En matemáticas , la teoría de invariantes geométricas (o GIT ) es un método para construir cocientes mediante acciones grupales en geometría algebraica , utilizado para construir espacios de módulos . Fue desarrollado por David Mumford en 1965, utilizando ideas del artículo (Hilbert 1893) sobre la teoría invariante clásica .
La teoría de invariantes geométricas estudia la acción de un grupo G sobre una variedad (o esquema ) algebraica X y proporciona técnicas para formar el "cociente" de X por G como un esquema con propiedades razonables. Una motivación fue construir espacios de módulos en geometría algebraica como cocientes de esquemas que parametrizan objetos marcados. En las décadas de 1970 y 1980, la teoría desarrolló interacciones con la geometría simpléctica y la topología equivariante , y se utilizó para construir espacios de módulos de objetos en geometría diferencial , como instantones y monopolos .
La teoría invariante se ocupa de una acción grupal de un grupo G sobre una variedad algebraica (o un esquema ) X. La teoría invariante clásica aborda la situación cuando X = V es un espacio vectorial y G es un grupo finito o uno de los grupos de Lie clásicos que actúa linealmente sobre V. Esta acción induce una acción lineal de G en el espacio de funciones polinómicas R ( V ) en V mediante la fórmula
Los invariantes polinomiales de la acción G sobre V son aquellas funciones polinómicas f sobre V que se fijan bajo el 'cambio de variables' debido a la acción del grupo, de modo que g · f = f para todo G en G . Forman un álgebra conmutativa A = R ( V ) G , y esta álgebra se interpreta como el álgebra de funciones sobre el ' cociente de teoría invariante ' V // G porque cualquiera de estas funciones da el mismo valor para todos los puntos que son equivalentes (es decir, f ( v ) = f ( gv ) para todo g ). En el lenguaje de la geometría algebraica moderna ,
De esta descripción surgen varias dificultades. El primero, abordado con éxito por Hilbert en el caso de un grupo lineal general , es demostrar que el álgebra A es finitamente generada. Esto es necesario si se quisiera que el cociente fuera una variedad algebraica afín . Si un hecho similar es válido para grupos arbitrarios G fue el tema del decimocuarto problema de Hilbert , y Nagata demostró que la respuesta era negativa en general. Por otro lado, en el curso del desarrollo de la teoría de la representación en la primera mitad del siglo XX, se identificó una gran clase de grupos para los cuales la respuesta es positiva; estos se llaman grupos reductivos e incluyen todos los grupos finitos y todos los grupos clásicos .
La generación finita del álgebra A no es más que el primer paso hacia la descripción completa de A , y el progreso en la resolución de esta cuestión más delicada fue bastante modesto. Clásicamente, las invariantes se habían descrito sólo en una gama restringida de situaciones, y la complejidad de esta descripción más allá de los primeros casos ofrecía pocas esperanzas de una comprensión completa de las álgebras de invariantes en general. Además, puede suceder que cualquier invariante polinomial f tome el mismo valor en un par dado de puntos u y v en V , pero estos puntos estén en diferentes órbitas de la acción G. Un ejemplo sencillo lo proporciona el grupo multiplicativo C * de números complejos distintos de cero que actúa sobre un espacio vectorial complejo de n dimensiones C n mediante multiplicación escalar. En este caso, cada invariante polinomial es una constante, pero hay muchas órbitas diferentes de la acción. El vector cero forma una órbita por sí mismo, y los múltiplos distintos de cero de cualquier vector distinto de cero forman una órbita, de modo que las órbitas distintas de cero están parametrizadas por los puntos del espacio proyectivo complejo CP n –1 . Si esto sucede (diferentes órbitas tienen los mismos valores de función), se dice que "las invariantes no separan las órbitas", y el álgebra A refleja el cociente topológico del espacio X / G de manera bastante imperfecta. De hecho, este último espacio, con la topología del cociente , frecuentemente no está separado (no es de Hausdorff ). (Este es el caso de nuestro ejemplo: la órbita nula no está abierta porque cualquier vecindad del vector nulo contiene puntos en todas las demás órbitas, por lo que en la topología del cociente cualquier vecindad de la órbita nula contiene todas las demás órbitas). En 1893, Hilbert formuló y demostró ser un criterio para determinar aquellas órbitas que no están separadas de la órbita cero por polinomios invariantes. Sorprendentemente, a diferencia de su trabajo anterior en teoría invariante, que condujo al rápido desarrollo del álgebra abstracta , este resultado de Hilbert siguió siendo poco conocido y poco utilizado durante los siguientes 70 años. Gran parte del desarrollo de la teoría de invariantes en la primera mitad del siglo XX tuvo que ver con cálculos explícitos con invariantes y, en cualquier caso, siguió la lógica del álgebra más que la geometría.
La teoría invariante geométrica fue fundada y desarrollada por Mumford en una monografía, publicada por primera vez en 1965, que aplicaba ideas de la teoría invariante del siglo XIX, incluidos algunos resultados de Hilbert , a cuestiones de geometría algebraica moderna. (El libro se amplió enormemente en dos ediciones posteriores, con apéndices adicionales de Fogarty y Mumford, y un capítulo sobre cocientes simplécticos de Kirwan). El libro utiliza tanto la teoría de esquemas como técnicas computacionales disponibles en ejemplos. El escenario abstracto utilizado es el de una acción grupal sobre un esquema X. La idea simplista de un espacio orbital
es decir, el espacio cociente de X por la acción grupal, tropieza con dificultades en geometría algebraica, por razones que son explicables en términos abstractos. De hecho, no existe ninguna razón general por la cual las relaciones de equivalencia deban interactuar bien con las funciones regulares (más bien rígidas) (funciones polinómicas), que están en el corazón de la geometría algebraica. Las funciones en el espacio orbital G \ X que deben considerarse son aquellas en X que son invariantes bajo la acción de G. El enfoque directo se puede realizar mediante el campo funcional de una variedad (es decir, funciones racionales ): tome las funciones racionales G -invariantes sobre ella, como el campo funcional de la variedad cociente . Lamentablemente, esto (el punto de vista de la geometría biracional ) sólo puede dar una primera aproximación a la respuesta. Como dijo Mumford en el prefacio del libro:
El problema es que, dentro del conjunto de todos los modelos de la clase biracional resultante, hay un modelo cuyos puntos geométricos clasifican el conjunto de órbitas en alguna acción, o el conjunto de objetos algebraicos en algún problema de módulos.
En el Capítulo 5 aísla aún más el problema técnico específico abordado, en un problema de módulos de tipo bastante clásico: clasificar el gran "conjunto" de todas las variedades algebraicas sujetas únicamente a ser no singulares (y una condición requerida para la polarización). Se supone que los módulos describen el espacio de parámetros. Por ejemplo, para las curvas algebraicas se sabe desde la época de Riemann que deben haber componentes conexos de las dimensiones.
según el género g = 0, 1, 2, 3, 4,… , y los módulos son funciones de cada componente. En el problema de módulos gruesos, Mumford considera que las obstrucciones son:
Es el tercer punto que motivó toda la teoría. Como dice Mumford, si se resuelven las dos primeras dificultades
[la tercera pregunta] se vuelve esencialmente equivalente a la pregunta de si existe un espacio orbital de algún subconjunto localmente cerrado de los esquemas de Hilbert o Chow por el grupo proyectivo .
Para abordar esto introdujo una noción (en realidad tres) de estabilidad . Esto le permitió abrir un área antes traicionera: se había escrito mucho, en particular por Francesco Severi , pero los métodos de la literatura tenían limitaciones. El punto de vista biracional puede permitirse el lujo de ser descuidado con los subconjuntos de la codimensión 1. Tener un espacio de módulos como esquema es, por un lado, una cuestión de caracterizar los esquemas como functores representables (como lo vería la escuela de Grothendieck ); pero geométricamente se trata más bien de una cuestión de compactación , como revelaron los criterios de estabilidad. La restricción a variedades no singulares no conducirá a un espacio compacto en ningún sentido como espacio de módulos: las variedades pueden degenerar y tener singularidades. Por otro lado, los puntos que corresponderían a variedades muy singulares son definitivamente demasiado "malos" para incluirlos en la respuesta. El trabajo de Mumford aisló el punto medio correcto, de puntos lo suficientemente estables como para ser admitidos. El concepto no era del todo nuevo, ya que ciertos aspectos del mismo se encontraban en las ideas finales de David Hilbert sobre la teoría invariante, antes de pasar a otros campos.
El prefacio del libro también enunció la conjetura de Mumford , demostrada posteriormente por William Haboush .
Si un grupo reductor G actúa linealmente sobre un espacio vectorial V , entonces un punto distinto de cero de V se llama
Hay formas equivalentes de expresarlos (este criterio se conoce como criterio de Hilbert-Mumford ):
Un punto del espacio proyectivo correspondiente de V se llama inestable, semiestable o estable si es imagen de un punto en V con la misma propiedad. "Inestable" es lo opuesto a "semiestable" (no "estable"). Los puntos inestables forman un conjunto cerrado de espacio proyectivo de Zariski, mientras que los puntos semiestables y estables forman conjuntos abiertos de Zariski (posiblemente vacíos). Estas definiciones provienen de (Mumford 1977) y no son equivalentes a las de la primera edición del libro de Mumford.
Muchos espacios de módulos pueden construirse como cocientes del espacio de puntos estables de algún subconjunto de espacio proyectivo mediante alguna acción grupal. Estos espacios a menudo se pueden compactar agregando ciertas clases de equivalencia de puntos semiestables. Diferentes órbitas estables corresponden a diferentes puntos del cociente, pero dos órbitas semiestables diferentes pueden corresponder al mismo punto del cociente si sus cierres se cruzan.
Ejemplo: (Deligne & Mumford 1969) Una curva estable es una curva conectada reducida de género ≥2 tal que sus únicas singularidades son puntos dobles ordinarios y cada componente racional no singular se encuentra con los otros componentes en al menos 3 puntos. El espacio de módulos de curvas estables del género G es el cociente de un subconjunto del esquema de curvas de Hilbert en P 5 g –6 con el polinomio de Hilbert (6 n – 1)( g – 1) por el grupo PGL 5 g –5 .
Ejemplo: Un paquete de vectores W sobre una curva algebraica (o sobre una superficie de Riemann ) es un paquete de vectores estable si y solo si
para todos los subpaquetes V de W adecuados distintos de cero y es semiestable si esta condición se cumple con < reemplazado por ≤.
