La geometría del taxi o geometría de Manhattan es una geometría en la que se ignora la familiar distancia euclidiana y, en cambio, la distancia entre dos puntos se define como la suma de las diferencias absolutas de sus respectivas coordenadas cartesianas , una función de distancia (o métrica ) llamada distancia del taxi . Distancia de Manhattan , o distancia de una cuadra de la ciudad . El nombre se refiere a la isla de Manhattan , o genéricamente a cualquier ciudad planificada con una cuadrícula rectangular de calles, en la que un taxi sólo puede viajar siguiendo direcciones de cuadrícula. En la geometría del taxi, la distancia entre dos puntos cualesquiera es igual a la longitud de su ruta de cuadrícula más corta. Esta definición diferente de distancia también conduce a una definición diferente de la longitud de una curva, para la cual un segmento de línea entre dos puntos cualesquiera tiene la misma longitud que una trayectoria de cuadrícula entre esos puntos en lugar de su longitud euclidiana.
La distancia del taxi también se conoce a veces como distancia rectilínea o distancia L 1 (ver espacio L p ). [1] Esta geometría se ha utilizado en el análisis de regresión desde el siglo XVIII y a menudo se la denomina LASSO . Su interpretación geométrica data de la geometría no euclidiana del siglo XIX y se debe a Hermann Minkowski .
En el espacio de coordenadas real bidimensional, la distancia del taxi entre dos puntos y es . Es decir, es la suma de los valores absolutos de las diferencias en ambas coordenadas.
La distancia del taxi, entre dos puntos en un espacio de coordenadas reales de n dimensiones con un sistema de coordenadas cartesiano fijo , es la suma de las longitudes de las proyecciones del segmento de línea entre los puntos sobre los ejes de coordenadas . Más formalmente, por ejemplo, en , la distancia en taxi entre y es
La métrica L 1 fue utilizada en el análisis de regresión , como medida de bondad de ajuste , en 1757 por Roger Joseph Boscovich . [2] La interpretación de la misma como una distancia entre puntos en un espacio geométrico data de finales del siglo XIX y del desarrollo de geometrías no euclidianas . En particular, apareció en 1910 en las obras de Frigyes Riesz y Hermann Minkowski . La formalización de los espacios Lp , que incluyen la geometría del taxi como caso especial, se atribuye a Riesz. [3] Al desarrollar la geometría de los números , Hermann Minkowski estableció su desigualdad de Minkowski , afirmando que estos espacios definen espacios vectoriales normados . [4]
El nombre geometría del taxi fue introducido por Karl Menger en un folleto de 1952 Te gustará la geometría , que acompaña a una exposición de geometría destinada al público en general en el Museo de Ciencia e Industria de Chicago. [5]
Pensada como una estructura adicional en capas en el espacio euclidiano , la distancia del taxi depende de la orientación del sistema de coordenadas y cambia mediante la rotación euclidiana del espacio, pero no se ve afectada por la traslación o las reflexiones alineadas con el eje . La geometría del taxi satisface todos los axiomas de Hilbert (una formalización de la geometría euclidiana ), excepto que la congruencia de los ángulos no se puede definir para que coincida con precisión con el concepto euclidiano, y bajo definiciones plausibles de ángulos congruentes del taxi, el axioma lado-ángulo-lado no se satisface como en general, los triángulos con dos lados congruentes con el taxi y un ángulo congruente con el taxi entre ellos no son triángulos congruentes .
En cualquier espacio métrico , una esfera es un conjunto de puntos a una distancia fija, el radio , desde un punto central específico . Mientras que una esfera euclidiana es redonda y rotacionalmente simétrica, bajo la distancia del taxi, la forma de una esfera es un politopo cruzado , la generalización n -dimensional de un octaedro regular , cuyos puntos satisfacen la ecuación:
donde es el centro y r es el radio. Los puntos de la esfera unitaria , una esfera de radio 1 centrada en el origen , satisfacen la ecuación
En la geometría bidimensional de un taxi, la esfera (llamada círculo ) es un cuadrado orientado diagonalmente a los ejes de coordenadas. La imagen de la derecha muestra en rojo el conjunto de todos los puntos en una cuadrícula con una distancia fija desde el centro azul. A medida que la cuadrícula se hace más fina, los puntos rojos se vuelven más numerosos y en el límite tienden a formar un cuadrado inclinado continuo. Cada lado tiene una longitud de taxi de 2 r , por lo que la circunferencia es 8 r . Así, en la geometría del taxi, el valor del análogo de la constante circular π , la relación entre la circunferencia y el diámetro , es igual a 4.
Una bola cerrada (o un disco cerrado en el caso bidimensional) es una esfera llena, el conjunto de puntos a una distancia menor o igual al radio de un centro específico. Para autómatas celulares en una cuadrícula, el disco de un taxi es la vecindad de von Neumann del rango r de su centro.
Un círculo de radio r para la distancia de Chebyshev ( L ∞ métrica ) en un plano también es un cuadrado con una longitud de lado 2 r paralelo a los ejes de coordenadas, por lo que la distancia plana de Chebyshev puede verse como equivalente mediante rotación y escala a la distancia plana de taxi. Sin embargo, esta equivalencia entre las métricas L 1 y L ∞ no se generaliza a dimensiones superiores.
Siempre que cada par de una colección de estos círculos tenga una intersección no vacía, existe un punto de intersección para toda la colección; por tanto, la distancia de Manhattan forma un espacio métrico inyectivo .
Sea una función continuamente diferenciable . Sea la longitud del arco del taxi de la gráfica de en algún intervalo . Tome una partición del intervalo en subintervalos infinitesimales iguales y sea la longitud del taxi del subarco. Entonces [6]
Según el teorema del valor medio , existe algún punto entre y tal que . [7] Entonces la ecuación anterior se puede escribir
Luego se da como la suma de cada partición de on a medida que se vuelven arbitrariamente pequeñas .
Para probar esto, tome el círculo del taxi de radio centrado en el origen. Su curva en el primer cuadrante está dada por cuya longitud es
Multiplicar este valor por para tener en cuenta los cuadrantes restantes da , que concuerda con la circunferencia del círculo de un taxi. [8] Ahora tomemos el círculo euclidiano de radio centrado en el origen, que viene dado por . Su longitud de arco en el primer cuadrante está dada por
La contabilidad de los cuadrantes restantes vuelve a dar. Por lo tanto, la circunferencia del círculo del taxi y la circunferencia euclidiana en la métrica del taxi son iguales. [9] De hecho, para cualquier función que sea monótona y diferenciable con una derivada continua en un intervalo , la longitud del arco de over es . [10]
Dos triángulos son congruentes si y sólo si tres lados correspondientes tienen la misma distancia y tres ángulos correspondientes tienen la misma medida. Hay varios teoremas que garantizan la congruencia de triángulos en la geometría euclidiana, a saber, Ángulo-Ángulo-Lado (AAS), Ángulo-Lado-Ángulo (ASA), Lado-Ángulo-Lado (SAS) y Lado-Lado-Lado (SSS). Sin embargo, en la geometría de los taxis, sólo SASAS garantiza la congruencia de triángulos. [11]
Tomemos, por ejemplo, dos triángulos rectángulos de taxi isósceles cuyos ángulos miden 45-90-45. Los dos catetos de ambos triángulos tienen una longitud de taxi de 2, pero las hipotenusas no son congruentes. Este contraejemplo elimina AAS, ASA y SAS. También elimina AASS, AAAS e incluso ASASA. Tener tres ángulos congruentes y dos lados no garantiza la congruencia de triángulos en la geometría de un taxi. Por lo tanto, el único teorema de congruencia de triángulos en geometría de taxis es SASAS, donde los tres lados correspondientes deben ser congruentes y al menos dos ángulos correspondientes deben ser congruentes. [12] Este resultado se debe principalmente al hecho de que la longitud de un segmento de línea depende de su orientación en la geometría del taxi.
Al resolver un sistema indeterminado de ecuaciones lineales, el término de regularización para el vector de parámetros se expresa en términos de la norma (geometría del taxi) del vector. [13] Este enfoque aparece en el marco de recuperación de señales llamado detección comprimida .
La geometría del taxi se puede utilizar para evaluar las diferencias en distribuciones de frecuencia discretas. Por ejemplo, en el empalme de ARN, las distribuciones posicionales de los hexámeros , que trazan la probabilidad de que cada hexámero aparezca en cada nucleótido dado cerca de un sitio de empalme, se pueden comparar con la distancia L1. Cada distribución de posición se puede representar como un vector donde cada entrada representa la probabilidad de que el hexámero comience en un determinado nucleótido. Una distancia L1 grande entre los dos vectores indica una diferencia significativa en la naturaleza de las distribuciones, mientras que una distancia pequeña denota distribuciones con formas similares. Esto equivale a medir el área entre las dos curvas de distribución porque el área de cada segmento es la diferencia absoluta entre las probabilidades de las dos curvas en ese punto. Cuando se suman todos los segmentos, proporciona la misma medida que la distancia L1. [14]