En teoría de números , los números amigos son dos o más números naturales con un índice de abundancia común , la relación entre la suma de los divisores de un número y el número en sí. Dos números con la misma "abundancia" forman un par amigo ; n números con la misma abundancia forman una n -tupla amiga .
Ser mutuamente amigable es una relación de equivalencia , y por lo tanto induce una partición de los naturales positivos en clubes ( clases de equivalencia ) de números mutuamente amigables.
Un número que no forma parte de ningún par amigo se llama solitario .
El índice de abundancia de n es el número racional σ( n ) / n , donde σ denota la función suma de divisores . Un número n es un número amigable si existe m ≠ n tal que σ( m ) / m = σ( n ) / n . Abundancia no es lo mismo que abundancia , que se define como σ( n ) − 2 n .
La abundancia también puede expresarse como donde denota una función divisora con igual a la suma de las k -ésimas potencias de los divisores de n .
Los números del 1 al 5 son todos solitarios. El número amigo más pequeño es el 6, formando por ejemplo el par amigo 6 y 28 con abundancia σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, lo mismo que σ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2. El valor compartido 2 es un entero en este caso pero no en muchos otros casos. Los números con abundancia 2 también se conocen como números perfectos . Hay varios problemas sin resolver relacionados con los números amigos.
A pesar de la similitud en el nombre, no existe una relación específica entre los números amigos y los números amigables o los números sociables , aunque las definiciones de estos dos últimos también involucran la función divisor.
Como otro ejemplo, 30 y 140 forman un par amistoso, porque 30 y 140 tienen la misma abundancia: [1]
Los números 2480, 6200 y 40640 también son miembros de este club, ya que cada uno tiene una abundancia igual a 12/5.
Como ejemplo de números impares que son amigos, considere 135 y 819 (abundancia 16/9 ( deficiente )). También hay casos de números pares que son amigos de números impares, como 42, 3472, 56896, ... (secuencia A347169 en la OEIS ) y 544635 (abundancia de 16/7). El amigo impar puede ser menor que el par, como en 84729645 y 155315394 (abundancia de 896/351), o en 6517665, 14705145 y 2746713837618 (abundancia de 64/27).
Un número cuadrado puede ser amigable, por ejemplo, tanto 693479556 (el cuadrado de 26334) como 8640 tienen abundancia 127/36 (este ejemplo se atribuye a Dean Hickerson).
En la tabla siguiente, los números azules son amigables (secuencia A074902 en la OEIS ), los números rojos son solitarios (secuencia A095739 en la OEIS ), los números n tales que n y son coprimos (secuencia A014567 en la OEIS ) se dejan sin colorear, aunque se sabe que son solitarios. Otros números tienen un estado desconocido y son amarillos.
Un número que pertenece a un club de singleton, porque ningún otro número es amigable con él, es un número solitario. Se sabe que todos los números primos son solitarios, al igual que las potencias de números primos. De manera más general, si los números n y σ( n ) son coprimos , lo que significa que el máximo común divisor de estos números es 1, de modo que σ( n )/ n es una fracción irreducible, entonces el número n es solitario (secuencia A014567 en la OEIS ). Para un número primo p tenemos σ( p ) = p + 1, que es coprimo con p .
No se conoce ningún método general para determinar si un número es amigo o solitario. El número más pequeño cuya clasificación se desconoce es 10; se supone que es solitario. Si no lo es, su amigo más pequeño es al menos . [2] [3] Existen números pequeños con un amigo más pequeño relativamente grande: por ejemplo, 24 es amigo, y su amigo más pequeño es 91.963.648. [2] [3]
Es un problema abierto si existen clubes infinitamente grandes de números mutuamente amigos. Los números perfectos forman un club, y se conjetura que existen infinitos números perfectos (al menos tantos como primos de Mersenne ), pero no se conoce ninguna prueba. Hay clubes con más miembros conocidos: en particular, aquellos formados por números multiperfectos , que son números cuya abundancia es un entero. Aunque se sabe que algunos son bastante grandes, se conjetura que los clubes de números multiperfectos (excluyendo los números perfectos mismos) son finitos.
Cada par a , b de números amigos da lugar a una proporción positiva de todos los números naturales que son amigos (pero en diferentes clubes), al considerar pares na , nb para multiplicadores n con mcd ( n , ab ) = 1. Por ejemplo, el par amigo "primitivo" 6 y 28 da lugar a pares amigos 6 n y 28 n para todos los n que son congruentes con 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 o 41 módulo 42. [4]
Esto demuestra que la densidad natural de los números amigos (si existe) es positiva.
Anderson y Hickerson propusieron que la densidad debería ser de hecho 1 (o equivalentemente, que la densidad de los números solitarios debería ser 0). [4] Según el artículo de MathWorld sobre números solitarios (ver la sección de Referencias a continuación), esta conjetura no ha sido resuelta, aunque Pomerance pensó en un momento que la había refutado.
