Estas condiciones de estabilidad fueron introducidas en una forma rudimentaria por Michael Douglas llamada -estabilidad y utilizadas para estudiar las B-branas BPS en teoría de cuerdas. [1] Este concepto fue preciso por Bridgeland, quien expresó categóricamente estas condiciones de estabilidad e inició su estudio matemáticamente. [2]
Definición
Las definiciones de esta sección se presentan como en el artículo original de Bridgeland, para categorías trianguladas arbitrarias. [2] Sea una categoría triangulada.
División de categorías trianguladas
Una porción de es una colección de subcategorías aditivas completas para cada una de las cuales
para todos , ¿dónde está el functor de desplazamiento en la categoría triangulada?
si y y , entonces , y
Para cada objeto existe una secuencia finita de números reales y una colección de triángulos.
con para todos .
Se debe considerar que la última propiedad impone axiomáticamente la existencia de filtraciones de Harder-Narasimhan en elementos de la categoría .
Condiciones de estabilidad
Una condición de estabilidad de Bridgeland en una categoría triangulada es un par que consta de un corte y un homomorfismo de grupo , donde está el grupo de Grothendieck , llamado carga central , que satisface
si entonces para algún número real estrictamente positivo .
Es una convención asumir que la categoría es esencialmente pequeña , de modo que la colección de todas las condiciones de estabilidad forma un conjunto . En buenas circunstancias, por ejemplo, cuando la categoría derivada de haces coherentes en una variedad compleja , este conjunto en realidad tiene la estructura de una variedad compleja en sí misma.
Observaciones técnicas sobre la condición de estabilidad.
Bridgeland muestra que los datos de una condición de estabilidad de Bridgeland equivalen a especificar una estructura t acotada en la categoría y una carga central en el corazón de esta estructura t que satisface la propiedad de Harder-Narasimhan anterior. [2]
Un elemento es semiestable (resp. estable ) con respecto a la condición de estabilidad si para cada sobreyección para , tenemos dónde y de manera similar para .
Ejemplos
De la filtración de Harder-Narasimhan
Recuerde la filtración de Harder-Narasimhan para una curva proyectiva suave implica que para cualquier haz coherente hay una filtración
tal que los factores tengan pendiente . Podemos extender esta filtración a un complejo acotado de gavillas considerando la filtración en las gavillas de cohomología y definiendo la pendiente de , dando una función
para el cargo central.
Curvas elípticas
Existe un análisis de Bridgeland para el caso de las curvas elípticas. Encuentra [2] [3] que hay una equivalencia
donde es el conjunto de condiciones de estabilidad y es el conjunto de autoequivalencias de la categoría derivada .
Referencias
^ Douglas, MR, Fiol, B. y Römelsberger, C., 2005. Estabilidad y branas BPS. Revista de Física de Altas Energías, 2005(09), pág. 006.
^ abcd Bridgeland, Tom (8 de febrero de 2006). "Condiciones de estabilidad en categorías trianguladas". arXiv : matemáticas/0212237 .
^ Uehara, Hokuto (18 de noviembre de 2015). "Autoequivalencias de categorías derivadas de superficies elípticas con dimensión Kodaira distinta de cero". págs. 10-12. arXiv : 1501.06657 [matemáticas.AG].
Documentos
Condiciones de estabilidad en singularidades A norte {\ Displaystyle A_ {n}}
Interacciones entre autoequivalencias, condiciones de estabilidad y problemas de módulos.