Colección localmente finita

Concepto topológico

Se dice que una colección de subconjuntos de un espacio topológico es localmente finita si cada punto en el espacio tiene una vecindad que intersecta sólo un número finito de conjuntos de la colección. ^[1] ${\displaystyle X}$

En el campo matemático de la topología , la finitud local es una propiedad de colecciones de subconjuntos de un espacio topológico . Es fundamental en el estudio de la paracompacidad y la dimensión topológica .

Tenga en cuenta que el término localmente finito tiene diferentes significados en otros campos matemáticos.

Ejemplos y propiedades

Una colección finita de subconjuntos de un espacio topológico es localmente finita. ^[2] Las colecciones infinitas también pueden ser localmente finitas: por ejemplo, la colección de todos los subconjuntos de la forma de un número entero . ^[1] Una colección contable de subconjuntos no necesita ser localmente finita, como lo muestra la colección de todos los subconjuntos de la forma de un número natural n . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (n,n+2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-n,n)}$

Si una colección de conjuntos es localmente finita, la colección de todos los cierres de estos conjuntos también es localmente finita. La razón de esto es que si un conjunto abierto que contiene un punto interseca el cierre de un conjunto, necesariamente interseca el conjunto mismo, por lo tanto, una vecindad puede cruzar como máximo el mismo número de cierres (puede cruzar menos, ya que dos disjuntos, los conjuntos pueden tener la misma clausura). Sin embargo, lo contrario puede fallar si los cierres de los conjuntos no son distintos. Por ejemplo, en la topología de complemento finito, la colección de todos los conjuntos abiertos no es localmente finita, pero la colección de todos los cierres de estos conjuntos es localmente finita (ya que los únicos cierres son y el conjunto vacío ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Espacios compactos

Toda colección localmente finita de subconjuntos de un espacio compacto debe ser finita. De hecho, sea una familia localmente finita de subconjuntos de un espacio compacto . Para cada punto , elija una vecindad abierta que interseque a un número finito de subconjuntos en . Claramente la familia de conjuntos: es una cubierta abierta de y por lo tanto tiene una subcubierta finita :. Dado que cada uno intersecta solo un número finito de subconjuntos en , la unión de todos esos intersecta solo un número finito de subconjuntos en . Dado que esta unión es el espacio completo , se deduce que intersecta sólo un número finito de subconjuntos de la colección . Y dado que está compuesto por subconjuntos de cada miembro de debe cruzarse , por lo tanto es finito. ${\displaystyle G=\{G_{a}|a\in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{U_{x}|x\in X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{k_{n}}|n\in 1\dots n\}}$ ${\displaystyle U_{k_{i}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U_{k_{i}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Un espacio topológico en el que toda cubierta abierta admite un refinamiento abierto localmente finito se denomina paracompacto . Cada colección localmente finita de subconjuntos de un espacio topológico también es puntual . Un espacio topológico en el que toda cubierta abierta admite un refinamiento abierto puntual finito se denomina metacompacto .

Segundos espacios contables

Ninguna cobertura incontable de un espacio de Lindelöf puede ser localmente finita, esencialmente mediante el mismo argumento que en el caso de los espacios compactos. En particular, ninguna cobertura incontable de un segundo espacio contable es localmente finita.

Conjuntos cerrados

Una unión finita de conjuntos cerrados siempre es cerrada. Se puede dar fácilmente un ejemplo de una unión infinita de conjuntos cerrados que no sea cerrada. Sin embargo, si consideramos una colección localmente finita de conjuntos cerrados, la unión es cerrada. Para ver esto, observamos que si hay un punto fuera de la unión de esta colección localmente finita de conjuntos cerrados, simplemente elegimos una vecindad de que interseca esta colección sólo en un número finito de estos conjuntos. Defina un mapa biyectivo a partir de la colección de conjuntos que se cruza para dar así un índice a cada uno de estos conjuntos. Luego, para cada conjunto, elija un conjunto abierto que no lo cruce. La intersección de todos los for intersectados con , es una vecindad de que no intersecta la unión de esta colección de conjuntos cerrados. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {1,\dots ,k}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

Colecciones contablemente finitas localmente

Una colección en un espacio es ${\displaystyle X}$contablemente localmente finito (oσ-localmente finito ) si es la unión de una familia contable de colecciones de subconjuntos localmente finitas de. La finitud local contable es una hipótesis clave en elteorema de metrización de Nagata-Smirnov, que establece que un espacio topológico esmetrizablesi y sólo si esregular,Hausdorffbaselocalmente finita contable.^[3] ${\displaystyle X}$

Ver también

• Colección punto-finita  – Portada de un conjunto

Citas

1. Munkres 2000, pag. 244.
2. Munkres 2000, pag. 245 Lema 39.1.
3. Munkres 2000, pag. 250 Teorema 40.3.

Referencias

• Munkres, James R. (2000), Topología (2ª ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2