En matemáticas , un número multiplicativo perfecto (también llamado número multiperfecto o número pluscuamperfecto ) es una generalización de un número perfecto .
Para un número natural dado k , un número n se llama k -perfecto (o k -plegablemente perfecto) si la suma de todos los divisores positivos de n (la función divisor , σ ( n )) es igual a kn ; un número es, por tanto, perfecto si y solo si es 2-perfecto . Un número que es k -perfecto para un cierto k se llama número multi-perfecto. A partir de 2014, se conocen números k - perfectos para cada valor de k hasta 11. [1]
Se desconoce si existen otros números perfectos multiplicativos impares además del 1. Los primeros números perfectos multiplicativos son:
Para un número primo dado p , si n es p -perfecto y p no divide a n , entonces pn es ( p + 1)-perfecto . Esto implica que un entero n es un número 3-perfecto divisible por 2 pero no por 4, si y solo si n /2 es un número perfecto impar , de los cuales no se conoce ninguno.
Si 3 n es 4 k -perfecto y 3 no divide a n , entonces n es 3 k -perfecto .
Números perfectos multiplicados por impares
Se desconoce si existen otros números perfectos múltiples impares distintos de 1. Sin embargo, si existe un número k -perfecto impar n donde k > 2, entonces debe satisfacer las siguientes condiciones: [2]
El factor primo más grande es ≥ 100129
El segundo factor primo más grande es ≥ 1009
El tercer factor primo más grande es ≥ 101
Límites
En notación o minúscula , el número de números perfectos múltiples menores que x es para todos ε > 0. [2]
El número de números k -perfectos n para n ≤ x es menor que , donde c y c' son constantes independientes de k . [2]
Bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann , la siguiente desigualdad es verdadera para todos los k - números perfectos n , donde k > 3
Si los factores primos distintos de n son , entonces: [4]
Valores específicos dea
Números perfectos
Un número n con σ( n ) = 2 n es perfecto .
Números triperfectos
Un número n con σ( n ) = 3 n es triperfecto . Solo se conocen seis números triperfectos y se cree que estos comprenden todos esos números:
120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 (secuencia A005820 en la OEIS )
Si existe un número perfecto impar m (un famoso problema abierto ), entonces 2 m sería 3-perfecto , ya que σ(2 m ) = σ(2) σ( m ) = 3×2 m . Un número triperfecto impar debe ser un número cuadrado mayor que 10 70 y tener al menos 12 factores primos distintos, siendo el mayor mayor que 10 5. [5 ]
Un número unitario multiperfecto es simplemente un número unitario multi k -perfecto para algún entero positivo k . Equivalentemente, los números unitarios multiperfectos son aquellos n para los cuales n divide a σ * ( n ). Un número unitario multi 2-perfecto se llama naturalmente un número unitario perfecto . En el caso de k > 2, todavía no se conoce ningún ejemplo de un número unitario multi k -perfecto . Se sabe que si tal número existe, debe ser par y mayor que 10 102 y debe tener más de cuarenta y cuatro factores primos impares. Este problema es probablemente muy difícil de resolver. El concepto de divisor unitario se debió originalmente a R. Vaidyanathaswamy (1931) quien llamó a dicho divisor factor de bloque. La terminología actual se debe a E. Cohen (1960).
Los primeros números perfectos unitarios multiplicativos son:
1, 6, 60, 90, 87360 (secuencia A327158 en la OEIS )
Números perfectos multiplicativos biunitarios
Un entero positivo n se denomina número bi-unitario multi k -perfecto si σ ** ( n ) = kn donde σ ** ( n ) es la suma de sus divisores bi-unitarios . Este concepto se debe a Peter Hagis (1987). Un número bi-unitario multi perfecto es simplemente un número bi-unitario multi k -perfecto para algún entero positivo k . De manera equivalente, los números bi-unitarios multi perfectos son aquellos n para los cuales n divide a σ ** ( n ). Un número bi-unitario multi 2-perfecto se denomina naturalmente número bi-unitario perfecto , y un número bi-unitario multi 3-perfecto se denomina número bi-unitario triperfecto .
Un divisor d de un entero positivo n se denomina divisor biunitario de n si el máximo común divisor unitario (mcd) de d y n / d es igual a 1. Este concepto se debe a D. Surynarayana (1972). La suma de los divisores biunitarios (positivos) de n se denota por σ ** ( n ).
Peter Hagis (1987) demostró que no existen números multiperfectos biunitarios impares distintos de 1. Haukkanen y Sitaramaiah (2020) encontraron todos los números triperfectos biunitarios de la forma 2 a u donde 1 ≤ a ≤ 6 y u es impar, [6] [7] [8] y parcialmente el caso donde a = 7. [9] [10]
Además, arreglaron completamente el caso a = 8. [11]
Los primeros números perfectos multiplicativos biunitarios son:
1, 6, 60, 90, 120, 672, 2160, 10080, 22848, 30240 (secuencia A189000 en la OEIS )
Referencias
^ abcde Flammenkamp, Achim. "La página de multiplicación de números perfectos" . Consultado el 22 de enero de 2014 .
^ abc Sándor, Mitrinović y Crstici 2006, p. 105
^ Dagal, Keneth Adrian P. (2013). "Un límite inferior para τ(n) para un número k-multiperfecto". arXiv : 1309.3527 [math.NT].
^ ab Sándor, Mitrinović y Crstici 2006, p. 106
^ Sándor, Mitrinović y Crstici 2006, págs. 108-109
^ Haukkanen y Sitaramaiah 2020a
^ Haukkanen y Sitaramaiah 2020b
^ Haukkanen y Sitaramaiah 2020c
^ Haukkanen y Sitaramaiah 2020d
^ Haukkanen y Sitaramaiah 2021a
^ Haukkanen y Sitaramaiah 2021b
Fuentes
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Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020a). "Números multiperfectos biunitarios, I" (PDF) . Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas . 26 (1): 93–171. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.1.93-171 .
Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020b). "Números multiperfectos biunitarios, II" (PDF) . Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas . 26 (2): 1–26. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.2.1-26 .
Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020c). "Números multiperfectos biunitarios, III" (PDF) . Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas . 26 (3): 33–67. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.3.33-67 .
Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2020d). "Números multiperfectos biunitarios, IV(a)" (PDF) . Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas . 26 (4): 2–32. doi : 10.7546/nntdm.2020.26.4.2-32 .
Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2021a). "Números multiperfectos biunitarios, IV(b)" (PDF) . Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas . 27 (1): 45–69. doi : 10.7546/nntdm.2021.27.1.45-69 .
Haukkanen, Pentti; Sitaramaiah, V. (2021b). "Números multiperfectos biunitarios, V" (PDF) . Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas . 27 (2): 20–40. doi : 10.7546/nntdm.2021.27.2.20-40 .
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![{\displaystyle r\left({\sqrt[{r}]{3/2}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{6/k^{2}}}\right),~~{\text{si }}n{\text{ es par}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413cf0a0d2e58457c15f88760e2022db99e6660c)
![{\displaystyle r\left({\sqrt[{3r}]{k^{2}}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{8/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{si }}n{\text{ es impar}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14ab363496c148721680c431a26a3db3dfc267a)