Función continua de Cauchy

En matemáticas , una función Cauchy-continua o Cauchy-regular es un tipo especial de función continua entre espacios métricos (o espacios más generales). Las funciones continuas de Cauchy tienen la útil propiedad de que siempre pueden extenderse (exclusivamente) hasta la finalización de Cauchy de su dominio.

Definición

Sean y espacios métricos , y sea una función desde hasta Entonces es continua de Cauchy si y sólo si, dada cualquier secuencia de Cauchy en la secuencia es una secuencia de Cauchy en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),\ldots \right)}$ ${\displaystyle Y.}$

Propiedades

Toda función uniformemente continua es también continua de Cauchy. Por el contrario, si el dominio está totalmente acotado , entonces toda función continua de Cauchy es uniformemente continua. De manera más general, incluso si no está totalmente acotada, una función en es continua de Cauchy si y sólo si es uniformemente continua en cada subconjunto totalmente acotado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Toda función continua de Cauchy es continua . Por el contrario, si el dominio es completo , entonces toda función continua es continua de Cauchy. De manera más general, incluso si no está completa, siempre que esté completa, entonces cualquier función continua de Cauchy desde a puede extenderse a una función continua (y por lo tanto continua de Cauchy) definida en la terminación de Cauchy de esta extensión es necesariamente única. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X;}$

Combinando estos hechos, si es compacto , entonces los mapas continuos, los mapas continuos de Cauchy y los mapas uniformemente continuos son todos iguales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos y no ejemplos

Dado que la línea real es completa, las funciones continuas son continuas de Cauchy. Sin embargo, en el subespacio de los números racionales la cuestión es diferente. Por ejemplo, defina una función de dos valores de modo que sea menor que pero mayor que (tenga en cuenta que nunca es igual a para ningún número racional ). Esta función es continua pero no continua de Cauchy, ya que no se puede extender continuamente. Por otro lado, cualquier función uniformemente continua debe ser continua de Cauchy. Para un ejemplo no uniforme de let be ; esto no es uniformemente continuo (en todos ), pero es continuo de Cauchy. (Este ejemplo funciona igualmente bien en ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2.}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 2^{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Una secuencia de Cauchy se puede identificar con una función continua de Cauchy desde hasta definida por Si está completa, entonces se puede extender hasta que sea el límite de la secuencia de Cauchy. ${\displaystyle \left(y_{1},y_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f\left(1/n\right)=y_{n}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\};}$ ${\displaystyle f(x)}$

Generalizaciones

La continuidad de Cauchy tiene sentido en situaciones más generales que los espacios métricos, pero luego hay que pasar de secuencias a redes (o, de manera equivalente, filtros ). La definición anterior se aplica, siempre y cuando la secuencia de Cauchy se reemplace con una red de Cauchy arbitraria . De manera equivalente, una función es continua de Cauchy si y solo si, dado cualquier filtro de Cauchy , entonces es un filtro de Cauchy basado en. Esta definición concuerda con lo anterior sobre espacios métricos, pero también funciona para espacios uniformes y, más generalmente, para espacios de Cauchy. . ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle Y.}$

Cualquier conjunto dirigido puede convertirse en un espacio de Cauchy. Entonces, dado cualquier espacio, las redes de Cauchy indexadas por son las mismas que las funciones continuas de Cauchy desde a. Si está completa, entonces la extensión de la función a dará el valor del límite de la red. (Esto generaliza el ejemplo de secuencias anterior, donde 0 debe interpretarse como ) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}.}$

Ver también

• Espacio de Cauchy  : concepto de topología y análisis general
• Teorema de Heine-Cantor

Referencias

• Eva Lowen-Colebunders (1989). Clases de funciones de mapas continuos de Cauchy . Dekker, Nueva York.