Teorema de Heine-Cantor

En matemáticas , el teorema de Heine-Cantor establece que una función continua entre dos espacios métricos es uniformemente continua si su dominio es compacto . El teorema recibe su nombre de Eduard Heine y Georg Cantor .

Teorema de Heine-Cantor  :  Si es una función continua entre dos espacios métricos y , y es compacto , entonces es uniformemente continua . ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

Un caso especial importante del teorema de Cantor es que toda función continua desde un intervalo cerrado y acotado hasta los números reales es uniformemente continua.

Demostración del teorema de Heine-Cantor

Supóngase que y son dos espacios métricos con métricas y , respectivamente. Supóngase además que una función es continua y es compacta. Queremos demostrar que es uniformemente continua , es decir, para cada número real positivo existe un número real positivo tal que para todos los puntos en el dominio de la función , implica que . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d_{M}}$ ${\displaystyle d_{N}}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta }$ ${\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon }$

Consideremos un número real positivo . Por continuidad , para cualquier punto en el dominio , existe un número real positivo tal que cuando , es decir, un hecho que está dentro de implica que está dentro de . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta _{x}>0}$ ${\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon /2}$ ${\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta _{x}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(y)}$ ${\displaystyle \varepsilon /2}$ ${\displaystyle f(x)}$

Sea el vecindario abierto de , es decir, el conjunto ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle \delta _{x}/2}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle U_{x}=\left\{y\mid d_{M}(x,y)<{\frac {1}{2}}\delta _{x}\right\}.}$

Como cada punto está contenido en su propio , encontramos que la colección es una cubierta abierta de . Como es compacta, esta cubierta tiene una subcubierta finita donde . Cada uno de estos conjuntos abiertos tiene un radio asociado . Definamos ahora , es decir, el radio mínimo de estos conjuntos abiertos. Como tenemos un número finito de radios positivos, este mínimo está bien definido y es positivo. Ahora demostramos que esto funciona para la definición de continuidad uniforme. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle \{U_{x}\mid x\in M\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{U_{x_{1}},U_{x_{2}},\ldots ,U_{x_{n}}\}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in M}$ ${\displaystyle \delta _{x_{i}}/2}$ ${\displaystyle \delta =\min _{1\leq i\leq n}\delta _{x_{i}}/2}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Supongamos que para dos cualesquiera en . Dado que los conjuntos forman una (sub)cubierta abierta de nuestro espacio , sabemos que debe estar dentro de uno de ellos, digamos . Entonces tenemos que . La desigualdad triangular implica entonces que ${\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta }$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{x_{i}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{x_{i}}}$ ${\displaystyle d_{M}(x,x_{i})<{\frac {1}{2}}\delta _{x_{i}}}$

${\displaystyle d_{M}(x_{i},y)\leq d_{M}(x_{i},x)+d_{M}(x,y)<{\frac {1}{2}}\delta _{x_{i}}+\delta \leq \delta _{x_{i}},}$

lo que implica que y están ambos como máximo alejados de . Por definición de , esto implica que y son ambos menores que . Al aplicar la desigualdad triangular se obtiene el resultado deseado ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \delta _{x_{i}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \delta _{x_{i}}}$ ${\displaystyle d_{N}(f(x_{i}),f(x))}$ ${\displaystyle d_{N}(f(x_{i}),f(y))}$ ${\displaystyle \varepsilon /2}$

${\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))\leq d_{N}(f(x_{i}),f(x))+d_{N}(f(x_{i}),f(y))<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}$

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Para una prueba alternativa en el caso de , un intervalo cerrado, consulte el artículo Cálculo no estándar . ${\displaystyle M=[a,b]}$

Véase también

• Función continua de Cauchy

Enlaces externos

• Teorema de Heine-Cantor en PlanetMath .
• Prueba del teorema de Heine-Cantor en PlanetMath .