Primer ministro de Wieferich

Primo tal que p^2 ​​divide a 2^(p-1)-1

En teoría de números , un primo de Wieferich es un número primo p tal que p ² divide a 2 ^{p  − 1}  − 1 , ^[4] conectando por lo tanto estos primos con el pequeño teorema de Fermat , que establece que todo primo impar p divide a 2 ^{p  − 1}  − 1 . Los primos de Wieferich fueron descritos por primera vez por Arthur Wieferich en 1909 en obras relacionadas con el Último Teorema de Fermat , momento en el que ambos teoremas de Fermat ya eran bien conocidos por los matemáticos. ^{[5] [6]}

Desde entonces, se han descubierto conexiones entre los primos de Wieferich y otros temas de las matemáticas, incluidos otros tipos de números y primos, como los números de Mersenne y Fermat , tipos específicos de pseudoprimos y algunos tipos de números generalizados a partir de la definición original de un primo de Wieferich. Con el tiempo, esas conexiones descubiertas se han extendido para cubrir más propiedades de ciertos números primos, así como temas más generales, como los cuerpos numéricos y la conjetura abc .

A partir de 2024 ^[actualizar], los únicos primos de Wieferich conocidos son 1093 y 3511 (secuencia A001220 en la OEIS ).

Definiciones equivalentes

La versión más fuerte del pequeño teorema de Fermat , que satisface un primo de Wieferich, se expresa habitualmente como una relación de congruencia 2 ^{p -1} ≡ 1 (mod p ² ) . De la definición de la relación de congruencia en números enteros se deduce que esta propiedad es equivalente a la definición dada al principio. Por tanto, si un primo p satisface esta congruencia, este primo divide el cociente de Fermat . Los siguientes son dos ejemplos ilustrativos utilizando los primos 11 y 1093: ${\displaystyle {\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}}$

Para p = 11, obtenemos que es 93 y deja un resto de 5 después de la división por 11, por lo tanto, 11 no es un primo de Wieferich. Para p = 1093, obtenemos o 485439490310...852893958515 (se omiten 302 dígitos intermedios para mayor claridad), lo que deja un resto de 0 después de la división por 1093 y, por lo tanto, 1093 es un primo de Wieferich. ${\displaystyle {\tfrac {2^{10}-1}{11}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}}$

Los primos de Wieferich se pueden definir mediante otras congruencias equivalentes. Si p es un primo de Wieferich, se pueden multiplicar ambos lados de la congruencia 2 ^{p −1}  ≡ 1 (mod  p ² ) por 2 para obtener 2 ^p  ≡ 2 (mod  p ² ) . Elevando ambos lados de la congruencia a la potencia p se muestra que un primo de Wieferich también satisface 2 ^{p 2}  ≡2 ^p  ≡ 2 (mod  p ² ) , y por lo tanto 2 ^{p k}  ≡ 2 (mod  p ² ) para todo k  ≥ 1 . La inversa también es cierta: 2 ^{p k}  ≡ 2 (mod  p ² ) para algún k  ≥ 1 implica que el orden multiplicativo de 2 módulo p ² divide a mcd ( p ^k  − 1 , φ ( p ² )) =  p  − 1 , es decir, 2 ^{p −1}  ≡ 1 (mod  p ² ) y, por lo tanto, p es un primo de Wieferich. Esto también implica que los primos de Wieferich pueden definirse como primos p tales que los órdenes multiplicativos de 2 módulo p y módulo p ² coinciden: ord _{p ²} 2 = ord _p 2 , (Por cierto, ord ₁₀₉₃ 2 = 364, y ord ₃₅₁₁ 2 = 1755).

HS Vandiver demostró que 2 ^{p −1}  ≡ 1 (mod  p ³ ) si y sólo si . ^{[7] : 187} ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$

Historial y estado de búsqueda

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Hay infinitos números primos de Wieferich?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

En 1902, Meyer demostró un teorema sobre las soluciones de la congruencia a ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ^r ). ^{[8] : 930  [9]} Más tarde en esa década, Arthur Wieferich demostró específicamente que si el primer caso del último teorema de Fermat tiene soluciones para un exponente primo impar, entonces ese primo debe satisfacer esa congruencia para a = 2 y r = 2. ^[10] En otras palabras, si existen soluciones para x ^p + y ^p + z ^p = 0 en los números enteros x , y , z y p un primo impar con p ∤ xyz , entonces p satisface 2 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ). En 1913, Bachmann examinó los residuos de . Planteó la pregunta cuándo se desvanece este residuo y trató de encontrar expresiones para responder a esta pregunta. ^[11] ${\displaystyle {\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p}$

El primo 1093 fue encontrado como un primo de Wieferich por W. Meissner  [cs] en 1913 y confirmado como el único primo de este tipo por debajo de 2000. Calculó el residuo más pequeño de para todos los primos p < 2000 y encontró que este residuo era cero para t = 364 y ​​p = 1093, proporcionando así un contraejemplo a una conjetura de Grave sobre la imposibilidad de la congruencia de Wieferich. ^[12] E. Haentzschel  [de] más tarde ordenó la verificación de la exactitud de la congruencia de Meissner a través de solo cálculos elementales. ^{[13] : 664} Inspirado por un trabajo anterior de Euler , simplificó la prueba de Meissner mostrando que 1093 ² | (2 ¹⁸² + 1) y remarcó que (2 ¹⁸² + 1) es un factor de (2 ³⁶⁴ − 1). ^[14] También se demostró que es posible probar que 1093 es un primo de Wieferich sin utilizar números complejos, contrariamente al método utilizado por Meissner, ^[15] aunque el propio Meissner insinuó que conocía una prueba sin valores complejos. ^{[12] : 665} ${\displaystyle {\tfrac {2^{t}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p}$

El primo 3511 fue descubierto por primera vez como un primo de Wieferich por NGWH Beeger en 1922 ^[16] y otra prueba de que era un primo de Wieferich fue publicada en 1965 por Guy . ^[17] En 1960, Kravitz ^[18] duplicó un récord anterior establecido por Fröberg  [sv] ^[19] y en 1961 Riesel extendió la búsqueda a 500000 con la ayuda de BESK . ^[20] Alrededor de 1980, Lehmer pudo alcanzar el límite de búsqueda de 6 × 10⁹ . ^[21] Este límite se amplió a más de 2,5 × 10¹⁵ en 2006, ^[22] alcanzando finalmente 3 × 10¹⁵ . Finalmente, se demostró que si existen otros primos de Wieferich, deben ser mayores que 6,7 × 10¹⁵ . ^[23]

Entre 2007 y 2016, el proyecto de computación distribuida Wieferich@Home realizó una búsqueda de primos de Wieferich . ^{[24] Entre 2011 y 2017, el proyecto} PrimeGrid realizó otra búsqueda , aunque posteriormente se afirmó que el trabajo realizado en este proyecto había sido en vano. ^[25] Si bien estos proyectos alcanzaron límites de búsqueda superiores a 1 × 10¹⁷ , ninguno de ellos reportó resultados sostenibles.

En 2020, PrimeGrid inició otro proyecto que buscaba primos de Wieferich y Wall–Sun–Sun simultáneamente. El nuevo proyecto utilizó sumas de comprobación para permitir la doble comprobación independiente de cada subintervalo, minimizando así el riesgo de perder una instancia debido a un hardware defectuoso. ^[26] El proyecto finalizó en diciembre de 2022, demostrando definitivamente que un tercer primo de Wieferich debe superar 2 ⁶⁴ (aproximadamente 18 × 10¹⁸ ). ^[27]

Se ha conjeturado (como para los primos de Wilson ) que existen infinitos primos de Wieferich, y que el número de primos de Wieferich por debajo de x es aproximadamente log(log( x )), lo que es un resultado heurístico que se desprende de la suposición plausible de que para un primo p , las raíces de grado ( p  − 1) de la unidad módulo p ² se distribuyen uniformemente en el grupo multiplicativo de los números enteros módulo p ² . ^[28]

Propiedades

Conexión con el último teorema de Fermat

El siguiente teorema que conecta los primos de Wieferich y el último teorema de Fermat fue demostrado por Wieferich en 1909: ^[10]

Sea p primo y sean x , y , z números enteros tales que x ^p  +  y ^p  +  z ^p  = 0. Además, supongamos que p no divide al producto  xyz . Entonces p es un primo de Wieferich.

El caso anterior (donde p no divide a ninguno de x , y o z ) se conoce comúnmente como el primer caso del Último Teorema de Fermat (FLTI) ^{[29] [30]} y se dice que FLTI falla para un primo p , si existen soluciones a la ecuación de Fermat para ese p , de lo contrario FLTI es válido para p . ^[31] En 1910, Mirimanoff amplió ^[32] el teorema al mostrar que, si las precondiciones del teorema son verdaderas para algún primo p , entonces p ² también debe dividir a 3 ^{p  − 1}  − 1 . Granville y Monagan demostraron además que p ² debe dividir en realidad a m ^{p  − 1}  − 1 para cada primo m ≤ 89. ^[33] Suzuki extendió la prueba a todos los primos m ≤ 113. ^[34]

Sea H _p un conjunto de pares de números enteros con 1 como su máximo común divisor , siendo p primo de x , y y x + y , ( x + y ) ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² ), ( x + ξy ) siendo la p ésima potencia de un ideal de K con ξ definido como cos 2 π / p + i sen 2 π / p . K = Q ( ξ ) es la extensión del campo obtenida al adjuntar todos los polinomios en el número algebraico ξ al campo de los números racionales (tal extensión se conoce como un campo numérico o en este caso particular, donde ξ es una raíz de la unidad , un campo numérico ciclotómico ). ^{[33] : 332} De la unicidad de la factorización de ideales en Q (ξ) se sigue que si el primer caso del último teorema de Fermat tiene soluciones x , y , z entonces p divide a x + y + z y ( x , y ), ( y , z ) y ( z , x ) son elementos de H _p . ^{[33] : 333} Granville y Monagan demostraron que (1, 1) ∈ H _p si y sólo si p es un primo de Wieferich. ^{[33] : 333}

Conexión con elabecedarioconjetura y primos no Wieferich

Un primo no Wieferich es un primo p que satisface 2 ^{p  − 1}  ≢ 1 (mod  p ² ) . JH Silverman demostró en 1988 que si la conjetura abc se cumple, entonces existen infinitos primos no Wieferich. ^[35] Más precisamente, demostró que la conjetura abc implica la existencia de una constante que solo depende de α tal que el número de primos no Wieferich en base α con p menor o igual que una variable X es mayor que log( X ) cuando X tiende a infinito. ^{[36] : 227} La evidencia numérica sugiere que muy pocos de los números primos en un intervalo dado son primos Wieferich. El conjunto de primos de Wieferich y el conjunto de primos no Wieferich, a veces denotados por W ₂ y W ₂ ^c respectivamente, ^[37] son ​​conjuntos complementarios , por lo que si se demuestra que uno de ellos es finito, el otro necesariamente tendría que ser infinito. Más tarde se demostró que la existencia de infinitos primos no Wieferich ya se sigue de una versión más débil de la conjetura abc , llamada conjetura ABC -( k , ε ) . ^[38] Además, la existencia de infinitos primos no Wieferich también se seguiría si existieran infinitos números de Mersenne libres de cuadrados ^[39] así como si existiera un número real ξ tal que el conjunto { n ∈ N  : λ(2 ⁿ − 1) < 2 − ξ } tuviera densidad uno, donde el índice de composición λ ( n ) de un entero n se define como y , lo que significa que da el producto de todos los factores primos de n . ^{[37] : 4} ${\displaystyle {\tfrac {\log n}{\log \gamma (n)}}}$ ${\displaystyle \gamma (n)=\prod _{p\mid n}p}$ ${\displaystyle \gamma (n)}$

Conexión con los primos de Mersenne y Fermat

Se sabe que el n- ésimo número de Mersenne M _n  = 2 ⁿ  − 1 es primo solo si n es primo. El pequeño teorema de Fermat implica que si p  > 2 es primo, entonces M _{p −1} (= 2 ^{p  − 1}  − 1) siempre es divisible por p . Como los números de Mersenne de índices primos M _p y M _q son coprimos,

Un divisor primo p de M _q , donde q es primo, es un primo de Wieferich si y sólo si p ² divide a M _q . ^[40]

Por lo tanto, un primo de Mersenne no puede ser también un primo de Wieferich. Un problema abierto notable es determinar si todos los números de Mersenne de índice primo son libres de cuadrados o no . Si q es primo y el número de Mersenne M _q no es libre de cuadrados, es decir, existe un primo p para el cual p ² divide a M _q , entonces p es un primo de Wieferich. Por lo tanto, si solo hay un número finito de primos de Wieferich, entonces habrá como máximo un número finito de números de Mersenne con índice primo que no sean libres de cuadrados. Rotkiewicz mostró un resultado relacionado: si hay infinitos números de Mersenne libres de cuadrados, entonces hay infinitos primos que no son de Wieferich. ^[41]

De manera similar, si p es primo y p ² divide algún número de Fermat F _n = 2 ^{2 n}  + 1 , entonces p debe ser un primo de Wieferich. ^[42]

De hecho, existe un número natural n y un primo p que p ² divide (donde es el n - ésimo polinomio ciclotómico ) si y solo si p es un primo de Wieferich. Por ejemplo, 1093 ² divide a , 3511 ² divide a . Los números de Mersenne y Fermat son solo situaciones especiales de . Por lo tanto, si 1093 y 3511 son solo dos primos de Wieferich, entonces todos son libres de cuadrados excepto y (De hecho, cuando existe un primo p que p ² divide a algún , entonces es un primo de Wieferich); y claramente, si es un primo, entonces no puede ser primo de Wieferich. (Cualquier primo impar p divide solo a uno y n divide a p  − 1 , y si y solo si la longitud del período de 1/p en binario es n , entonces p divide a . Además, si y solo si p es un primo de Wieferich, entonces la longitud del período de 1/p y 1/p ² son iguales (en binario). De lo contrario, esto es p veces más que eso.) ${\displaystyle \Phi _{n}(2)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ ${\displaystyle \Phi _{364}(2)}$ ${\displaystyle \Phi _{1755}(2)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(2)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(2)}$ ${\displaystyle \Phi _{364}(2)}$ ${\displaystyle \Phi _{1755}(2)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(2)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(2)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(2)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(2)}$

Para los primos 1093 y 3511, se demostró que ninguno de ellos es divisor de ningún número de Mersenne con índice primo ni divisor de ningún número de Fermat, porque 364 y ​​1755 no son primos ni potencias de 2. ^[43]

Conexión con otras ecuaciones

Scott y Styer demostraron que la ecuación p ^x – 2 ^y = d tiene como máximo una solución en números enteros positivos ( x , y ), a menos que p ⁴ | 2 ^{ord _p 2} – 1 si p ≢ 65 (mod 192) o incondicionalmente cuando p ² | 2 ^{ord _p 2} – 1, donde ord _p 2 denota el orden multiplicativo de 2 módulo p . ^{[44] : 215, 217–218} También demostraron que una solución a la ecuación ± a ^{x ₁} ± 2 ^{y ₁} = ± a ^{x ₂} ± 2 ^{y ₂} = c debe ser de un conjunto específico de ecuaciones pero que esto no se cumple, si a es un primo de Wieferich mayor que 1,25 x 10 ¹⁵ . ^{[45] : 258}

Periodicidad binaria depag− 1

Johnson observó ^[46] que los dos primos de Wieferich conocidos son uno mayor que los números con expansiones binarias periódicas (1092 = 010001000100 ₂ = 444 ₁₆ ; 3510 = 110110110110 ₂ = 6666 ₈ ). El proyecto Wieferich@Home buscó primos de Wieferich probando números que son uno mayor que un número con una expansión binaria periódica, pero hasta una "pseudo-longitud de bits" de 3500 de los números binarios probados generados por la combinación de cadenas de bits con una longitud de bits de hasta 24 no ha encontrado un nuevo primo de Wieferich. ^[47]

Abundancia depag− 1

Se ha observado (secuencia A239875 en la OEIS ) que los primos de Wieferich conocidos son uno mayor que los números mutuamente amigables (el índice de abundancia compartido es 112/39).

Conexión con pseudoprimos

Se observó que los dos primos de Wieferich conocidos son los factores cuadrados de todos los pseudoprimos de Fermat de base 2 libres no cuadrados hasta 25 × 10⁹ . ^[48] Cálculos posteriores mostraron que los únicos factores repetidos de los pseudoprimos hasta 10 ¹² son 1093 y 3511. ^[49] Además, existe la siguiente conexión:

Sea n un pseudoprimo de base 2 y p un primo divisor de n . Si , entonces también . ^{[31] : 378} Además, si p es un primo de Wieferich, entonces p ² es un pseudoprimo de Catalan . ${\displaystyle {\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}}$

Conexión con grafos dirigidos

Para todos los primos p hasta 100000 , L ( p ^{n +1} ) = L ( p ⁿ ) sólo en dos casos: L (1093 ² ) = L (1093) = 364 y ​​L (3511 ² ) = L (3511) = 1755 , donde L ( m ) es el número de vértices en el ciclo de 1 en el diagrama de duplicación módulo m . Aquí el diagrama de duplicación representa el grafo dirigido con los enteros no negativos menores que m como vértices y con aristas dirigidas que van desde cada vértice x al vértice 2 x reducido módulo m . ^{[50] : 74} Se demostró que para todos los números primos impares, L ( p ^{n +1} ) = p · L ( p ⁿ ) o L ( p ^{n +1} ) = L ( p ⁿ ) . ^{[50] : 75}

Propiedades relacionadas con los campos numéricos

Se demostró que y si y solo si 2 ^{p  − 1}  ≢ 1 (mod  p ² ) donde p es un primo impar y es el discriminante fundamental del campo cuadrático imaginario . Además, se demostró lo siguiente: Sea p un primo de Wieferich. Si p ≡ 3 (mod 4) , sea el discriminante fundamental del campo cuadrático imaginario y si p ≡ 1 (mod 4) , sea el discriminante fundamental del campo cuadrático imaginario . Entonces y ( χ y λ en este contexto denotan invariantes de Iwasawa ). ^{[51] : 27} ${\displaystyle \chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1}$ ${\displaystyle \lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1}$ ${\displaystyle D_{0}<0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big )}}$ ${\displaystyle D_{0}<0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p}}{\big )}}$ ${\displaystyle D_{0}<0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )}}$ ${\displaystyle \chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1}$ ${\displaystyle \lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1}$

Además, se obtuvo el siguiente resultado: Sea q un número primo impar, k y p son primos tales que p = 2 k + 1, k ≡ 3 (mod 4), p ≡ −1 (mod q ), p ≢ −1 (mod q ³ ) y el orden de q módulo k es . Supóngase que q divide a h ⁺ , el número de clase del cuerpo ciclotómico real , el cuerpo ciclotómico obtenido al adjuntar la suma de una raíz p -ésima de la unidad y su recíproco al cuerpo de los números racionales. Entonces q es un primo de Wieferich. ^{[52] : 55} Esto también se cumple si las condiciones p ≡ −1 (mod q ) y p ≢ −1 (mod q ³ ) se reemplazan por p ≡ −3 (mod q ) y p ≢ −3 (mod q ³ ) así como cuando la condición p ≡ −1 (mod q ) se reemplaza por p ≡ −5 (mod q ) (en cuyo caso q es un primo Wall–Sun–Sun ) y la condición de incongruencia se reemplaza por p ≢ −5 (mod q ³ ) . ^{[53] : 376} ${\displaystyle {\tfrac {k-1}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}\zeta \,\!_{p}+\zeta \,\!_{p}^{-1}{\big )}}$

Generalizaciones

Primos cercanos a Wieferich

Un primo p que satisface la congruencia 2 ^{( p −1)/2} ≡ ±1 +  Ap (mod p ² ) con | A | pequeño se denomina comúnmente primo casi-Wieferich (secuencia A195988 en la OEIS ). ^{[28] [54]} Los primos casi-Wieferich con A = 0 representan primos de Wieferich. Las búsquedas recientes, además de su búsqueda principal de primos de Wieferich, también intentaron encontrar primos casi-Wieferich. ^{[23] [55]} La siguiente tabla enumera todos los primos casi-Wieferich con | A | ≤ 10 en el intervalo [1 × 10⁹ , 3 × 10¹⁵ ]. ^[56] Este límite de búsqueda se alcanzó en 2006 en un esfuerzo de búsqueda de P. Carlisle, R. Crandall y M. Rodenkirch. ^{[22] [57]} Las entradas más grandes son de PrimeGrid.

El signo +1 o -1 anterior se puede predecir fácilmente mediante el criterio de Euler (y el segundo suplemento de la ley de reciprocidad cuadrática ).

Dorais y Klyve ^[23] utilizaron una definición diferente de un primo cercano a Wieferich, definiéndolo como un primo p con un valor pequeño de donde es el cociente de Fermat de 2 con respecto a p módulo p (la operación de módulo aquí da el residuo con el valor absoluto más pequeño). La siguiente tabla enumera todos los primos p ≤ 6,7 × 10 ¹⁵ con . ${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|}$ ${\displaystyle \omega (p)={\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p}$ ${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|\leq 10^{-14}}$

Las dos nociones de proximidad están relacionadas de la siguiente manera. Si , entonces, elevando al cuadrado, claramente . Por lo tanto, si se hubiera elegido A con pequeño, entonces claramente también es (bastante) pequeño y un número par. Sin embargo, cuando es impar arriba, el A relacionado de antes del último elevamiento al cuadrado no era "pequeño". Por ejemplo, con , tenemos que se lee extremadamente no cercano, pero después de elevar al cuadrado esto es que es un cercano-Wieferich según la segunda definición. ${\displaystyle 2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}}$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1\pm 2Ap{\pmod {p^{2}}}}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle |\!\pm 2A|=2|A|}$ ${\displaystyle \omega (p)}$ ${\displaystyle p=3167939147662997}$ ${\displaystyle 2^{(p-1)/2}\equiv -1-1583969573831490p{\pmod {p^{2}}}}$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1-17p{\pmod {p^{2}}}}$

Base-aPrimos de Wieferich

Un primo de Wieferich base a es un primo p que satisface

a ^{p  − 1}  ≡ 1 (mod  p ² ) , ^[8] con a menor que p pero mayor que 1.

Un número primo así no puede dividir a , ya que entonces también dividiría a 1.

Es una conjetura que para cada número natural a , hay infinitos primos de Wieferich en base a .

Bolyai demostró que si p y q son primos, a es un entero positivo no divisible por p y q tal que a ^{p −1} ≡ 1 (mod q ) , a ^{q −1} ≡ 1 (mod p ) , entonces a ^{pq −1} ≡ 1 (mod pq ) . Fijando p = q lleva a a ^{p 2 −1} ≡ 1 (mod p ² ) . ^{[58] : 284} Se demostró que a ^{p 2 −1} ≡ 1 (mod p ² ) si y solo si a ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² ) . ^{[58] : 285–286}

Las soluciones conocidas de a ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² ) para valores pequeños de a son: ^[59] (verificada hasta 5 × 10 ¹³ )

Para obtener más información, consulte ^{[60] [61] [62]} y ^[63] (Tenga en cuenta que las soluciones de a = b ^k son la unión de los divisores primos de k que no dividen a b y las soluciones de a = b )

Las soluciones más pequeñas de n ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² ) son

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (El siguiente término > 4,9×10 ¹³ ) (secuencia A039951 en la OEIS )

No hay soluciones conocidas de n ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² ) para n = 47, 72, 186, 187, 200, 203, 222, 231, 304, 311, 335, 355, 435, 454, 546, 554, 610, 639, 662, 760, 772, 798, 808, 812, 858, 860, 871, 983, 986, 1002, 1023, 1130, 1136, 1138, ....

Es una conjetura que hay infinitas soluciones de a ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² ) para cada número natural a .

Las bases b < p ² donde p es un primo de Wieferich son (para b > p ² , las soluciones simplemente se desplazan por k · p ² para k > 0), y hay p  − 1 soluciones < p ² de p y el conjunto de las soluciones congruentes con p son {1, 2, 3, ..., p  − 1}) (secuencia A143548 en la OEIS )

El número primo de base menor b > 1 cuyo primo( n ) es un primo de Wieferich es

5, 8, 7, 18, 3, 19, 38, 28, 28, 14, 115, 18, 51, 19, 53, 338, 53, 264, 143, 11, 306, 31, 99, 184, 53, 181, 43, 164, 96, 68, 38, 58, 19, 328, 313, 78, 226, 65, 253, 259, 532, 78, 176, 276, 143, 174, 165, 69, 330, 44, 33, 332, 94, 263, 48, 79, 171, 747, 731, 20, ... (secuencia A039678 en la OEIS )

También podemos considerar la fórmula , (debido al pequeño teorema de Fermat generalizado, es verdadera para todos los primos p y todos los números naturales a tales que tanto a como a  + 1 no son divisibles por p ). Es una conjetura que para cada número natural a , hay infinitos primos tales que . ${\displaystyle (a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$ ${\displaystyle (a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$ ${\displaystyle (a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$

Las soluciones conocidas para a pequeñas son: (verificadas hasta 4 × 10 ¹¹ ) ^[64]

Pares de Wieferich

Un par de Wieferich es un par de primos p y q que satisfacen

p ^{q − 1} ≡ 1 (mod q ² ) y q ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² )

de modo que un primo de Wieferich p ≡ 1 (mod 4) formará dicho par ( p , 2): la única instancia conocida en este caso es p  = 1093 . Solo hay 7 pares de Wieferich conocidos. ^[65]

(2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) y (2903, 18787) (secuencia OEIS : A282293 en OEIS )

Secuencia de Wieferich

Comience con a(1) cualquier número natural (>1), a( n ) = el primo más pequeño p tal que (a( n − 1)) ^{p − 1} = 1 (mod p ² ) pero p ² no divide a( n − 1) − 1 o a( n − 1) + 1. (Si p ² divide a( n − 1) − 1 o a( n − 1) + 1, entonces la solución es una solución trivial ) Es una conjetura que cada número natural k = a(1) > 1 hace que esta secuencia se vuelva periódica, por ejemplo, sea a(1) = 2:

2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., obtiene un ciclo: {5, 20771, 18043}.

(secuencia A359952 en la OEIS )

Sea a(1) = 83:

83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., se obtiene un ciclo: {83, 4871}.

Sea a(1) = 59 (una secuencia más larga):

59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ..., también obtiene 5.

Sin embargo, hay muchos valores de a(1) con estado desconocido, por ejemplo, sea a(1) = 3:

3, 11, 71, 47, ? (No se conocen primos de Wieferich en base 47).

Sea a(1) = 14:

14, 29, ? (No se conocen primos de Wieferich en base 29 excepto 2, pero 2 ² = 4 divide a 29 − 1 = 28)

Sea a(1) = 39 (una secuencia más larga):

39, 8039, 617, 101, 1050139, 29, ? (También obtiene 29)

Se desconoce que existan valores para a(1) > 1 tales que la secuencia resultante no llegue a ser periódica.

Cuando a( n − 1)= k , a( n ) será (comienza con k = 2): 1093, 11, 1093, 20771, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 7, 281, ?, 13, 13, 25633, 20771, 71, 11, 19, ?, 7, 7, 5, 233, 46145917691, 1613, 66161, 77867, 17, 8039, 11, 29, 23, 5, 229, 1283, 829, ?, 257, 491531, ?, ... (Para k = 21, 29, 47, 50, incluso el siguiente valor es desconocido)

Números de Wieferich

Un número de Wieferich es un número natural impar n que satisface la congruencia 2 ^{φ ( n )} ≡ 1 (mod n ² ), donde φ denota la función totiente de Euler (según el teorema de Euler , 2 ^{φ ( n )} ≡ 1 (mod n ) para cada número natural impar n ). Si el número de Wieferich n es primo, entonces es un primo de Wieferich. Los primeros números de Wieferich son:

1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, ... (secuencia A077816 en la OEIS )

Se puede demostrar que si sólo hay un número finito de primos de Wieferich, entonces sólo hay un número finito de números de Wieferich. En particular, si los únicos primos de Wieferich son 1093 y 3511, entonces existen exactamente 104 números de Wieferich, lo que coincide con el número de números de Wieferich conocidos actualmente. ^[2]

De manera más general, un número natural n es un número de Wieferich en base a , si a ^{φ ( n )} ≡ 1 (mod n ² ). ^{[66] : 31}

Otra definición especifica un número de Wieferich como un número natural impar n tal que n y no son coprimos , donde m es el orden multiplicativo de 2 módulo n . Los primeros de estos números son: ^[67] ${\displaystyle {\tfrac {2^{m}-1}{n}}}$

21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, 195, 201, 203, 205, 219, 231, 237, 253, 273, 285, 291, 301, 305, 309, 327, 333, 355, 357, 385, 399, ... (secuencia A182297 en la OEIS )

Como se indicó anteriormente, si el número de Wieferich q es primo, entonces es un primo de Wieferich.

Débil Wieferich prime

Un primo débil de Wieferich en base a es un primo p que satisface la condición

a ^p ≡ a (mód p ² )

Todo primo de Wieferich en base a es también un primo débil de Wieferich en base a . Si la base a es libre de cuadrados , entonces un primo p es un primo débil de Wieferich en base a si y solo si p es un primo de Wieferich en base a .

Los primos de Wieferich débiles más pequeños en base n son (comienzan con n = 0)

2, 2, 1093, 11, 2, 2, 66161, 5, 2, 2, 3, 71, 2, 2, 29, 29131, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 13, 13, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 7, 7, 2, 2, 46145917691, 3, 2, 2, 17, 8039, 2, 2, 23, 5, 2, 2, 3, ...

Wieferich prime con ordennorte

Para un entero n ≥2, un primo de Wieferich en base a con orden n es un primo p que satisface la condición

a ^{p −1} ≡ 1 (mód p ⁿ )

Claramente, un primo de Wieferich en base a con orden n es también un primo de Wieferich en base a con orden m para todo 2 ≤ m ≤ n , y un primo de Wieferich en base a con orden 2 es equivalente a un primo de Wieferich en base a , por lo que solo podemos considerar el caso n ≥ 3. Sin embargo, no hay ningún primo de Wieferich en base 2 conocido con orden 3. El primer primo de Wieferich conocido con orden 3 es 9, donde 2 es un primo de Wieferich en base 9 con orden 3. Además, tanto 5 como 113 son primos de Wieferich en base 68 con orden 3.

Primos de Lucas-Wieferich

Sean P y Q números enteros. La sucesión de Lucas de primera especie asociada al par ( P , Q ) está definida por

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\end{aligned}}}$

para todos . Un primo de Lucas–Wieferich asociado con ( P , Q ) es un primo p tal que U _{p − ε} ( P , Q ) ≡ 0 (mod p ² ), donde ε es igual al símbolo de Legendre . Todos los primos de Wieferich son primos de Lucas–Wieferich asociados con el par (3, 2). ^{[3] : 2088} ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {P^{2}-4Q}{p}}\right)}$

Lugares Wieferich

Sea K un cuerpo global , es decir, un cuerpo numérico o un cuerpo funcional en una variable sobre un cuerpo finito , y sea E una curva elíptica . Si v es un lugar no arquimediano de norma q _v de K y a ∈ K, con v ( a ) = 0, entonces v (a ^{q _v  − 1}  − 1) ≥ 1. v se denomina lugar de Wieferich para la base a , si v (a ^{q _v  − 1}  − 1) > 1, lugar de Wieferich elíptico para la base P ∈ E , si N _v P ∈ E ₂ y lugar de Wieferich elíptico fuerte para la base P ∈ E si n _v P ∈ E ₂ , donde n _v es el orden de P módulo v y N _v da el número de puntos racionales (sobre el cuerpo de residuos de v ) de la reducción de E en v . ^{[68] : 206}

Véase también

• Número primo Wall–Sun–Sun : otro tipo de número primo que en el sentido más amplio también resultó del estudio de FLT
• Número primo de Wolstenholme : otro tipo de número primo que, en el sentido más amplio, también resultó del estudio de FLT
• Wilson primo
• Tabla de congruencias : enumera otras congruencias satisfechas por los números primos
• PrimeGrid – proyecto de búsqueda de números primos
• BOINC
• Computación distribuida

Referencias

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• Ribenboim, P. (1996), El nuevo libro de registros de números primos, Nueva York: Springer-Verlag, pp. 333–346, ISBN 978-0-387-94457-9

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Wieferich principal". MundoMatemático .
• Cocientes de Fermat/Euler (ap−1 − 1)/pk con k arbitrario
• Una nota sobre los dos primos de Wieferich conocidos
• Página del proyecto Wieferich Prime Search de PrimeGrid