conjetura abc

El producto de factores primos distintos de a,b,c, donde c es a+b, rara vez es mucho menor que c

El matemático Joseph Oesterlé

Matemático David Masser

La conjetura abc (también conocida como conjetura de Oesterlé-Masser ) es una conjetura en teoría de números que surgió de una discusión de Joseph Oesterlé y David Masser en 1985. ^{[1] [2]} Se enuncia en términos de tres números enteros positivos y (de ahí el nombre) que son primos entre sí y satisfacen . La conjetura establece esencialmente que el producto de los factores primos distintos de no suele ser mucho menor que . Varias conjeturas y teoremas famosos en teoría de números se seguirían inmediatamente de la conjetura abc o sus versiones. El matemático Dorian Goldfeld describió la conjetura abc como "el problema no resuelto más importante en el análisis diofántico ". ^[3] ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle c}$

La conjetura abc surgió como resultado de los intentos de Oesterlé y Masser de comprender la conjetura de Szpiro sobre las curvas elípticas , ^[4] que involucra más estructuras geométricas en su enunciado que la conjetura abc . Se demostró que la conjetura abc era equivalente a la conjetura de Szpiro modificada. ^[1]

Se han hecho varios intentos para demostrar la conjetura abc , pero ninguno ha obtenido una amplia aceptación. Shinichi Mochizuki afirmó tener una prueba en 2012, pero la comunidad matemática dominante aún considera que la conjetura no ha sido demostrada. ^{[5] [6] [7]}

Formulaciones

Antes de enunciar la conjetura, es necesario introducir la noción de radical de un entero : para un entero positivo , el radical de , denotado , es el producto de los factores primos distintos de . Por ejemplo, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{rad}}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\text{rad}}(16)={\text{rad}}(2^{4})={\text{rad}}(2)=2}$

${\displaystyle {\text{rad}}(17)=17}$

${\displaystyle {\text{rad}}(18)={\text{rad}}(2\cdot 3^{2})=2\cdot 3=6}$

${\displaystyle {\text{rad}}(1000000)={\text{rad}}(2^{6}\cdot 5^{6})=2\cdot 5=10}$

Si a , b y c son números enteros positivos coprimos ^{[notas 1]} tales que a + b = c , resulta que "por lo general" . La conjetura abc se ocupa de las excepciones. En concreto, afirma que: ${\displaystyle c<{\text{rad}}(abc)}$

Para cada número real positivo ε , sólo existen un número finito de ternas ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos, con a + b = c , tales que ^[8]

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

Una formulación equivalente es:

Para cada número real positivo ε , existe una constante K _ε tal que para todos los triples ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos, con a + b = c : ^[8]

${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

De manera equivalente (usando la notación o minúscula ):

Para todos los triples ( a , b , c ) de números enteros positivos coprimos con a + b = c , rad( abc ) es al menos c ^{1- o (1)} .

Una cuarta formulación equivalente de la conjetura involucra la cualidad q ( a , b , c ) de la tripleta ( a , b , c ), que se define como

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log {\big (}{\textrm {rad}}(abc){\big )}}}.}$

Por ejemplo:

q (4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0,46820...

q (3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1,426565...

Un triple típico ( a , b , c ) de números enteros positivos coprimos con a + b = c tendrá c < rad( abc ), es decir, q ( a , b , c ) < 1. Los triples con q > 1, como en el segundo ejemplo, son bastante especiales, consisten en números divisibles por altas potencias de números primos pequeños . La cuarta formulación es:

Para cada número real positivo ε , sólo existen un número finito de ternas ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos con a + b = c tales que q ( a , b , c ) > 1 + ε .

Considerando que se sabe que hay infinitos triples ( a , b , c ) de números enteros positivos coprimos con a + b = c tales que q ( a , b , c ) > 1, la conjetura predice que solo un número finito de ellos tienen q > 1,01 o q > 1,001 o incluso q > 1,0001, etc. En particular, si la conjetura es verdadera, entonces debe existir un triple ( a , b , c ) que alcance la máxima calidad posible q ( a , b , c ).

Ejemplos de triples con radicales pequeños

La condición de que ε > 0 es necesaria ya que existen infinitas ternas a , b , c con c > rad( abc ). Por ejemplo, sea

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{6n}-1,\quad c=2^{6n},\qquad n>1.}$

El entero b es divisible por 9:

${\displaystyle b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots )=9\cdot 7\cdot (\cdots ).}$

Utilizando este hecho se realiza el siguiente cálculo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rad} (abc)&=\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c)\\&=\operatorname {rad} (1)\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\operatorname {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3\cdot {\tfrac {b}{9}}\\&={\tfrac {2}{3}}b\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{aligned}}}$

Al reemplazar el exponente 6 n por otros exponentes que fuerzan a b a tener factores cuadrados mayores, la relación entre el radical y c puede hacerse arbitrariamente pequeña. En concreto, sea p > 2 un primo y considere

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{p(p-1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.}$

Ahora bien, se puede afirmar de manera plausible que b es divisible por p ² :

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}\right)^{n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{aligned}}}$

El último paso utiliza el hecho de que p ² divide a 2 ^{p ( p −1)}  − 1. Esto se desprende del pequeño teorema de Fermat , que muestra que, para p  > 2, 2 ^{p −1}  =  pk  + 1 para algún entero k . Elevando ambos lados a la potencia de p , se muestra que 2 ^{p ( p −1)}  =  p ² (...) + 1.

Y ahora con un cálculo similar al anterior, los resultados son los siguientes:

${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)<{\tfrac {2}{p}}c.}$

A continuación se ofrece una lista de los triples de mayor calidad (triples con un radical particularmente pequeño en relación con c ); la calidad más alta, 1.6299, fue encontrada por Eric Reyssat (Lando & Zvonkin 2004, p. 137) para

a = 2,

b = 3 ¹⁰ ·109 =6 436 341 ,

c = 23 ⁵ =6 436 343 ,

rad( abc ) =15 042 .

Algunas consecuencias

La conjetura abc tiene un gran número de consecuencias. Entre ellas se incluyen tanto resultados conocidos (algunos de los cuales se han demostrado por separado sólo después de que se ha enunciado la conjetura) como conjeturas para las que proporciona una prueba condicional . Las consecuencias incluyen:

• Teorema de Roth sobre la aproximación diofántica de números algebraicos . ^{[9] [8]}
• La conjetura de Mordell (ya demostrada en general por Gerd Faltings ). ^[10]
• Como equivalente, la conjetura de Vojta en dimensión 1. ^[11]
• La conjetura de Erdős-Woods que permite un número finito de contraejemplos. ^[12]
• La existencia de un número infinito de primos no Wieferich en cada base b > 1. ^[13]
• La forma débil de la conjetura de Marshall Hall sobre la separación entre cuadrados y cubos de números enteros. ^[14]
• El último teorema de Fermat tiene una famosa y difícil demostración por parte de Andrew Wiles . Sin embargo, se deduce fácilmente, al menos para , de una forma efectiva de una versión débil de la conjetura abc . La conjetura abc dice que el lim sup del conjunto de todas las cualidades (definido arriba) es 1, lo que implica la afirmación mucho más débil de que existe un límite superior finito para las cualidades. La conjetura de que 2 es dicho límite superior es suficiente para una demostración muy breve del último teorema de Fermat para . ^[15] ${\displaystyle n\geq 6}$ ${\displaystyle n\geq 6}$
• La conjetura de Fermat-Catalan , una generalización del último teorema de Fermat sobre potencias que son sumas de potencias. ^[16]
• La función L L ( s , χ _d ) formada con el símbolo de Legendre , no tiene cero de Siegel , dada una versión uniforme de la conjetura abc en cuerpos numéricos , no solo la conjetura abc tal como se formuló anteriormente para números enteros racionales. ^[17]
• Un polinomio P ( x ) tiene sólo un número finito de potencias perfectas para todos los números enteros x si P tiene al menos tres ceros simples . ^[18]
• Una generalización del teorema de Tijdeman sobre el número de soluciones de y ^m = x ⁿ + k (el teorema de Tijdeman responde al caso k = 1), y la conjetura de Pillai (1931) sobre el número de soluciones de Ay ^m = Bx ⁿ + k .
• Como equivalente, la conjetura de Granville-Langevin, que sostiene que si f es una forma binaria libre de cuadrados de grado n > 2, entonces para cada β real > 2 existe una constante C ( f , β ) tal que para todos los enteros coprimos x , y , el radical de f ( x , y ) excede C · max{| x |, | y |} ^{n − β} . ^[19]
• Todos los polinomios (x^n-1)/(x-1) tienen una infinidad de valores libres de cuadrados. ^[20]
• Como equivalente, la conjetura de Szpiro modificada , que produciría un límite de rad( abc ) ^{1,2+ ε} . ^[1]
• Dąbrowski (1996) ha demostrado que la conjetura abc implica que la ecuación diofántica n ! + A = k ² tiene sólo un número finito de soluciones para cualquier entero dado A .
• Hay ~ c _f N números enteros positivos n ≤ N para los cuales f ( n )/B' no tiene cuadrados, siendo c _f > 0 una constante positiva definida como: ^[21]
  ${\displaystyle c_{f}=\prod _{{\text{prime }}p}x_{i}\left(1-{\frac {\omega \,\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}\right).}$
• La conjetura de Beal , una generalización del último teorema de Fermat que propone que si A , B , C , x , y y z son números enteros positivos con A ^x + B ^y = C ^z y x , y , z > 2, entonces A , B y C tienen un factor primo común. La conjetura abc implicaría que solo hay un número finito de contraejemplos.
• Conjetura de Lang , un límite inferior para la altura de un punto racional no torsionado de una curva elíptica.
• Una solución negativa al problema de Erdős–Ulam en conjuntos densos de puntos euclidianos con distancias racionales. ^[22]
• Una versión efectiva del teorema de Siegel sobre puntos integrales en curvas algebraicas . ^[23]

Resultados teóricos

La conjetura abc implica que c puede estar acotado por encima de una función casi lineal del radical de abc . Se conocen límites que son exponenciales . En concreto, se han demostrado los siguientes límites:

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$(Stewart y Tijdeman 1986),

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$(Stewart y Yu 1991), y

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}}$(Stewart y Yu 2001).

En estos límites, K ₁ y K ₃ son constantes que no dependen de a , b o c , y K ₂ es una constante que depende de ε (de una manera efectivamente computable ) pero no de a , b o c . Los límites se aplican a cualquier tripleta para la cual c > 2.

También existen resultados teóricos que proporcionan un límite inferior para la mejor forma posible de la conjetura abc . En particular, Stewart y Tijdeman (1986) demostraron que hay una cantidad infinita de ternas ( a , b , c ) de números enteros coprimos con a + b = c y

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)\exp {\left(k{\sqrt {\log c}}/\log \log c\right)}}$

para todos k < 4. La constante k fue mejorada a k = 6,068 por van Frankenhuysen (2000).

Resultados computacionales

En 2006, el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Leiden en los Países Bajos, junto con el instituto de ciencias holandés Kennislink, lanzaron el proyecto ABC@Home , un sistema de computación en cuadrícula , cuyo objetivo es descubrir triples adicionales a , b , c con rad( abc ) < c . Aunque ningún conjunto finito de ejemplos o contraejemplos puede resolver la conjetura abc , se espera que los patrones en los triples descubiertos por este proyecto conduzcan a conocimientos sobre la conjetura y sobre la teoría de números en general.

En mayo de 2014, ABC@Home había encontrado 23,8 millones de triples. ^[25]

Nota: la calidad q ( a , b , c ) de la triple ( a , b , c ) está definida arriba.

Formas refinadas, generalizaciones y afirmaciones relacionadas

La conjetura abc es un análogo entero del teorema de Mason-Stothers para polinomios.

Un fortalecimiento, propuesto por Baker (1998), establece que en la conjetura abc se puede reemplazar rad( abc ) por

ε ^{− ω} rad( abc ),

donde ω es el número total de primos distintos que dividen a , b y c . ^[27]

Andrew Granville notó que el mínimo de la función ocurre cuando ${\displaystyle {\big (}\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\omega }{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.}$

Esto inspiró a Baker (2004) a proponer una forma más precisa de la conjetura abc , a saber:

${\displaystyle c<\kappa \operatorname {rad} (abc){\frac {{\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}{\Big )}^{\omega }}{\omega !}}}$

con κ como constante absoluta. Después de algunos experimentos computacionales, descubrió que un valor de era admisible para κ . Esta versión se denomina " conjetura abc explícita ". ${\displaystyle 6/5}$

Baker (1998) también describe conjeturas relacionadas de Andrew Granville que darían límites superiores en c de la forma

${\displaystyle K^{\Omega (abc)}\operatorname {rad} (abc),}$

donde Ω( n ) es el número total de factores primos de n , y

${\displaystyle O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\Theta (abc){\big )},}$

donde Θ( n ) es el número de números enteros hasta n divisibles únicamente por primos que dividen a n .

Robert, Stewart y Tenenbaum (2014) propusieron una desigualdad más precisa basada en Robert y Tenenbaum (2013). Sea k = rad( abc ). Conjeturaron que existe una constante C ₁ tal que

${\displaystyle c<k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)}$

se cumple mientras que hay una constante C ₂ tal que

${\displaystyle c>k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)}$

se cumple infinitamente a menudo.

Browkin y Brzeziński (1994) formularon la conjetura n , una versión de la conjetura abc que involucra n > 2 números enteros.

Pruebas reclamadas

Lucien Szpiro propuso una solución en 2007, pero poco después se descubrió que era incorrecta. ^[28]

Desde agosto de 2012, Shinichi Mochizuki ha afirmado tener una prueba de la conjetura de Szpiro y, por lo tanto, de la conjetura abc . ^[5] Publicó una serie de cuatro preprints que desarrollan una nueva teoría que llamó teoría interuniversal de Teichmüller (IUTT), que luego se aplica para probar la conjetura abc . ^[29] Los artículos no han sido ampliamente aceptados por la comunidad matemática como una prueba de abc . ^[30] Esto no se debe solo a su extensión y a la dificultad de comprenderlos, ^[31] sino también a que al menos un punto específico del argumento ha sido identificado como una laguna por algunos otros expertos. ^[32] Aunque algunos matemáticos han avalado la corrección de la prueba ^[33] y han intentado comunicar su comprensión a través de talleres sobre IUTT, no han logrado convencer a la comunidad de teoría de números en general. ^{[34] [35]}

En marzo de 2018, Peter Scholze y Jakob Stix visitaron Kioto para conversar con Mochizuki. ^{[36] [37]} Si bien no resolvieron las diferencias, las aclararon. Scholze y Stix escribieron un informe en el que afirmaban y explicaban un error en la lógica de la prueba y afirmaban que la brecha resultante era "tan grave que... pequeñas modificaciones no salvarán la estrategia de la prueba"; ^[32] Mochizuki afirmó que habían entendido mal aspectos vitales de la teoría e hicieron simplificaciones inválidas. ^{[38] [39] [40]}

El 3 de abril de 2020, dos matemáticos del instituto de investigación de Kioto donde trabaja Mochizuki anunciaron que su supuesta prueba se publicaría en Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences , la revista del instituto. Mochizuki es el editor jefe de la revista, pero se recusó de la revisión del artículo. ^[6] El anuncio fue recibido con escepticismo por Kiran Kedlaya y Edward Frenkel , además de ser descrito por Nature como "poco probable que mueva a muchos investigadores al bando de Mochizuki". ^[6] En marzo de 2021, la prueba de Mochizuki se publicó en RIMS. ^[41]

Véase también

• Lista de problemas no resueltos en matemáticas

Notas

1. Cuando a + b = c , cualquier factor común de dos de los valores es necesariamente compartido por el tercero. Por lo tanto, la coprimalidad de a , b , c implica la coprimalidad por pares de a , b , c . Por lo tanto, en este caso, no importa qué concepto usemos.

Referencias

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2. Masser 1985.
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6. Castelvecchi, Davide (9 de abril de 2020). «Se publicará una prueba matemática que sacudió la teoría de números». Nature . 580 (7802): 177. Bibcode :2020Natur.580..177C. doi :10.1038/d41586-020-00998-2. PMID  32246118. S2CID  214786566.
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Fuentes

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Enlaces externos

• ABC@home Proyecto de computación distribuida denominado ABC@Home .
• Tan fácil como el abecedario: explicación detallada y fácil de seguir de Brian Hayes.
• Weisstein, Eric W. "Conjetura abc". MathWorld .
• Página de inicio de la conjetura ABC de Abderrahmane Nitaj
• Página web de Bart de Smit sobre ABC Triples
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• El ABC de la teoría de números por Noam D. Elkies
• Preguntas sobre los números de Barry Mazur
• La filosofía detrás del trabajo de Mochizuki sobre la conjetura ABC en MathOverflow
• Página wiki del proyecto ABC Conjecture Polymath que enlaza a varias fuentes de comentarios sobre los artículos de Mochizuki.
• Vídeo de Numberphile sobre la conjetura abc
• Noticias sobre IUT por Mochizuki