Regla integral de Leibniz

Diferenciación bajo la fórmula del signo integral.

En cálculo , la regla integral de Leibniz para la diferenciación bajo el signo integral establece que para una integral de la forma

$${\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$$

funciones ${\displaystyle -\infty <a(x),b(x)<\infty }$ ${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)\\&=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}$$

derivada parcial^[1]Gottfried Leibniz ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle f(x,t)}$ ${\displaystyle x}$

En el caso especial donde las funciones y son constantes y con valores que no dependen de esto se simplifica a: ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle a(x)=a}$ ${\displaystyle b(x)=b}$ ${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$$

Si es constante y , que es otra situación común (por ejemplo, en la prueba de la fórmula de integración repetida de Cauchy ), la regla integral de Leibniz se convierte en: ${\displaystyle a(x)=a}$ ${\displaystyle b(x)=x}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}$$

Este importante resultado puede, bajo ciertas condiciones, usarse para intercambiar los operadores integral y diferencial parcial , y es particularmente útil en la diferenciación de transformadas integrales . Un ejemplo de ello es la función generadora de momentos en la teoría de la probabilidad , una variación de la transformada de Laplace , que puede diferenciarse para generar los momentos de una variable aleatoria . La aplicación de la regla integral de Leibniz es esencialmente una cuestión sobre el intercambio de límites .

Forma general: diferenciación bajo el signo integral.

Teorema  :  Sea una función tal que ambas y su derivada parcial sean continuas en y en alguna región del plano, incluyendo Supongamos también que las funciones y son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuas para Entonces, para ${\displaystyle f(x,t)}$ ${\displaystyle f(x,t)}$ ${\displaystyle f_{x}(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle xt}$ ${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}.}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}.}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1},}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$$

El lado derecho también se puede escribir usando la notación de Lagrange como: ${\textstyle f(x,b(x))\,b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\,a^{\prime }(x)+\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\,dt.}$

Las versiones más estrictas del teorema sólo requieren que la derivada parcial exista en casi todas partes , y no que sea continua. ^[2] Esta fórmula es la forma general de la regla integral de Leibniz y se puede derivar utilizando el teorema fundamental del cálculo . El (primer) teorema fundamental del cálculo es solo el caso particular de la fórmula anterior donde es constante y no depende de ${\displaystyle a(x)=a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b(x)=x,}$ ${\displaystyle f(x,t)=f(t)}$ ${\displaystyle x.}$

Si los límites superior e inferior se toman como constantes, entonces la fórmula toma la forma de una ecuación de operador :

$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}}$$

derivada parcialintervalosimetría de segundas derivadas ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Los siguientes tres teoremas básicos sobre el intercambio de límites son esencialmente equivalentes:

• el intercambio de una derivada y una integral (diferenciación bajo el signo integral; es decir, regla integral de Leibniz);
• el cambio de orden de las derivadas parciales;
• el cambio de orden de integración (integración bajo el signo integral; es decir, teorema de Fubini ).

Caso tridimensional dependiente del tiempo

Figura 1: Un campo vectorial F ( r , t ) definido en todo el espacio, y una superficie Σ delimitada por una curva ∂Σ que se mueve con velocidad v sobre la cual se integra el campo.

Una regla integral de Leibniz para una superficie bidimensional que se mueve en un espacio tridimensional es ^{[3] [4]}

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}$$

dónde:

• F ( r , t ) es un campo vectorial en la posición espacial r en el tiempo t ,
• Σ es una superficie delimitada por la curva cerrada ∂Σ ,
• d A es un elemento vectorial de la superficie Σ ,
• d s es un elemento vectorial de la curva ∂Σ ,
• v es la velocidad de movimiento de la región Σ ,
• ∇⋅ es la divergencia del vector ,
• × es el producto vectorial vectorial ,
• Las integrales dobles son integrales de superficie sobre la superficie Σ , y la integral de línea está sobre la curva delimitadora ∂Σ .

Dimensiones superiores

La regla integral de Leibniz se puede extender a integrales multidimensionales. En dos y tres dimensiones, esta regla se conoce mejor en el campo de la dinámica de fluidos como teorema del transporte de Reynolds :

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,}$$

donde es una función escalar, D ( t ) y ∂ D ( t ) denotan una región conectada que varía en el tiempo de R ³ y su límite, respectivamente, es la velocidad euleriana del límite (ver coordenadas lagrangianas y eulerianas ) y d Σ = n dS es la componente normal unitaria del elemento de superficie . ${\displaystyle F(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{b}}$

El enunciado general de la regla integral de Leibniz requiere conceptos de geometría diferencial , específicamente formas diferenciales , derivadas exteriores , productos de cuña y productos interiores . Con esas herramientas, la regla integral de Leibniz en n dimensiones es ^[4]

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},}$$

Ω( t )ωpproducto interiord _x ωderivada exteriorωω ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle i_{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}}$

Sin embargo, todas estas identidades pueden derivarse de una afirmación muy general sobre los derivados de Lie:

$${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{\operatorname {im} _{\psi _{t}}(\Omega )}\omega =\int _{\Omega }{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,}$$

Aquí, la variedad ambiental en la que vive la forma diferencial incluye tanto el espacio como el tiempo. ${\displaystyle \omega }$

• ${\displaystyle \Omega }$es la región de integración (una subvariedad) en un instante dado (no depende de , ya que su parametrización como subvariedad define su posición en el tiempo), ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es la derivada de mentira ,
• ${\displaystyle \Psi }$es el campo vectorial espacio-temporal obtenido al sumar el campo vectorial unitario en la dirección del tiempo al campo vectorial puramente espacial de las fórmulas anteriores (es decir, es la velocidad espaciotemporal de ), ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \psi _{t}}$es un difeomorfismo del grupo de un parámetro generado por el flujo de , y ${\displaystyle \Psi }$
• ${\displaystyle {\text{im}}_{\psi _{t}}(\Omega )}$es la imagen de bajo tal difeomorfismo. ${\displaystyle \Omega }$

Algo destacable de esta forma, es que puede dar cuenta del caso en que cambia su forma y tamaño con el tiempo, ya que dichas deformaciones están totalmente determinadas por . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Psi }$

Declaración de la teoría de la medida

Sea un subconjunto abierto de y sea un espacio de medida . Supongamos que satisface las siguientes condiciones: ^{[5] [6] [2]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R} }$

1. ${\displaystyle f(x,\omega )}$es una función integrable de Lebesgue de para cada . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x\in X}$
2. Para casi todos , la derivada parcial existe para todos . ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$
3. Existe una función integrable tal que para todos y casi todos . ${\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Entonces, para todos , ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .}$$

La prueba se basa en el teorema de la convergencia dominada y el teorema del valor medio (detalles a continuación).

Pruebas

Prueba de forma básica

Primero probamos el caso de límites constantes de integración a y b .

Usamos el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración. Para cada x y h , tales que h > 0 y tanto x como x + h están dentro de [ x ₀ , x ₁ ] , tenemos:

$${\displaystyle \int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}$$

Tenga en cuenta que las integrales que tenemos a mano están bien definidas ya que es continua en el rectángulo cerrado y, por tanto, también uniformemente continua allí; por lo tanto, sus integrales por dt o dx son continuas en la otra variable y también integrables por ella (esencialmente esto se debe a que para funciones uniformemente continuas, se puede pasar el límite a través del signo de integración, como se explica a continuación). ${\displaystyle f_{x}(x,t)}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [a,b]}$

Por lo tanto:

$${\displaystyle {\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}}$$

Donde hemos definido:

$${\displaystyle F(u)\equiv \int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx}$$

x ₀x ₀x

F es diferenciable con derivada , por lo que podemos tomar el límite donde h tiende a cero. Para el lado izquierdo este límite es: ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}$$

Para el lado derecho obtenemos:

$${\displaystyle F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$

Otra prueba usando el teorema de convergencia acotada

Si las integrales que nos ocupan son integrales de Lebesgue , podemos usar el teorema de convergencia acotada (válido para estas integrales, pero no para las integrales de Riemann ) para demostrar que el límite puede pasar por el signo de la integral.

Tenga en cuenta que esta prueba es más débil en el sentido de que solo muestra que f _x ( x , t ) es integrable de Lebesgue, pero no que sea integrable de Riemann. En la prueba anterior (más fuerte), si f ( x , t ) es integrable de Riemann, entonces también lo es f _x ( x , t ) (y por lo tanto obviamente también es integrable de Lebesgue).

Dejar

Por la definición de derivada,

Sustituya la ecuación ( 1 ) en la ecuación ( 2 ). La diferencia de dos integrales es igual a la integral de la diferencia y 1/ h es una constante, entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}}$$

Ahora mostramos que el límite se puede pasar por el signo integral.

Afirmamos que el paso del límite bajo el signo integral es válido según el teorema de convergencia acotada (un corolario del teorema de convergencia dominada ). Para cada δ > 0, considere el cociente de diferencias

$${\displaystyle f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.}$$

tteorema del valor mediozxxδ

$${\displaystyle f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).}$$

f _xxtf _xxtf _x ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f_{\delta }(x,t)}$

El argumento anterior muestra que para cada secuencia { δ _n } → 0, la secuencia está uniformemente acotada y converge puntualmente a f _x . El teorema de convergencia acotada establece que si una secuencia de funciones en un conjunto de medidas finitas está uniformemente acotada y converge puntualmente, entonces el paso del límite bajo la integral es válido. En particular, el límite y la integral se pueden intercambiar para cada secuencia { δ _n } → 0. Por lo tanto, el límite cuando δ → 0 se puede pasar por el signo integral. ${\displaystyle \{f_{\delta _{n}}(x,t)\}}$

Formulario de límites variables

Para una función continua de valor real g de una variable real y funciones diferenciables de valor real y de una variable real, ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

Esto se desprende de la regla de la cadena y del primer teorema fundamental del cálculo . Definir

$${\displaystyle G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,}$$

$${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.}$$

${\displaystyle g}$

Entonces, se puede escribir como una composición : . La regla de la cadena implica entonces que ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)}$

$${\displaystyle G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).}$$

teorema fundamental del cálculo ${\displaystyle \Gamma '(x)=g(x)}$

$${\displaystyle G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

Nota: Esta forma puede resultar particularmente útil si la expresión que se va a diferenciar tiene la forma:

$${\displaystyle \int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt}$$

regla Producto ${\displaystyle h(x)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)}$$

Forma general con límites variables.

Colocar

$${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$

abαabαα

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

Una forma del teorema del valor medio , donde a < ξ < b , se puede aplicar a la primera y última integrales de la fórmula para Δ φ anterior, lo que da como resultado ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$

$${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

Divida por Δ α y sea Δ α → 0. Observe ξ ₁ → a y ξ ₂ → b . Podemos pasar el límite por el signo integral:

$${\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,}$$

$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.}$$

Prueba alternativa de la forma general con límites variables, usando la regla de la cadena

La forma general de la Regla Integral de Leibniz con límites variables se puede derivar como consecuencia de la forma básica de la Regla Integral de Leibniz, la regla de la cadena multivariable y el Primer Teorema Fundamental del Cálculo . Supongamos que está definido en un rectángulo en el plano, para y . Además, supongamos que y la derivada parcial son funciones continuas en este rectángulo. Supongamos que hay funciones de valores reales diferenciables definidas en , con valores en (es decir, para cada ). Ahora, establece ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x-t}$ ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$ ${\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$ ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]}$

$${\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]}$$

$${\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]}$$

Entonces, por propiedades de Integrales Definidas , podemos escribir

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)&=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt\\[4pt]&=F(x,b(x))-F(x,a(x))\end{aligned}}}$$

Dado que todas las funciones son diferenciables (ver el comentario al final de la prueba), según la Regla de la cadena multivariable , se deduce que es diferenciable y su derivada viene dada por la fórmula: ${\displaystyle F,a,b}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,a(x))a'(x)\right)}$$

 

Ahora fíjate que para cada , y para cada , tenemos eso , porque al tomar la derivada parcial con respecto a de , nos mantenemos fija en la expresión ; por tanto, se aplica la forma básica de la regla integral de Leibniz con límites constantes de integración. A continuación, por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo , tenemos que ; porque al tomar la derivada parcial con respecto a de , la primera variable es fija, por lo que efectivamente se puede aplicar el teorema fundamental. ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$ ${\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}$ ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$ ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$

Sustituyendo estos resultados en la ecuación anterior se obtiene: ${\displaystyle G'(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}}$$

Hay un punto técnico en la prueba anterior que vale la pena señalar: aplicar la regla de la cadena requiere que ya sea diferenciable . Aquí es donde utilizamos nuestras suposiciones sobre . Como se mencionó anteriormente, las derivadas parciales de vienen dadas por las fórmulas y . Como es continua, su integral también es una función continua, ^[7] y como también es continua, estos dos resultados muestran que ambas derivadas parciales de son continuas. Dado que la continuidad de derivadas parciales implica diferenciabilidad de la función, ^[8] es de hecho diferenciable. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$ ${\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Forma tridimensional dependiente del tiempo.

En el momento t, la superficie Σ en la Figura 1 contiene un conjunto de puntos dispuestos alrededor de un centroide . La función se puede escribir como ${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$

${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).}$$

Esta ecuación expresa la derivada material del campo, es decir, la derivada con respecto a un sistema de coordenadas unido a la superficie en movimiento. Una vez encontrada la derivada, las variables se pueden volver al marco de referencia original. Notamos que (ver artículo sobre curl )

$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,}$$

el teorema de Stokes∂Σ

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .}$$

El signo de la integral de línea se basa en la regla de la mano derecha para la elección de la dirección del elemento de línea d s . Para establecer este signo, por ejemplo, supongamos que el campo F apunta en la dirección z positiva y que la superficie Σ es una porción del plano xy con perímetro ∂Σ. Adoptamos la normal a Σ para que esté en la dirección z positiva . El recorrido positivo de ∂Σ se realiza entonces en sentido antihorario (regla de la mano derecha con el pulgar a lo largo del eje z ). Entonces la integral del lado izquierdo determina un flujo positivo de F a través de Σ. Supongamos que Σ se traslada en la dirección x positiva a velocidad v . Un elemento del límite de Σ paralelo al eje y , digamos d s , barre un área v t × d s en el tiempo t . Si integramos alrededor del límite ∂Σ en sentido antihorario, v t × d s apunta en la dirección z negativa en el lado izquierdo de ∂Σ (donde d s apunta hacia abajo), y en la dirección z positiva a la derecha lado de ∂Σ (donde d s apunta hacia arriba), lo cual tiene sentido porque Σ se mueve hacia la derecha, agregando área a la derecha y perdiéndola a la izquierda. Sobre esa base, el flujo de F aumenta a la derecha de ∂Σ y disminuye a la izquierda. Sin embargo, el producto escalar v × F ⋅ d s = − F × v ⋅ d s = − F ⋅ v × d s . En consecuencia, el signo de la integral de línea se toma como negativo.

Si v es una constante,

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,}$$

Derivación alternativa

Lema. Uno tiene:

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).}$$

Prueba. De la demostración del teorema fundamental del cálculo ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[6pt]&=f(b),\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}}$$

Supongamos que a y b son constantes y que f ( x ) involucra un parámetro α que es constante en la integración pero que puede variar para formar diferentes integrales. Supongamos que f ( x , α ) es una función continua de x y α en el conjunto compacto {( x , α ) : α ₀ ≤ α ≤ α ₁ y a ≤ x ≤ b }, y que la derivada parcial f _α ( x , α ) existe y es continua. Si se define:

$${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$

α ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

Según el teorema de Heine-Cantor, es uniformemente continuo en ese conjunto. En otras palabras, para cualquier ε > 0 existe Δ α tal que para todos los valores de x en [ a , b ],

$${\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .}$$

Por otro lado,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}}$$

Por tanto, φ ( α ) es una función continua.

De manera similar, si existe y es continua, entonces para todo ε > 0 existe Δ α tal que: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )}$

$${\displaystyle \forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,}$$

$${\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).}$$

Ahora, ε → 0 como Δ α → 0, entonces

$${\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

Esta es la fórmula que nos propusimos demostrar.

Ahora supongamos

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),}$$

abαabαα

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

Una forma del teorema del valor medio , donde a < ξ < b , se puede aplicar a la primera y última integrales de la fórmula para Δ φ anterior, lo que da como resultado ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi ),}$

$${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

Dividiendo por Δ α , dejando Δ α → 0, notando ξ ₁ → a y ξ ₂ → b y usando la derivación anterior para

$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx}$$

$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}$$

Ésta es la forma general de la regla integral de Leibniz.

Ejemplos

Ejemplo 1: límites fijos

Considere la función

$${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.}$$

La función bajo el signo integral no es continua en el punto ( x , α ) = (0, 0), y la función φ ( α ) tiene una discontinuidad en α = 0 porque φ ( α ) se aproxima a ± π /2 cuando α → 0 ^± .

Si diferenciamos φ ( α ) con respecto a α bajo el signo integral, obtenemos

$${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},}$$

ααα

$${\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}}$$

Ejemplo 2: Límites variables

Un ejemplo con límites variables:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}}$$

Aplicaciones

Evaluación de integrales definidas

La formula

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt}$$

Ejemplo 3

Considerar

$${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}\right)\,dx,\qquad |\alpha |\neq 1.}$$

Ahora,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]&=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned}}}$$

Como varía de a , tenemos ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 0,&|\alpha |<1,\\{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\leq 0,&|\alpha |>1.\end{cases}}}$$

Por eso,

$${\displaystyle \left.\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right|_{0}^{\pi }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |<1,\\-{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |>1.\end{cases}}}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\{\frac {2\pi }{\alpha }},&|\alpha |>1.\end{cases}}}$$

Integrando ambos lados con respecto a , obtenemos: ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}C_{1},&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |+C_{2},&|\alpha |>1.\end{cases}}}$$

${\displaystyle C_{1}=0}$se desprende de la evaluación : ${\displaystyle \varphi (0)}$

$${\displaystyle \varphi (0)=\int _{0}^{\pi }\ln(1)\,dx=\int _{0}^{\pi }0\,dx=0.}$$

Para determinarlo de la misma manera, deberíamos sustituirlo por un valor mayor que 1 pulg . Esto es algo inconveniente. En lugar de ello, sustituimos , donde . Entonces, ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi (\alpha )}$ ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{\beta }}}$ ${\displaystyle |\beta |<1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }\left(\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)-2\ln |\beta |\right)dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)\,dx-\int _{0}^{\pi }2\ln |\beta |dx\\[6pt]&=0-2\pi \ln |\beta |\\[6pt]&=2\pi \ln |\alpha |.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, ${\displaystyle C_{2}=0}$

La definición de ahora está completa: ${\displaystyle \varphi (\alpha )}$

$${\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |,&|\alpha |>1.\end{cases}}}$$

La discusión anterior, por supuesto, no se aplica cuando no se cumplen las condiciones para la diferenciabilidad. ${\displaystyle \alpha =\pm 1}$

Ejemplo 4

$${\displaystyle \mathbf {I} =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x)^{2}}}\,dx,\qquad a,b>0.}$$

Primero calculamos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} &=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\\[6pt]&=\left.{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right)\right|_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}}$$

Siendo los límites de integración independientes de , tenemos: ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial a}}=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx}$$

Por otro lado:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial a}}={\frac {\partial }{\partial a}}\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}\right)=-{\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.}$$

Al equiparar estas dos relaciones se obtiene

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.}$$

De manera similar, la búsqueda de rendimientos ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial b}}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab^{3}}}}}.}$$

La suma de los dos resultados produce

$${\displaystyle \mathbf {I} =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab}}}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),}$$

${\displaystyle \mathbf {I} }$

Esta derivación puede generalizarse. Tenga en cuenta que si definimos

$${\displaystyle \mathbf {I} _{n}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{n}}}\,dx,}$$

$${\displaystyle (1-n)\mathbf {I} _{n}={\frac {\partial \mathbf {I} _{n-1}}{\partial a}}+{\frac {\partial \mathbf {I} _{n-1}}{\partial b}}}$$

Dado , esta fórmula de reducción integral se puede utilizar para calcular todos los valores de for . Las integrales como y también pueden manejarse usando la sustitución de Weierstrass . ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

Ejemplo 5

Aquí consideramos la integral

$${\displaystyle \mathbf {I} (\alpha )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\,dx,\qquad 0<\alpha <\pi .}$$

Derivando bajo la integral con respecto a , tenemos ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\mathbf {I} (\alpha )&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\right)\,dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha \cos x}}\,dx\\&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)+\cos \alpha \left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}{\frac {1}{{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}{{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {x}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&=-\alpha .\end{aligned}}}$$

Por lo tanto:

$${\displaystyle \mathbf {I} (\alpha )=C-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.}$$

Pero por definición así y ${\textstyle \mathbf {I} \left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}$ ${\textstyle C={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

$${\displaystyle \mathbf {I} (\alpha )={\frac {\pi ^{2}}{8}}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.}$$

Ejemplo 6

Aquí consideramos la integral

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{\cos \theta }\cos(\sin \theta )\,d\theta .}$$

Introducimos una nueva variable φ y reescribimos la integral como

$${\displaystyle f(\varphi )=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\,d\theta .}$$

Cuando φ = 1 esto es igual a la integral original. Sin embargo, esta integral más general se puede diferenciar con respecto a : ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df}{d\varphi }}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left(\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta .\end{aligned}}}$$

Ahora, arregle φ y considere el campo vectorial definido por . Además, elija la parametrización orientada positiva del círculo unitario dada por ,, de modo que . Entonces la integral final anterior es precisamente ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y)):=(e^{\varphi x}\sin(\varphi y),e^{\varphi x}\cos(\varphi y))}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} \colon [0,2\pi )\to \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (\theta ):=(\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(-\sin \theta ,\cos \theta )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left(\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right)\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }(e^{\varphi \cos \theta }\sin(\varphi \sin \theta ),e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta ))\cdot (-\sin \theta ,\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }\mathbf {F} (\mathbf {r} (\theta ))\cdot \mathbf {r} '(\theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\oint _{S^{1}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\oint _{S^{1}}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy,\end{aligned}}}$$

el teorema de Green ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

$${\displaystyle \iint _{D}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,dA,}$$

disco unitariofφ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle df/d\varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi =0}$

$${\displaystyle f(0)=\int _{0}^{2\pi }1\,d\theta =2\pi .}$$

Por lo tanto, la integral original también es igual a . ${\displaystyle 2\pi }$

Otros problemas a resolver

Hay muchas otras integrales que se pueden resolver utilizando la técnica de derivación bajo el signo integral. Por ejemplo, en cada uno de los siguientes casos, la integral original puede reemplazarse por una integral similar que tenga un nuevo parámetro : ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{aligned}}}$$

La primera integral, la integral de Dirichlet , es absolutamente convergente para α positiva pero sólo condicionalmente convergente cuando . Por lo tanto, la diferenciación bajo el signo integral es fácil de justificar cuando , pero demostrar que la fórmula resultante sigue siendo válida cuando requiere un trabajo cuidadoso. ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

Series infinitas

La versión teórica de la medida de la diferenciación bajo el signo integral también se aplica a la suma (finita o infinita) al interpretar la suma como medida de conteo . Un ejemplo de aplicación es el hecho de que las series de potencias son diferenciables en su radio de convergencia. ^{[ cita necesaria ]}

Ecuaciones de Euler-Lagrange

La regla integral de Leibniz se utiliza en la derivación de la ecuación de Euler-Lagrange en cálculo variacional .

En la cultura popular

La diferenciación bajo el signo integral se menciona en las memorias más vendidas del difunto físico Richard Feynman ¡Seguramente está bromeando, Sr. Feynman! en el capítulo "Una Caja de Herramientas Diferente". Describe su aprendizaje, mientras estaba en la escuela secundaria , a partir de un texto antiguo, Cálculo avanzado (1926), de Frederick S. Woods (que era profesor de matemáticas en el Instituto Tecnológico de Massachusetts ). La técnica no se enseñaba con frecuencia cuando Feynman recibió más tarde su educación formal en cálculo , pero utilizando esta técnica, Feynman pudo resolver problemas de integración que de otro modo serían difíciles a su llegada a la escuela de posgrado en la Universidad de Princeton :

Una cosa que nunca aprendí fue la integración de contornos . Había aprendido a hacer integrales mediante varios métodos que se muestran en un libro que me había regalado el profesor de física de mi escuela secundaria, el Sr. Bader. Un día me dijo que me quedara después de clase. "Feynman", dijo, "hablas demasiado y haces demasiado ruido. Sé por qué. Estás aburrido. Así que te voy a dar un libro. Sube ahí atrás, en la esquina". , y estudia este libro, y cuando sepas todo lo que contiene, podrás hablar de nuevo". Así que en cada clase de física no presté atención a lo que estaba pasando con la Ley de Pascal o lo que fuera que estuvieran haciendo. Yo estaba atrás con este libro: "Cálculo avanzado", de Woods. Bader sabía que yo había estudiado un poco "Cálculo para el hombre práctico", así que me dio los trabajos reales: era para un curso de tercer o cuarto año en la universidad. Tenía series de Fourier , funciones de Bessel , determinantes , funciones elípticas ... todo tipo de cosas maravillosas de las que no sabía nada. Ese libro también mostró cómo diferenciar parámetros bajo el signo integral: es una operación determinada. Resulta que eso no se enseña mucho en las universidades; no lo enfatizan. Pero aprendí a usar ese método y usé esa maldita herramienta una y otra vez. Entonces, como fui autodidacta usando ese libro, tenía métodos peculiares para hacer integrales. El resultado fue que, cuando los chicos del MIT o Princeton tenían problemas para hacer una determinada integral, era porque no podían hacerlo con los métodos estándar que habían aprendido en la escuela. Si se tratara de integración de contornos, la habrían encontrado; si fuera una simple expansión en serie, la habrían encontrado. Luego llegué e intenté diferenciar bajo el signo integral, y muchas veces funcionó. Así que obtuve una gran reputación por hacer integrales, sólo porque mi caja de herramientas era diferente a la de todos los demás, y ellos habían probado todas sus herramientas antes de comunicarme el problema.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Cadena de reglas
• Diferenciación de integrales
• Regla de Leibniz (regla del producto generalizada)
• Teorema del transporte de Reynolds , una generalización de la regla de Leibniz

Referencias

1. Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1985). “Diferenciación bajo el Signo Integral”. Cálculo intermedio (Segunda ed.). Nueva York: Springer. págs. 421–426. doi :10.1007/978-1-4612-1086-3. ISBN 978-0-387-96058-6.
2. Talvila, Erik (junio de 2001). "Condiciones necesarias y suficientes para diferenciar bajo el signo integral". Mensual Matemático Estadounidense . 108 (6): 544–548. arXiv : matemáticas/0101012 . doi :10.2307/2695709. JSTOR  2695709 . Consultado el 16 de abril de 2022 .
3. Abraham, Max; Becker, Richard (1950). Teoría clásica de la electricidad y el magnetismo (2ª ed.). Londres: Blackie & Sons. págs. 39–40.
4. Flanders, Harly (junio-julio de 1973). «Diferenciación bajo el signo integral» (PDF) . Mensual Matemático Estadounidense . 80 (6): 615–627. doi :10.2307/2319163. JSTOR  2319163.
5. Folland, Gerald (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (2ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. pag. 56.ISBN​ 978-0-471-31716-6.
6. Cheng, Steve (6 de septiembre de 2010). Diferenciación bajo el signo integral con derivadas débiles (Informe). CiteSeerX. CiteSeerX 10.1.1.525.2529 . 
7. Spivak, Michael (1994). Cálculo (3 ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. págs. 267–268. ISBN 978-0-914098-89-8.
8. Spivak, Michael (1965). Cálculo de variedades . Compañía editorial Addison-Wesley. pag. 31.ISBN​ 978-0-8053-9021-6.

Otras lecturas

• Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Integrales simples: regla de Leibnitz; integración numérica". Cálculo Avanzado y sus Aplicaciones a la Ingeniería y las Ciencias Físicas . Nueva York: Wiley. págs. 155-165. ISBN 0-471-04934-4.
• Kaplan, Wilfred (1973). "Integrales que dependen de un parámetro: regla de Leibnitz". Cálculo avanzado (2ª ed.). Lectura: Addison-Wesley. págs. 285–288.

enlaces externos

• Harron, Rob. «La regla Leibniz» (PDF) . MAT-203 .