La afinación pitagórica es un sistema de afinación musical en el que las relaciones de frecuencia de todos los intervalos se determinan eligiendo una secuencia de quintas [2] que sean " puras " o perfectas , con razón . Se elige porque es el siguiente armónico de una cuerda vibrante, después de la octava (que es la razón ), y por lo tanto es el siguiente intervalo "puro" más consonante , y el más fácil de afinar de oído. Como dijo Novalis , "Las proporciones musicales me parecen proporciones naturales particularmente correctas". [3] Alternativamente, puede describirse como la afinación del temperamento sintónico [1] en el que el generador es la razón 3:2 (es decir, la quinta perfecta no temperada ), que tiene una amplitud de ≈ 702 cents .
El sistema se remonta a la antigua Mesopotamia. [4] (Véase Música de Mesopotamia § Teoría musical ). Su nombre, y ha sido atribuido erróneamente en gran medida, a los antiguos griegos , en particular a Pitágoras (siglo VI a. C.) por los autores modernos de teoría musical. Ptolomeo y, más tarde, Boecio , atribuyeron la división del tetracordio en sólo dos intervalos, llamados "semitonium" y "tonus" en latín (256:243 × 9:8 × 9:8), a Eratóstenes . La llamada "afinación pitagórica" fue utilizada por los músicos hasta principios del siglo XVI. "El sistema pitagórico parecería ser ideal debido a la pureza de las quintas, pero algunos consideran que otros intervalos, en particular la tercera mayor, están tan desafinados que los acordes mayores [pueden considerarse] una disonancia". [2]
La escala pitagórica es cualquier escala que se puede construir a partir de quintas perfectas puras (3:2) y octavas (2:1). [5] En la música griega se utilizaba para afinar tetracordios , que se componían en escalas que abarcaban una octava. [6] Se puede hacer una distinción entre la afinación pitagórica extendida y un temperamento pitagórico de 12 tonos. La afinación pitagórica extendida se corresponde 1 a 1 con la notación musical occidental y no hay límite para el número de quintas. Sin embargo, en el temperamento pitagórico de 12 tonos uno está limitado por 12 tonos por octava y no se puede tocar la mayoría de la música de acuerdo con el sistema pitagórico correspondiente a la notación enarmónica. En cambio, uno encuentra que, por ejemplo, la sexta disminuida se convierte en una "quinta de lobo".
El temperamento pitagórico de doce tonos se basa en una secuencia de quintas perfectas, cada una afinada en una proporción de 3:2, la siguiente proporción más simple después de 2:1 (la octava). Comenzando por el re, por ejemplo ( afinación basada en re ), se producen otras seis notas al desplazarse seis veces en una proporción de 3:2 hacia arriba, y las restantes al desplazarse en la misma proporción hacia abajo:
Esta sucesión de once intervalos 3:2 abarca un amplio rango de frecuencias (en un teclado de piano , abarca 77 teclas). Dado que las notas que difieren en frecuencia por un factor de 2 se perciben como similares y reciben el mismo nombre ( equivalencia de octava ), es habitual dividir o multiplicar las frecuencias de algunas de estas notas por 2 o por una potencia de 2. El propósito de este ajuste es mover las 12 notas dentro de un rango de frecuencia más pequeño, es decir, dentro del intervalo entre la nota base Re y la Re superior (una nota con el doble de su frecuencia). Este intervalo se suele llamar octava básica (en un teclado de piano, una octava tiene solo 12 teclas). Esto se remonta a la antigüedad: en la antigua Mesopotamia, en lugar de apilar quintas, la afinación se basaba en alternar quintas ascendentes y cuartas descendentes (equivalente a una quinta ascendente seguida de una octava descendente), lo que daba como resultado que las notas de una escala pentatónica o heptatónica cayeran dentro de una octava.
En las fórmulas, las proporciones 3:2 o 2:3 representan una quinta perfecta ascendente o descendente (es decir, un aumento o disminución de la frecuencia en una quinta perfecta, mientras que 2:1 o 1:2 representan una octava ascendente o descendente). Las fórmulas también se pueden expresar en términos de potencias del tercer y segundo armónico .
La escala mayor basada en C, obtenida a partir de esta afinación es: [7]
En el temperamento igual, se considera que los pares de notas enarmónicas , como La ♭ y Sol ♯, son exactamente la misma nota; sin embargo, como indica la tabla anterior, en la afinación pitagórica tienen diferentes proporciones con respecto a Re, lo que significa que están en una frecuencia diferente. Esta discrepancia, de aproximadamente 23,46 centésimas, o casi un cuarto de semitono, se conoce como coma pitagórica .
Para evitar este problema, la afinación pitagórica construye solo doce notas como se muestra arriba, con once quintas entre ellas. Por ejemplo, uno puede usar solo las 12 notas de Mi ♭ a Sol ♯ . Esto, como se muestra arriba, implica que solo se usan once quintas para construir toda la escala cromática. El intervalo restante (la sexta disminuida de Sol ♯ a Mi ♭ ) queda muy desafinado, lo que significa que cualquier música que combine esas dos notas no se puede tocar en esta afinación. Un intervalo muy desafinado como este se conoce como intervalo lobo . En el caso de la afinación pitagórica, todas las quintas tienen 701,96 centésimas de ancho, en la proporción exacta de 3:2, excepto la quinta lobo, que tiene solo 678,49 centésimas de ancho, casi un cuarto de semitono más plano.
Si es necesario tocar las notas sol ♯ y mi ♭ juntas, se puede cambiar la posición de la quinta wolf. Por ejemplo, una afinación pitagórica basada en do produciría una pila de quintas que irían de re ♭ a fa ♯ , lo que haría que fa ♯ - re ♭ fuera el intervalo wolf. Sin embargo, siempre habrá una quinta wolf en la afinación pitagórica, lo que hace imposible tocar en todas las tonalidades afinadas.
Las tablas anteriores solo muestran las relaciones de frecuencia de cada nota con respecto a la nota base. Sin embargo, los intervalos pueden comenzar desde cualquier nota y, por lo tanto, se pueden definir doce intervalos para cada tipo de intervalo : doce unísonos, doce semitonos , doce intervalos de 2 semitonos, etc.
Como se explicó anteriormente, una de las doce quintas (la quinta de lobo) tiene un tamaño diferente con respecto a las otras once. Por una razón similar, cada tipo de intervalo, excepto los unísonos y las octavas, tiene dos tamaños diferentes. La tabla de la derecha muestra sus relaciones de frecuencia, con desviaciones de una coma pitagórica coloreada. [8] Las desviaciones surgen porque las notas determinan dos semitonos diferentes :
Por el contrario, en una escala cromática igualmente temperada , todos los semitonos miden
y los intervalos de cualquier tipo dado tienen el mismo tamaño, pero ninguno está correctamente afinado excepto los unísonos y las octavas.
Por definición, en la afinación pitagórica 11 quintas perfectas ( P5 en la tabla) tienen un tamaño de aproximadamente 701,955 centésimas (700+ε centésimas, donde ε ≈ 1,955 centésimas). Dado que el tamaño medio de las 12 quintas debe ser exactamente igual a 700 centésimas (como en el temperamento igual), la otra debe tener un tamaño de 700 − 11 ε centésimas, lo que equivale aproximadamente a 678,495 centésimas (la quinta lobo). Como se muestra en la tabla, el último intervalo, aunque enarmónicamente equivalente a una quinta, se denomina más apropiadamente sexta disminuida ( d6 ). De manera similar,
En resumen, se observan diferencias similares en anchura para todos los tipos de intervalos, excepto para los unísonos y las octavas, y todos son múltiplos de ε , la diferencia entre la quinta pitagórica y la quinta media.
Como consecuencia obvia, cada intervalo aumentado o disminuido es exactamente 12 ε (≈ 23,460) centésimas más estrecho o más ancho que su equivalente enarmónico. Por ejemplo, el d6 (o quinta de Wolf) es 12 ε centésimas más estrecho que cada P5, y cada A2 es 12 ε centésimas más ancho que cada m3. Este intervalo de tamaño 12 ε se conoce como coma pitagórica , exactamente igual al opuesto de una segunda disminuida (≈ −23,460 centésimas). Esto implica que ε también se puede definir como un doceavo de una coma pitagórica.
Cuatro de los intervalos mencionados anteriormente toman un nombre específico en la afinación pitagórica. En la siguiente tabla, se proporcionan estos nombres específicos, junto con nombres alternativos utilizados genéricamente para algunos otros intervalos. La coma pitagórica no coincide con la segunda disminuida, ya que su tamaño (524288:531441) es el recíproco de la segunda disminuida pitagórica (531441:524288). También el ditono y el semiditono son específicos de la afinación pitagórica, mientras que el tono y el tritono se utilizan genéricamente para todos los sistemas de afinación. A pesar de su nombre, un semiditono (3 semitonos, o aproximadamente 300 centésimas) difícilmente puede considerarse la mitad de un ditono (4 semitonos, o aproximadamente 400 centésimas). Todos los intervalos con el prefijo sesqui- están afinados correctamente , y su relación de frecuencias , que se muestra en la tabla, es un número superparticular (o relación epimórica). Lo mismo es cierto para la octava.
El sistema data de la antigua Mesopotamia, [4] y consistía en alternar quintas ascendentes y cuartas descendentes; véase Música de Mesopotamia § Teoría musical . Dentro de la música griega antigua, el sistema había sido atribuido principalmente a Pitágoras (que vivió alrededor del 500 a. C.) por los autores modernos de teoría musical; los antiguos griegos tomaron prestada gran parte de su teoría musical de Mesopotamia, incluida la escala diatónica, la afinación pitagórica y los modos. La escala china Shí-èr-lǜ utiliza los mismos intervalos que la escala pitagórica y fue inventada entre el 600 a. C. y el 240 d. C. [2] [9]
Debido al intervalo de lobo cuando se utiliza un temperamento pitagórico de 12 tonos, esta afinación rara vez se utiliza en la actualidad, aunque se cree que estuvo muy extendida. En la música que no cambia de tonalidad muy a menudo, o que no es muy aventurera armónicamente , es poco probable que el intervalo de lobo sea un problema, ya que no se escucharán todas las quintas posibles en dichas piezas. En la afinación pitagórica extendida no hay intervalo de lobo, todas las quintas perfectas son exactamente 3:2.
Como la mayoría de las quintas del temperamento pitagórico de doce tonos tienen una proporción simple de 3:2, suenan muy "suaves" y consonantes. Las terceras, en cambio, la mayoría de las cuales tienen proporciones relativamente complejas de 81:64 (para las terceras mayores) y 32:27 (para las terceras menores), suenan menos suaves según el instrumento. [10]
A partir de 1510, cuando las terceras comenzaron a ser tratadas como consonancias, el temperamento de media voz , y en particular el de media voz de negra , que afina las terceras a la proporción relativamente simple de 5:4 , se convirtió en el sistema más popular para afinar los teclados. Al mismo tiempo, la entonación justa sintónico-diatónica fue postulada primero por Ramos y luego por Zarlino como la afinación normal para cantantes.
Sin embargo, el meantone presentaba sus propios desafíos armónicos. Sus intervalos de lobo resultaron ser incluso peores que los de la afinación pitagórica (tanto que a menudo requería 19 teclas por octava en lugar de las 12 de la afinación pitagórica). Como consecuencia, el meantone no era adecuado para toda la música. A partir del siglo XVIII, a medida que aumentaba el deseo de que los instrumentos cambiaran de tonalidad y, por lo tanto, evitaran un intervalo de lobo, esto llevó al uso generalizado de temperamentos buenos y, finalmente, del temperamento igual .
El temperamento pitagórico todavía se puede escuchar en algunas partes de la música clásica moderna de cantantes y de instrumentos sin afinación fija, como la familia del violín . Cuando un intérprete tiene un pasaje no acompañado basado en escalas, tenderá a utilizar la entonación pitagórica, ya que eso hará que la escala suene mejor afinada, y luego volverá a otros temperamentos para otros pasajes (solo entonación para figuras de acordes o arpegiadas, y temperamento igual cuando se acompaña con piano u orquesta). Estos cambios nunca se notan explícitamente y son apenas perceptibles para el público, solo suenan "afinados".
![{\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{ centavos}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50bf0d2901461be5393a3b513729b1a5a0d84c9)
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