores que 7. Bajo este esquema, proporciones como 11:7 y 13:6 no estarían permitidas, porque 11 y 13 no se pueden expresar como potencias de esos números primos ≤ 7 ( es decir, 2, 3, 5 y 7).
Originalmente, un sistema de notación para describir escalas fue ideado por Hauptmann y modificado por Helmholtz (1877); la nota inicial se presume pitagórica; se coloca un “+” entre si la siguiente nota es una tercera mayor hacia arriba, un “−” si es una tercera menor, entre otros; finalmente, se colocan números subíndices en la segunda nota para indicar cuántas comas sintónicas (81:80) se deben bajar. [16] Por ejemplo, la tercera mayor pitagórica en C es C+E ( ) mientras que la tercera mayor justa es C+E 1 ( ). Un sistema similar fue ideado por Carl Eitz y utilizado en Barbour (1951) en el que las notas pitagóricas comienzan con y se agregan números superíndices positivos o negativos que indican con cuántas comas (81:80, coma sintónica) se debe ajustar. [17] Por ejemplo, la tercera mayor pitagórica en C es C−E 0 mientras que la tercera mayor justa es C−E −1 . Una extensión de esta notación basada en Pitágoras a los primos superiores es el sistema Helmholtz/Ellis/Wolf/Monzo [18] de símbolos ASCII y vectores de potencias de factores primos descritos en la Enciclopedia Tonalsoft de Monzo . [18]
Si bien estos sistemas permiten una indicación precisa de intervalos y tonos en la impresión, más recientemente algunos compositores han estado desarrollando métodos de notación para la entonación justa utilizando el pentagrama convencional de cinco líneas. James Tenney , entre otros, prefirió combinar proporciones JI con desviaciones de centésimas de las notas temperadas iguales , indicadas en una leyenda o directamente en la partitura, lo que permite a los intérpretes usar fácilmente dispositivos de afinación electrónicos si así lo desean. [19] [20]
A principios de los años 1960, Ben Johnston propuso un enfoque alternativo, redefiniendo la comprensión de los símbolos convencionales (las siete notas "blancas", los sostenidos y bemoles) y añadiendo más alteraciones accidentales, cada una diseñada para extender la notación a límites primos más altos . Su notación "comienza con las definiciones italianas de intervalos del siglo XVI y continúa desde allí". [21] La notación de Johnston se basa en una escala diatónica de Do Mayor afinada en JI (Fig. 4), en la que el intervalo entre D (9:8 por encima de C) y A (5:3 por encima de C) es una coma sintónica menos que una quinta perfecta pitagórica 3:2. Para escribir una quinta perfecta, Johnston introduce un par de símbolos, + y − de nuevo, para representar esta coma. Por lo tanto, una serie de quintas perfectas comenzando con F procedería CGD A+ E+ B+. Las tres notas blancas convencionales AEB están afinadas como terceras mayores ptolemaicas (5:4) por encima de FCG respectivamente. Johnston introduce nuevos símbolos para el septimal (
&
), indecimal ( ↑ y ↓ ), tridecimal (
&
), y otras extensiones de números primos para crear una notación JI exacta basada en accidentes para lo que ha llamado "Entonación Justa Extendida" (Fig. 2 y Fig. 3). [6] : 77–88 Por ejemplo, la tercera mayor pitagórica en C es C-E+ mientras que la tercera mayor justa es CE ♮ (Fig. 4).
En 2000-2004, Marc Sabat y Wolfgang von Schweinitz trabajaron en Berlín para desarrollar un método diferente basado en alteraciones accidentales, la Notación de Tono Helmholtz-Ellis JI Extendida. [23] Siguiendo el método de notación sugerido por Helmholtz en su clásico Sobre las Sensaciones del Tono como Base Fisiológica para la Teoría de la Música , incorporando la invención de los centésimas de Ellis y continuando el paso de Johnston hacia la "JI Extendida", Sabat y Schweinitz proponen símbolos únicos (alteraciones) para cada dimensión principal del espacio armónico. En particular, los bemoles, naturales y sostenidos convencionales definen una serie pitagórica de quintas perfectas. Las notas pitagóricas se emparejan luego con nuevos símbolos que las alteran commáticamente para representar varios otros parciales de la serie armónica (Fig. 1). Para facilitar la estimación rápida de las notas, se pueden agregar indicaciones de centésimas (por ejemplo, desviaciones hacia abajo por debajo y desviaciones hacia arriba por encima de la respectiva alteración). Una convención que se utiliza habitualmente es que las desviaciones de centésimas se refieren al tono templado que implica el bemol, el natural o el sostenido. Una leyenda completa y las fuentes para la notación (ver ejemplos) son de código abierto y están disponibles en el sitio web de Plainsound Music Edition. [24] Por ejemplo, la tercera mayor pitagórica en C es CE ♮ mientras que la tercera mayor justa es CE ♮ ↓ (ver la Figura 4 para el símbolo "combinado")
La notación sagital (del latín sagitta , "flecha") es un sistema de alteraciones accidentales en forma de flecha que indican alteraciones de la coma de números primos en los tonos de una serie pitagórica. Se utiliza para notar tanto la entonación justa como los temperamentos iguales. El tamaño del símbolo indica el tamaño de la alteración. [25]
La gran ventaja de estos sistemas de notación es que permiten escribir con precisión las series armónicas naturales. Al mismo tiempo, ofrecen cierto grado de practicidad gracias a su extensión de la notación de pentagrama, ya que los intérpretes con formación tradicional pueden recurrir a su intuición para estimar aproximadamente la altura de la nota. Esto puede contrastarse con el uso más abstracto de proporciones para representar notas en las que la cantidad en que difieren dos notas y la "dirección" del cambio pueden no ser inmediatamente obvias para la mayoría de los músicos. Una salvedad es el requisito de que los intérpretes aprendan e interioricen una (gran) cantidad de nuevos símbolos gráficos. Sin embargo, el uso de símbolos únicos reduce la ambigüedad armónica y la posible confusión que surge al indicar solo desviaciones de centésimas.
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