Derivada de Lie

Una derivada en geometría diferencial

En geometría diferencial , la derivada de Lie ( / l iː / LEE ), nombrada en honor a Sophus Lie por Władysław Ślebodziński , ^{[1] [2]} evalúa el cambio de un campo tensorial (incluyendo funciones escalares, campos vectoriales y uniformas ), a lo largo del flujo definido por otro campo vectorial. Este cambio es invariante en coordenadas y, por lo tanto, la derivada de Lie se define en cualquier variedad diferenciable .

Las funciones, los campos tensoriales y las formas se pueden diferenciar con respecto a un campo vectorial. Si T es un campo tensorial y X es un campo vectorial, entonces la derivada de Lie de T con respecto a X se denota como . El operador diferencial es una derivación del álgebra de campos tensoriales de la variedad subyacente. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}T}$

La derivada de Lie conmuta con la contracción y la derivada exterior en formas diferenciales .

Aunque existen muchos conceptos sobre la derivada en geometría diferencial, todos coinciden en que la expresión que se deriva es una función o un campo escalar . Por lo tanto, en este caso se omite la palabra "Lie" y simplemente se habla de la derivada de una función.

La derivada de Lie de un campo vectorial Y con respecto a otro campo vectorial X se conoce como el " corchete de Lie " de X e Y , y a menudo se denota [ X , Y ] en lugar de . El espacio de campos vectoriales forma un álgebra de Lie con respecto a este corchete de Lie. La derivada de Lie constituye una representación de álgebra de Lie de dimensión infinita de esta álgebra de Lie, debido a la identidad ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,}$

válido para cualquier campo vectorial X e Y y cualquier campo tensorial T.

Considerando los campos vectoriales como generadores infinitesimales de flujos (es decir, grupos unidimensionales de difeomorfismos ) en M , la derivada de Lie es la diferencial de la representación del grupo de difeomorfismos en campos tensoriales, análoga a las representaciones del álgebra de Lie como representaciones infinitesimales asociadas a la representación de grupos en la teoría de grupos de Lie .

Existen generalizaciones para campos de espinores , haces de fibras con una conexión y formas diferenciales con valores vectoriales .

Motivación

Un intento "ingenuo" de definir la derivada de un campo tensorial con respecto a un campo vectorial sería tomar los componentes del campo tensorial y tomar la derivada direccional de cada componente con respecto al campo vectorial. Sin embargo, esta definición no es deseable porque no es invariante ante cambios en el sistema de coordenadas , por ejemplo, la derivada ingenua expresada en coordenadas polares o esféricas difiere de la derivada ingenua de los componentes en coordenadas cartesianas . En una variedad abstracta , tal definición carece de sentido y está mal definida.

En geometría diferencial , hay tres nociones principales independientes de coordenadas de diferenciación de campos tensoriales:

1. Derivados de mentiras,
2. derivadas con respecto a las conexiones ,
3. la derivada exterior de tensores covariantes totalmente antisimétricos, es decir, formas diferenciales .

La principal diferencia entre la derivada de Lie y una derivada con respecto a una conexión es que la última derivada de un campo tensorial con respecto a un vector tangente está bien definida incluso si no se especifica cómo extender ese vector tangente a un campo vectorial. Sin embargo, una conexión requiere la elección de una estructura geométrica adicional (por ejemplo, una métrica de Riemann en el caso de la conexión de Levi-Civita , o simplemente una conexión abstracta ) en la variedad. Por el contrario, cuando se toma una derivada de Lie, no se necesita ninguna estructura adicional en la variedad, pero es imposible hablar de la derivada de Lie de un campo tensorial con respecto a un solo vector tangente, ya que el valor de la derivada de Lie de un campo tensorial con respecto a un campo vectorial X en un punto p depende del valor de X en un entorno de p , no solo en p mismo. Finalmente, la derivada exterior de formas diferenciales no requiere ninguna elección adicional, sino que es solo una derivada bien definida de formas diferenciales (incluidas funciones), excluyendo así vectores y otros tensores que no sean formas puramente diferenciales.

Transporte de un vector desde un punto a otro a lo largo del campo de flujo vectorial . ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$

La idea de las derivadas de Lie es utilizar un campo vectorial para definir una noción de transporte (transporte de Lie). Un campo vectorial suave define un flujo suave en la variedad, lo que permite transportar vectores entre dos puntos en la misma línea de flujo (esto contrasta con las conexiones, que permiten el transporte entre puntos arbitrarios). Intuitivamente, un vector basado en el punto se transporta fluyendo su punto base hacia , mientras que fluye su punto de punta hacia . ${\displaystyle Y(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle p+Y(p)\delta }$ ${\displaystyle p'+\delta p'}$

Definición

La derivada de Lie puede definirse de varias formas equivalentes. Para simplificar, comenzaremos definiendo la derivada de Lie que actúa sobre funciones escalares y campos vectoriales, antes de pasar a la definición de tensores generales.

La derivada (de Lie) de una función

Definir la derivada de una función en una variedad es problemático porque el cociente de diferencias no se puede determinar mientras el desplazamiento no esté definido. ${\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle (f(x+h)-f(x))/h}$ ${\displaystyle x+h}$

La derivada de Lie de una función con respecto a un campo vectorial en un punto es la función ${\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}f)(p)={d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}f\circ \Phi _{X}^{t}{\bigr )}(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}-f{\bigl (}p{\bigr )}}{t}}}$

donde es el punto al cual el flujo definido por el campo vectorial asigna el punto en el instante de tiempo En la vecindad de es la solución única del sistema ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\biggr |}_{t}\Phi _{X}^{t}(p)=X{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}}$

de ecuaciones diferenciales autónomas de primer orden (es decir, independientes del tiempo), con ${\displaystyle \Phi _{X}^{0}(p)=p.}$

El ajuste identifica la derivada de Lie de una función con la derivada direccional , que también se denota por . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f}$ ${\displaystyle X(f):={\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f}$

La derivada de Lie de un campo vectorial

Si X e Y son ambos campos vectoriales, entonces la derivada de Lie de Y con respecto a X también se conoce como corchete de Lie de X e Y y, a veces, se denota como . Existen varios enfoques para definir el corchete de Lie, todos los cuales son equivalentes. A continuación, enumeramos dos definiciones, que corresponden a las dos definiciones de un campo vectorial dadas anteriormente: ${\displaystyle [X,Y]}$

• El corchete de Lie de X e Y en p se da en coordenadas locales mediante la fórmula

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),}$

  donde y denotan las operaciones de tomar las derivadas direccionales con respecto a X e Y , respectivamente. Aquí estamos tratando un vector en un espacio n -dimensional como una n - tupla , de modo que su derivada direccional es simplemente la tupla que consiste en las derivadas direccionales de sus coordenadas. Aunque la expresión final que aparece en esta definición no depende de la elección de las coordenadas locales, los términos individuales y sí dependen de la elección de las coordenadas. ${\displaystyle \partial _{X}}$ ${\displaystyle \partial _{Y}}$ ${\displaystyle \partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)}$ ${\displaystyle \partial _{X}Y(p)}$ ${\displaystyle \partial _{Y}X(p)}$
• Si X e Y son campos vectoriales en una variedad M según la segunda definición, entonces el operador definido por la fórmula ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}$

  ${\displaystyle [X,Y]:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)}$

  ${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))}$

  es una derivación de orden cero del álgebra de funciones suaves de M , es decir, este operador es un campo vectorial según la segunda definición.

La derivada de Lie de un campo tensorial

Definición en términos de flujos

La derivada de Lie es la velocidad con la que el campo tensorial cambia bajo la deformación espacial causada por el flujo.

Formalmente, dado un campo vectorial diferenciable (independiente del tiempo) en una variedad suave , sea el flujo local correspondiente. Como es un difeomorfismo local para cada , da lugar a un pullback de campos tensoriales . Para tensores covariantes, esto es simplemente la extensión multilineal del mapa de pullback ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}:M\to M}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M,\qquad \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}\alpha (X)=\alpha {\bigl (}T_{p}\Phi _{X}^{t}(X){\bigr )},\quad \alpha \in T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M,X\in T_{p}M}$

Para tensores contravariantes, se extiende la inversa

${\displaystyle \left(T_{p}\Phi _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M}$

del diferencial . Para cada hay, en consecuencia, un campo tensorial del mismo tipo que el de . ${\displaystyle T_{p}\Phi _{X}^{t}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle (\Phi _{X}^{t})^{*}T}$ ${\displaystyle T}$

Si es un campo tensorial de tipo - o - , entonces la derivada de Lie de a lo largo de un campo vectorial se define en el punto ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (r,0)}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T(p)={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}\left({\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T\right)_{p}={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}_{p}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}=\lim _{t\to 0}{\frac {{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}-T_{p}}{t}}.}$

El campo tensorial resultante es del mismo tipo que el de . ${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T}$

De manera más general, para cada familia de difeomorfismos de 1 parámetro suave que integran un campo vectorial en el sentido de que , se tiene ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}=X\circ \Phi _{0}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T={\bigl (}\Phi _{0}^{-1}{\bigr )}^{*}{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}^{*}T=-{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{t}^{-1}{\bigr )}^{*}\Phi _{0}^{*}T\,.}$$

Definición algebraica

Ahora damos una definición algebraica. La definición algebraica de la derivada de Lie de un cuerpo tensorial se desprende de los cuatro axiomas siguientes:

Axioma 1. La derivada de Lie de una función es igual a la derivada direccional de la función. Este hecho se expresa a menudo mediante la fórmula

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)}$

Axioma 2. La derivada de Lie obedece a la siguiente versión de la regla de Leibniz: Para cualesquiera campos tensoriales S y T , tenemos

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).}$

Axioma 3. La derivada de Lie obedece la regla de Leibniz con respecto a la contracción :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))}$

Axioma 4. La derivada de Lie conmuta con la derivada exterior en funciones:

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},d]=0}$

Si estos axiomas se cumplen, entonces al aplicar la derivada de Lie a la relación se demuestra que ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle df(Y)=Y(f)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),}$

que es una de las definiciones estándar para el corchete de Lie .

La derivada de Lie que actúa sobre una forma diferencial es el anticonmutador del producto interior con la derivada exterior. Por lo tanto, si α es una forma diferencial,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .}$

Esto se deduce fácilmente al comprobar que la expresión conmuta con la derivada exterior, es una derivación (al ser un anticonmutador de derivaciones graduadas) y hace lo correcto en las funciones. Esta es la fórmula mágica de Cartan . Consulte el producto interior para obtener más detalles.

Explícitamente, sea T un cuerpo tensorial de tipo ( p , q ) . Considérese T como una función multilineal diferenciable de secciones suaves α ¹ , α ² , ..., α ^p del fibrado cotangente T ^∗ M y de secciones X ₁ , X ₂ , ..., X _q del fibrado tangente TM , escrita T ( α ¹ , α ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) en R . Defina la derivada de Lie de T a lo largo de Y mediante la fórmula

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))}$

${\displaystyle -T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots }$

${\displaystyle -T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots }$

Se puede demostrar que las definiciones analíticas y algebraicas son equivalentes utilizando las propiedades del empuje hacia adelante y la regla de Leibniz para la diferenciación. La derivada de Lie conmuta con la contracción.

La derivada de Lie de una forma diferencial

Una clase particularmente importante de campos tensoriales es la clase de formas diferenciales . La restricción de la derivada de Lie al espacio de formas diferenciales está estrechamente relacionada con la derivada exterior . Tanto la derivada de Lie como la derivada exterior intentan capturar la idea de una derivada de diferentes maneras. Estas diferencias se pueden salvar introduciendo la idea de un producto interior , después del cual las relaciones se convierten en una identidad conocida como la fórmula de Cartan . La fórmula de Cartan también se puede utilizar como una definición de la derivada de Lie en el espacio de formas diferenciales.

Sea M una variedad y X un campo vectorial en M . Sea una forma k , es decir, para cada , es una función multilineal alternada de a los números reales. El producto interior de X y ω es la forma ( k − 1) definida como ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \omega (p)}$ ${\displaystyle (T_{p}M)^{k}}$ ${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle (i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k-1})\,}$

La forma diferencial también se llama contracción de ω con X , y ${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle i_{X}:\Lambda ^{k}(M)\rightarrow \Lambda ^{k-1}(M)}$

es una - antiderivación donde es el producto de cuña en formas diferenciales . Es decir, es R -lineal, y ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle i_{X}}$

${\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )}$

para y η otra forma diferencial. Además, para una función , es decir, una función de valor real o complejo en M , se tiene ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}$ ${\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M)}$

${\displaystyle i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega }$

donde denota el producto de f y X . La relación entre las derivadas exteriores y las derivadas de Lie se puede resumir de la siguiente manera. En primer lugar, dado que la derivada de Lie de una función f con respecto a un campo vectorial X es la misma que la derivada direccional X ( f ), también es la misma que la contracción de la derivada exterior de f con X : ${\displaystyle fX}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df}$

Para una forma diferencial general, la derivada de Lie es asimismo una contracción, teniendo en cuenta la variación en X :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).}$

Esta identidad se conoce como fórmula de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan o fórmula mágica de Cartan . Véase el producto interior para más detalles. La fórmula de Cartan se puede utilizar como definición de la derivada de Lie de una forma diferencial. La fórmula de Cartan muestra en particular que

${\displaystyle d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).}$

La derivada de Lie también satisface la relación

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .}$

Expresiones de coordenadas

En notación de coordenadas locales , para un campo tensorial de tipo ( r , s ) , la derivada de Lie a lo largo es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}}$

Aquí, la notación significa tomar la derivada parcial con respecto a la coordenada . Alternativamente, si estamos usando una conexión sin torsión (por ejemplo, la conexión Levi Civita ), entonces la derivada parcial puede reemplazarse con la derivada covariante , lo que significa reemplazar con (por abuso de notación) donde son los coeficientes de Christoffel . ${\displaystyle \partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$ ${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}X^{b}}$ ${\displaystyle \nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}}$ ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$

La derivada de Lie de un tensor es otro tensor del mismo tipo, es decir, aunque los términos individuales en la expresión dependen de la elección del sistema de coordenadas, la expresión en su conjunto da como resultado un tensor.

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}}$

que es independiente de cualquier sistema de coordenadas y del mismo tipo que . ${\displaystyle T}$

La definición se puede ampliar a las densidades tensoriales . Si T es una densidad tensorial de algún peso w con valor de número real (por ejemplo, la densidad de volumen de peso 1), entonces su derivada de Lie es una densidad tensorial del mismo tipo y peso.

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}}$

Observe el nuevo término al final de la expresión.

Para una conexión lineal , la derivada de Lie a lo largo es ^[3] ${\displaystyle \Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}}$

Ejemplos

Para mayor claridad, ahora mostramos los siguientes ejemplos en notación de coordenadas locales .

Para un campo escalar tenemos: ${\displaystyle \phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi }$.

Por lo tanto, para el campo escalar y el campo vectorial, la derivada de Lie correspondiente se convierte en ${\displaystyle \phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)}$ ${\displaystyle X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}}$$

Para un ejemplo de forma diferencial de rango superior, considere la forma 2 y el campo vectorial del ejemplo anterior. Luego, ${\displaystyle \omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}\omega &=d(i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(d((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))\\&=d(-y^{2}(x^{2}+y^{2})dz)+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(2ydy\wedge dx\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}dx+(-2yx^{2}-4y^{3})dy\right)\wedge dz+(2y\sin(x)dx\wedge dz+2y^{3}dy\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}+2y\sin(x)\right)dx\wedge dz+(-2yx^{2}-2y^{3})dy\wedge dz\end{aligned}}}$$

Algunos ejemplos más abstractos.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}}$.

Por lo tanto, para un campo covectorial , es decir, una forma diferencial , tenemos: ${\displaystyle A=A_{a}(x^{b})dx^{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}A=X(A_{a})dx^{a}+A_{b}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=(X^{b}\partial _{b}A_{a}+A_{b}\partial _{a}(X^{b}))dx^{a}}$

El coeficiente de la última expresión es la expresión de coordenadas locales de la derivada de Lie.

Para un campo tensorial covariante de rango 2 tenemos: ${\displaystyle T=T_{ab}(x^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)&=({\mathcal {L}}_{X}T)_{ab}dx^{a}\otimes dx^{b}\\&=X(T_{ab})dx^{a}\otimes dx^{b}+T_{cb}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\otimes dx^{b}+T_{ac}dx^{a}\otimes {\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\\&=(X^{c}\partial _{c}T_{ab}+T_{cb}\partial _{a}X^{c}+T_{ac}\partial _{b}X^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}\\\end{aligned}}}$$

Si es el tensor métrico simétrico, es paralelo con respecto a la conexión de Levi-Civita (también conocida como derivada covariante ), y resulta fructífero utilizar la conexión. Esto tiene el efecto de reemplazar todas las derivadas con derivadas covariantes, lo que da ${\displaystyle T=g}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}g)=(X^{c}g_{ab;c}+g_{cb}X_{;a}^{c}+g_{ac}X_{;b}^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}=(X_{b;a}+X_{a;b})dx^{a}\otimes dx^{b}}$

Propiedades

La derivada de Lie tiene varias propiedades. Sea el álgebra de funciones definidas en la variedad M . Entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)}$

es una derivación del álgebra . Es decir, es R -lineal y ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.}$

De manera similar, es una derivación de donde es el conjunto de campos vectoriales en M : ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y}$

que también puede escribirse en la notación equivalente

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y}$

donde se utiliza el símbolo del producto tensorial para enfatizar el hecho de que el producto de una función por un campo vectorial se toma sobre toda la variedad. ${\displaystyle \otimes }$

Las propiedades adicionales son consistentes con las del corchete de Lie . Así, por ejemplo, considerado como una derivación en un campo vectorial,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}$

Se encuentra que lo anterior es simplemente la identidad de Jacobi . Por lo tanto, se tiene el importante resultado de que el espacio de campos vectoriales sobre M , equipado con el corchete de Lie, forma un álgebra de Lie .

La derivada de Lie también tiene propiedades importantes cuando actúa sobre formas diferenciales. Sean α y β dos formas diferenciales sobre M y sean X e Y dos campos vectoriales. Entonces

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha ,}$donde i denota el producto interior definido anteriormente y está claro si [·,·] denota el conmutador o el corchete de Lie de los campos vectoriales .

Generalizaciones

Varias generalizaciones de la derivada de Lie juegan un papel importante en la geometría diferencial.

La derivada de Lie de un campo de espinores

Una definición para las derivadas de Lie de espinores a lo largo de campos vectoriales genéricos del espacio-tiempo, no necesariamente de Killing , en una variedad general (pseudo) riemanniana fue propuesta ya en 1971 por Yvette Kosmann . ^[5] Más tarde, se proporcionó un marco geométrico que justifica su prescripción ad hoc dentro del marco general de las derivadas de Lie en haces de fibras ^[6] en el contexto explícito de los haces naturales de calibración que resultan ser el ámbito más apropiado para las teorías de campos (covariantes de calibración). ^[7]

En una variedad de espín dada , es decir, en una variedad de Riemann que admite una estructura de espín , la derivada de Lie de un campo de espín se puede definir definiéndola primero con respecto a isometrías infinitesimales (campos vectoriales de Killing) a través de la expresión local de André Lichnerowicz dada en 1963: ^[8] ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{4}}\nabla _{a}X_{b}\gamma ^{a}\gamma ^{b}\psi \,,}$

donde , como se supone que es un campo vectorial de Killing , y son matrices de Dirac . ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}=\nabla _{[a}X_{b]}}$ ${\displaystyle X=X^{a}\partial _{a}}$ ${\displaystyle \gamma ^{a}}$

Es posible entonces extender la definición de Lichnerowicz a todos los campos vectoriales (transformaciones infinitesimales genéricas) conservando la expresión local de Lichnerowicz para un campo vectorial genérico , pero tomando explícitamente solo la parte antisimétrica de . ^[5] Más explícitamente, la expresión local de Kosmann dada en 1972 es: ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{8}}\nabla _{[a}X_{b]}[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]\psi \,=\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(dX^{\flat })\cdot \psi \,,}$

donde es el conmutador, es la derivada exterior , es la forma dual 1 correspondiente a bajo la métrica (es decir, con índices reducidos) y es la multiplicación de Clifford. ${\displaystyle [\gamma ^{a},\gamma ^{b}]=\gamma ^{a}\gamma ^{b}-\gamma ^{b}\gamma ^{a}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X^{\flat }=g(X,-)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cdot }$

Vale la pena notar que la derivada de Lie del espinor es independiente de la métrica y, por lo tanto, también de la conexión . Esto no es obvio a partir del lado derecho de la expresión local de Kosmann, ya que el lado derecho parece depender de la métrica a través de la conexión de espín (derivada covariante), la dualización de los campos vectoriales (reducción de los índices) y la multiplicación de Clifford en el fibrado de espinores . Tal no es el caso: las cantidades en el lado derecho de la expresión local de Kosmann se combinan de modo que hacen que todos los términos dependientes de la métrica y la conexión se cancelen.

Para obtener una mejor comprensión del concepto largamente debatido de derivada de Lie de campos de espinor, se puede consultar el artículo original, ^{[9] [10]} donde la definición de una derivada de Lie de campos de espinor se coloca en el marco más general de la teoría de derivadas de Lie de secciones de haces de fibras y el enfoque directo de Y. Kosmann al caso del espinor se generaliza para calibrar haces naturales en la forma de un nuevo concepto geométrico llamado elevador de Kosmann .

Derivada de Lie covariante

Si tenemos un fibrado principal sobre la variedad M con G como grupo de estructura, y elegimos X como un campo vectorial covariante como sección del espacio tangente del fibrado principal (es decir, tiene componentes horizontales y verticales), entonces la derivada de Lie covariante es simplemente la derivada de Lie con respecto a X sobre el fibrado principal.

Ahora bien, si se nos da un campo vectorial Y sobre M (pero no sobre el fibrado principal) pero también tenemos una conexión sobre el fibrado principal, podemos definir un campo vectorial X sobre el fibrado principal de modo que su componente horizontal coincida con Y y su componente vertical concuerde con la conexión. Esta es la derivada de Lie covariante.

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Derivada de Nijenhuis-Lie

Otra generalización, debida a Albert Nijenhuis , permite definir la derivada de Lie de una forma diferencial a lo largo de cualquier sección del fibrado Ω ^k ( M , T M ) de formas diferenciales con valores en el fibrado tangente. Si K  ∈ Ω ^k ( M , T M ) y α es una p -forma diferencial , entonces es posible definir el producto interior i _K α de K y α. La derivada de Nijenhuis–Lie es entonces el anticonmutador del producto interior y la derivada exterior:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}\alpha =[d,i_{K}]\alpha =di_{K}\alpha -(-1)^{k-1}i_{K}\,d\alpha .}$

Historia

En 1931, Władysław Ślebodziński introdujo un nuevo operador diferencial, posteriormente llamado por David van Dantzig el de derivación de Lie, que puede aplicarse a escalares, vectores, tensores y conexiones afines y que demostró ser un poderoso instrumento en el estudio de grupos de automorfismos.

A. Nijenhuis , Y. Tashiro y K. Yano estudiaron las derivadas de Lie de objetos geométricos generales (es decir, secciones de haces de fibras naturales ) .

Durante mucho tiempo, los físicos han utilizado las derivadas de Lie, sin hacer referencia al trabajo de los matemáticos. En 1940, Léon Rosenfeld ^[11] —y antes de él (en 1921 ^[12] ) Wolfgang Pauli ^[13] —introdujeron lo que él llamó una "variación local" de un objeto geométrico inducida por una transformación infinitesimal de coordenadas generadas por un campo vectorial . Se puede demostrar fácilmente que su . ${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$ ${\displaystyle -{\mathcal {L}}_{X}(A)\,}$

Véase también

• Derivada covariante
• Conexión (matemáticas)
• Soporte Frölicher-Nijenhuis
• Geodésico
• Campo de exterminio
• Derivada del mapa exponencial

Notas

1. Trautman, A. (2008). "Observaciones sobre la historia de la noción de diferenciación de Lie". En Krupková, O.; Saunders, DJ (eds.). Variaciones, geometría y física: en honor al sexagésimo quinto cumpleaños de Demeter Krupka . Nueva York: Nova Science. págs. 297–302. ISBN 978-1-60456-920-9.
2. Ślebodziński, W. (1931). "Sobre las ecuaciones de Hamilton". Toro. Acad. Roy. D. Belga . 17 (5): 864–870.
3. Yano, K. (1957). La teoría de las derivadas de Lie y sus aplicaciones. Holanda Septentrional. p. 8. ISBN 978-0-7204-2104-0.
4. Nichita, Florin F. (2019). "Teorías de unificación: nuevos resultados y ejemplos". Axiomas . 8 (2). p.60, Teorema 6. doi : 10.3390/axioms8020060 . ISSN  2075-1680.
5. Kosmann, Y. (1971). "Dérivées de Lie des spineurs". Ana. Estera. Pura aplicación. 91 (4): 317–395. doi :10.1007/BF02428822. S2CID  121026516.
6. Trautman, A. (1972). "Invariancia de los sistemas lagrangianos". En O'Raifeartaigh, L. (ed.). Relatividad general: artículos en honor a JL Synge . Oxford: Clarenden Press. pág. 85. ISBN 0-19-851126-4.
7. Fatibene, L.; Francaviglia, M. (2003). Formalismo natural y de calibre para teorías de campos clásicas . Dordrecht: Kluwer Academic.
8. Lichnerowicz, A. (1963). "Espineurs armónicos". CR Acad. Ciencia. París . 257 : 7–9.
9. Fatibene, L.; Ferraris, M.; Francaviglia, M.; Godina, M. (1996). "Una definición geométrica de la derivada de Lie para campos de espinores". En Janyska, J.; Kolář, I.; Slovák, J. (eds.). Actas de la 6.ª Conferencia internacional sobre geometría diferencial y aplicaciones, 28 de agosto–1 de septiembre de 1995 (Brno, República Checa) . Brno: Universidad Masaryk. págs. 549–558. arXiv : gr-qc/9608003v1 . Código Bibliográfico :1996gr.qc.....8003F. ISBN. 80-210-1369-9.
10. Godina, M.; Matteucci, P. (2003). "G-estructuras reductivas y derivadas de Lie". Revista de geometría y física . 47 (1): 66–86. arXiv : math/0201235 . Código Bibliográfico :2003JGP....47...66G. doi :10.1016/S0393-0440(02)00174-2. S2CID  16408289.
11. Rosenfeld, L. (1940). "Sur le tenseur d'impulsion-énergie". Mémoires Acad. Roy. D. Belga . 18 (6): 1–30.
12. El libro de Pauli sobre la relatividad.
13. Pauli, W. (1981) [1921]. Teoría de la relatividad (Primera edición). Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-64152-2. Véase la sección 23

Referencias

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. Véase la sección 2.2 .
• Bleecker, David (1981). Teoría de calibre y principios variacionales . Addison-Wesley. ISBN 0-201-10096-7. Véase el capítulo 0 .
• Jost, Jürgen (2002). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Berlín: Springer. ISBN 3-540-42627-2. Véase la sección 1.6 .
• Kolář, I.; Micor, P.; Eslovaco, J. (1993). Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag. ISBN 9783662029503.Amplia discusión de los corchetes de Lie y la teoría general de las derivadas de Lie.
• Lang, S. (1995). Variedades diferenciales y riemannianas . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94338-1.Para generalizaciones a dimensiones infinitas.
• Lang, S. (1999). Fundamentos de geometría diferencial . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98593-0.Para generalizaciones a dimensiones infinitas.
• Yano, K. (1957). La teoría de las derivadas de Lie y sus aplicaciones. Holanda Septentrional. ISBN 978-0-7204-2104-0.Enfoque clásico utilizando coordenadas.

Enlaces externos

• "Derivada de Lie", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]