Teorema de convergencia dominada

Teorema de la teoría de la medida

En la teoría de la medida , el teorema de convergencia dominada de Lebesgue proporciona una condición suficiente leve bajo la cual los límites y las integrales de una secuencia de funciones pueden intercambiarse. Más técnicamente, dice que si una secuencia de funciones está limitada en valor absoluto por una función integrable y es casi en todas partes convergente puntualmente a una función , entonces la secuencia converge en su límite puntual y, en particular, la integral del límite es el límite de las integrales. Su potencia y utilidad son dos de las principales ventajas teóricas de la integración de Lebesgue sobre la integración de Riemann . ${\displaystyle L_{1}}$

Además de su frecuente aparición en el análisis matemático y en ecuaciones diferenciales parciales, se utiliza ampliamente en la teoría de la probabilidad , ya que da una condición suficiente para la convergencia de los valores esperados de las variables aleatorias .

Declaración

Teorema de convergencia dominada de Lebesgue. ^[1] Sea una secuencia de funciones medibles de valor complejo en un espacio de medida . Supóngase que la secuencia converge puntualmente a una función , es decir ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$

existe para cada . Supongamos además que la secuencia está dominada por alguna función integrable en el sentido de que ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$

para todos los puntos y todos los del conjunto índice. Entonces son integrables (en el sentido de Lebesgue ) y ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{n},f}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}\lim _{n\to \infty }f_{n}d\mu =\int _{S}f\,d\mu }$.

De hecho, tenemos el más fuerte,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0}$

Observación 1. La afirmación "es integrable" significa que la función medible es integrable según el método de Lebesgue; es decir, dado que . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\geq 0}$

${\displaystyle \int _{S}g\,d\mu <\infty .}$

Observación 2. La convergencia de la secuencia y la dominación por se pueden relajar para que se cumplan solo - casi en todas partes , es decir, excepto posiblemente en un conjunto medible de -medida . De hecho, podemos modificar las funciones (de ahí su límite puntual ) para que sean 0 en sin cambiar el valor de las integrales. (Si insistimos en, por ejemplo, definir como el límite siempre que exista, podemos terminar con un subconjunto no medible dentro de donde se viola la convergencia si el espacio de medida no es completo y, por lo tanto, podría no ser medible. Sin embargo, no hay daño en ignorar el límite dentro del conjunto nulo ). Por lo tanto, podemos considerar que y están definidos excepto para un conjunto de -medida 0. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$

Observación 3. Si , la condición de que hay una función integrable dominante puede relajarse hasta la integrabilidad uniforme de la secuencia ( f _n ), véase el teorema de convergencia de Vitali . ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle g}$

Observación 4. Si bien es integrable según Lebesgue, en general no es integrable según Riemann . Por ejemplo, ordenemos los racionales en , y sea que se defina en para que tome el valor 1 en los primeros n racionales y 0 en caso contrario. Entonces es la función de Dirichlet en , que no es integrable según Riemann pero sí lo es según Lebesgue. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Observación 5 La versión más fuerte del teorema de convergencia dominada se puede reformular como: si una secuencia de funciones complejas mensurables es casi en todas partes convergente puntualmente a una función y casi en todas partes acotada en valor absoluto por una función integrable, entonces en el espacio de Banach ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle L_{1}(S,\mu )}$

Prueba

Sin pérdida de generalidad , se puede suponer que f es real, porque se puede dividir f en sus partes reales e imaginarias (recuerde que una secuencia de números complejos converge si y sólo si sus contrapartes reales e imaginarias convergen) y aplicar la desigualdad triangular al final.

El teorema de convergencia dominada de Lebesgue es un caso especial del teorema de Fatou-Lebesgue . Sin embargo, a continuación se presenta una demostración directa que utiliza el lema de Fatou como herramienta esencial.

Dado que f es el límite puntual de la sucesión ( f _n ) de funciones mensurables que están dominadas por g , también es medible y está dominada por g , por lo tanto es integrable. Además, (estos serán necesarios más adelante),

${\displaystyle |f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g}$

para todos n y

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0.}$

La segunda de ellas es trivialmente cierta (por la propia definición de f ). Utilizando la linealidad y la monotonía de la integral de Lebesgue ,

${\displaystyle \left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.}$

Por el lema de Fatou inverso (es aquí que utilizamos el hecho de que | f − f _n | está acotado superiormente por una función integrable)

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,}$

lo que implica que el límite existe y desaparece, es decir

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

Finalmente, desde entonces

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

tenemos eso

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .}$

El teorema se deduce ahora:

Si las suposiciones se cumplen solo en μ-casi en todas partes, entonces existe un conjunto μ-nulo N ∈ Σ tal que las funciones f _n 1 _{S  \  N} satisfacen las suposiciones en todas partes en  S . Entonces la función f ( x ) definida como el límite puntual de f _n ( x ) para x ∈ S  \  N y por f ( x ) = 0 para x ∈ N , es medible y es el límite puntual de esta secuencia de funciones modificada. Los valores de estas integrales no se ven influenciados por estos cambios en los integrandos en este conjunto μ-nulo  N , por lo que el teorema continúa siendo válido.

La DCT se cumple incluso si f _n converge a f en medida (medida finita) y la función dominante no es negativa en casi todas partes.

Discusión de los supuestos

No se puede prescindir del supuesto de que la sucesión está dominada por algún integrable g . Esto se puede ver de la siguiente manera: defina f _n ( x ) = n para x en el intervalo (0, 1/ n ] y f _n ( x ) = 0 en caso contrario. Cualquier g que domine la sucesión también debe dominar al supremo puntual h = sup _n f _n . Observe que

${\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\to \infty }$

por la divergencia de la serie armónica . Por lo tanto, la monotonía de la integral de Lebesgue nos dice que no existe ninguna función integrable que domine la secuencia en [0,1]. Un cálculo directo muestra que la integración y el límite puntual no conmutan para esta secuencia:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,}$

porque el límite puntual de la secuencia es la función cero . Nótese que la secuencia ( f _n ) ni siquiera es uniformemente integrable , por lo tanto, el teorema de convergencia de Vitali tampoco es aplicable.

Teorema de convergencia acotada

Un corolario del teorema de convergencia dominada es el teorema de convergencia acotada , que establece que si ( f _n ) es una secuencia de funciones medibles de valores complejos uniformemente acotadas que converge puntualmente en un espacio de medida acotado ( S , Σ, μ) (es decir, uno en el que μ( S ) es finito) a una función f , entonces el límite f es una función integrable y

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }.}$

Observación: La convergencia puntual y la acotación uniforme de la secuencia se pueden relajar para contener solo μ- casi en todas partes , siempre que el espacio de medida ( S , Σ, μ) sea completo o f se elija como una función medible que concuerde con μ-casi en todas partes con el límite puntual existente en μ-casi en todas partes.

Prueba

Como la sucesión está uniformemente acotada, existe un número real M tal que | f _n ( x )| ≤ M para todo x ∈ S y para todo n . Definamos g ( x ) = M para todo x ∈ S . Entonces la sucesión está dominada por g . Además, g es integrable ya que es una función constante en un conjunto de medida finita. Por lo tanto, el resultado se sigue del teorema de convergencia dominada.

Si los supuestos se cumplen solo en μ-casi en todas partes, entonces existe un conjunto μ-nulo N ∈ Σ tal que las funciones f _n 1 _{S \ N} satisfacen los supuestos en todas partes en  S .

Convergencia dominada enyopag-espacios (corolario)

Sea un espacio de medida , un número real y una secuencia de funciones -medibles . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

Supongamos que la secuencia converge -casi en todas partes a una función -medible , y está dominada por un (cf. espacio Lp ), es decir, para cada número natural tenemos: , μ-casi en todas partes. ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in L^{p}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |f_{n}|\leq g}$

Entonces todos así como están en y la secuencia converge a en el sentido de , es decir: ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.}$

Idea de la prueba: Aplicar el teorema original a la secuencia de funciones con la función dominante . ${\displaystyle h_{n}=|f_{n}-f|^{p}}$ ${\displaystyle (2g)^{p}}$

Extensiones

El teorema de convergencia dominada se aplica también a funciones mensurables con valores en un espacio de Banach , siendo la función dominante no negativa e integrable como se indicó anteriormente. El supuesto de convergencia en casi todas partes se puede debilitar para requerir solo convergencia en la medida .

El teorema de convergencia dominada se aplica también a las expectativas condicionales. ^[2]

Véase también

• Convergencia de variables aleatorias , Convergencia en la media
• Teorema de convergencia monótona (no requiere dominancia por parte de una función integrable sino que supone la monotonía de la secuencia)
• Lema de Scheffé
• Integrabilidad uniforme
• Teorema de convergencia de Vitali (una generalización del teorema de convergencia dominada de Lebesgue)

Notas

1. Para el caso real, véase Evans, Lawrence C; Gariepy, Ronald F (2015). Teoría de la medida y propiedades finas de funciones . CRC Press. págs. Teorema 1.19.
2. Zitkovic 2013, Proposición 10.5.

Referencias

• Bartle, RG (1995). Los elementos de integración y la medida de Lebesgue. Wiley Interscience. ISBN 9780471042228.
• Royden, HL (1988). Análisis real. Prentice Hall. ISBN 9780024041517.
• Weir, Alan J. (1973). "Los teoremas de convergencia". Integración y medida de Lebesgue . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 93–118. ISBN 0-521-08728-7.
• Williams, D. (1991). Probabilidad con martingalas . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Zitkovic, Gordan (otoño de 2013). "Lecture10: Conditional Expectation" (PDF) . Consultado el 25 de diciembre de 2020 .