Formulación integral de camino

Formulación de la mecánica cuántica.

La formulación integral de trayectoria es una descripción en mecánica cuántica que generaliza el principio de acción estacionaria de la mecánica clásica . Reemplaza la noción clásica de una trayectoria clásica única y única para un sistema con una suma, o integral funcional , sobre una infinidad de trayectorias mecánicamente cuánticas posibles para calcular una amplitud cuántica .

Esta formulación ha demostrado ser crucial para el desarrollo posterior de la física teórica , porque la covarianza manifiesta de Lorentz (los componentes de tiempo y espacio de las cantidades entran en las ecuaciones de la misma manera) es más fácil de lograr que en el formalismo de operador de la cuantificación canónica . A diferencia de los métodos anteriores, la integral de ruta permite cambiar fácilmente las coordenadas entre descripciones canónicas muy diferentes del mismo sistema cuántico. Otra ventaja es que en la práctica es más fácil adivinar la forma correcta del lagrangiano de una teoría, que naturalmente entra en las integrales de trayectoria (para interacciones de cierto tipo, estas son el espacio de coordenadas o las integrales de trayectoria de Feynman ), que el hamiltoniano . Las posibles desventajas del enfoque incluyen que la unitaridad (esto está relacionado con la conservación de la probabilidad; las probabilidades de todos los resultados físicamente posibles deben sumar uno) de la matriz S es oscura en la formulación. El enfoque de trayectoria integral ha demostrado ser equivalente a otros formalismos de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. Por lo tanto, al derivar cualquiera de los enfoques del otro, los problemas asociados con uno u otro enfoque (como lo ejemplifican la covarianza o unitaridad de Lorentz) desaparecen. ^[1]

La integral de trayectoria también relaciona procesos cuánticos y estocásticos , y esto proporcionó la base para la gran síntesis de la década de 1970, que unificó la teoría cuántica de campos con la teoría estadística de campos de un campo fluctuante cerca de una transición de fase de segundo orden . La ecuación de Schrödinger es una ecuación de difusión con una constante de difusión imaginaria, y la integral de trayectoria es una continuación analítica de un método para resumir todos los paseos aleatorios posibles . ^[2]

La idea básica de la formulación de la integral de trayectoria se remonta a Norbert Wiener , quien introdujo la integral de Wiener para resolver problemas de difusión y movimiento browniano . ^[3] Esta idea fue extendida al uso del lagrangiano en mecánica cuántica por Paul Dirac , quien dio las ideas que conducirían a la formulación de integral de trayectoria en su artículo de 1933. ^{[4] [5] [6]} El método completo fue desarrollado en 1948 por Richard Feynman . ^[7] Algunos preliminares fueron elaborados anteriormente en su trabajo doctoral bajo la supervisión de John Archibald Wheeler . La motivación original surgió del deseo de obtener una formulación mecánico-cuántica para la teoría del absorbente de Wheeler-Feynman utilizando un lagrangiano (en lugar de un hamiltoniano ) como punto de partida.

Estos son cinco de los infinitos caminos disponibles para que una partícula se mueva desde el punto A en el instante t al punto B en el instante t'(>t). No se permiten caminos que se crucen o retrocedan en el tiempo.

Principio de acción cuántica

En la mecánica cuántica, como en la mecánica clásica, el hamiltoniano es el generador de traslaciones del tiempo. Esto significa que el estado en un momento ligeramente posterior difiere del estado en el momento actual por el resultado de actuar con el operador hamiltoniano (multiplicado por la unidad imaginaria negativa , − i ). Para estados con una energía definida, esta es una declaración de la relación de De Broglie entre frecuencia y energía, y la relación general es consistente con eso más el principio de superposición .

El hamiltoniano en mecánica clásica se deriva de un lagrangiano , que es una cantidad más fundamental en relación con la relatividad especial . El hamiltoniano indica cómo avanzar en el tiempo, pero el tiempo es diferente en diferentes marcos de referencia . El lagrangiano es un escalar de Lorentz , mientras que el hamiltoniano es la componente temporal de un cuatro vectores . De modo que el hamiltoniano es diferente en diferentes marcos, y este tipo de simetría no es evidente en la formulación original de la mecánica cuántica.

El hamiltoniano es función de la posición y el impulso en un momento dado, y determina la posición y el impulso un poco más tarde. El lagrangiano es una función de la posición ahora y de la posición un poco más tarde (o, de manera equivalente, para separaciones de tiempo infinitesimales, es una función de la posición y la velocidad). La relación entre ambos es mediante una transformación de Legendre , y la condición que determina las ecuaciones de movimiento clásicas (las ecuaciones de Euler-Lagrange ) es que la acción tenga un extremo.

En mecánica cuántica, la transformada de Legendre es difícil de interpretar, porque el movimiento no sigue una trayectoria definida. En mecánica clásica, con discretización en el tiempo, la transformada de Legendre se convierte en

${\displaystyle \varepsilon H=p(t){\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon L}$

y

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}},}$

donde la derivada parcial con respecto a mantiene q ( t + ε ) fija. La transformada inversa de Legendre es ${\displaystyle {\dot {q}}}$

${\displaystyle \varepsilon L=\varepsilon p{\dot {q}}-\varepsilon H,}$

dónde

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},}$

y la derivada parcial ahora es con respecto a p en q fijo .

En mecánica cuántica, el estado es una superposición de diferentes estados con diferentes valores de q , o diferentes valores de p , y las cantidades p y q pueden interpretarse como operadores no conmutantes. El operador p sólo es definido en estados que son indefinidos con respecto a q . Consideremos entonces dos estados separados en el tiempo y actuemos con el operador correspondiente al lagrangiano:

${\displaystyle e^{i{\big [}p{\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon H(p,q){\big ]}}.}$

Si las multiplicaciones implícitas en esta fórmula se reinterpretan como multiplicaciones de matrices , el primer factor es

${\displaystyle e^{-ipq(t)},}$

y si esto también se interpreta como una multiplicación de matrices, la suma de todos los estados se integra en todos los q ( t ) , por lo que se necesita la transformada de Fourier en q ( t ) para cambiar la base a p ( t ) . Esa es la acción en el espacio de Hilbert: cambiar la base a p en el momento t .

Luego viene

${\displaystyle e^{-i\varepsilon H(p,q)},}$

o evolucionar un tiempo infinitesimal hacia el futuro .

Finalmente, el último factor en esta interpretación es

${\displaystyle e^{ipq(t+\varepsilon )},}$

lo que significa cambiar la base nuevamente a q más adelante .

Esto no es muy diferente de la evolución temporal ordinaria: el factor H contiene toda la información dinámica: empuja el estado hacia adelante en el tiempo. La primera parte y la última parte son simplemente transformadas de Fourier para cambiar a una base q pura desde una base p intermedia .

Otra forma de decir esto es que dado que el hamiltoniano es naturalmente una función de p y q , exponenciar esta cantidad y cambiar la base de p a q en cada paso permite que el elemento matricial de H se exprese como una función simple a lo largo de cada camino. Esta función es el análogo cuántico de la acción clásica. Esta observación se debe a Paul Dirac . ^[8]

Dirac señaló además que se podría elevar al cuadrado el operador de evolución temporal en la representación S :

${\displaystyle e^{i\varepsilon S},}$

y esto da el operador de evolución temporal entre el tiempo t y el tiempo t + 2 ε . Mientras que en la representación H la cantidad que se suma sobre los estados intermedios es un elemento matricial oscuro, en la representación S se reinterpreta como una cantidad asociada al camino. En el límite en el que se toma una potencia grande de este operador, se reconstruye la evolución cuántica completa entre dos estados, el primero con un valor fijo de q (0) y el último con un valor fijo de q ( t ) . El resultado es una suma de caminos con una fase, que es la acción cuántica.

Límite clásico

De manera crucial, Dirac identificó el efecto del límite clásico en la forma cuántica del principio de acción:

... vemos que el integrando en (11) debe ser de la forma e ^{iF / h} , donde F es una función de q _T , q ₁ , q ₂ , … q _m , q _t , que permanece finita a medida que h tiende a cero. Imaginemos ahora que uno de los q s intermedios, digamos q _k , varía continuamente mientras que los demás son fijos. Debido a la pequeñez de h , en general tendremos F / h variando extremadamente rápidamente. Esto significa que e ^{iF / h} variará periódicamente con una frecuencia muy alta alrededor del valor cero, por lo que su integral será prácticamente cero. La única parte importante en el dominio de integración de q _k es , por tanto, aquella para la cual una variación comparativamente grande en q _k produce sólo una variación muy pequeña en F. Esta parte es la vecindad de un punto para el cual F es estacionario con respecto a pequeñas variaciones en q _k . Podemos aplicar este argumento a cada una de las variables de integración... y obtener el resultado de que la única parte importante en el dominio de integración es aquella para la cual F es estacionario para pequeñas variaciones en todos los q s intermedios. ... Vemos que F tiene por análogo clásico ∫^t
_t L dt , que es simplemente la función de acción, que la mecánica clásica requiere que sea estacionaria para pequeñas variaciones en todos los q s intermedios. Esto muestra la forma en que la ecuación (11) llega a resultados clásicos cuando h se vuelve extremadamente pequeña.

—  Dirac (1933), pág. 69

Es decir, en el límite de acción que es grande en comparación con la constante ħ de Planck (el límite clásico), la integral de trayectoria está dominada por soluciones que están en la vecindad de puntos estacionarios de la acción. El camino clásico surge naturalmente en el límite clásico.

La interpretación de Feynman

El trabajo de Dirac no proporcionó una prescripción precisa para calcular la suma de caminos, y no demostró que se pudiera recuperar la ecuación de Schrödinger o las relaciones de conmutación canónicas a partir de esta regla. Esto fue hecho por Feynman.

Feynman demostró que la acción cuántica de Dirac era, para la mayoría de los casos de interés, simplemente igual a la acción clásica, apropiadamente discretizada. Esto significa que la acción clásica es la fase adquirida por la evolución cuántica entre dos puntos finales fijos. Propuso recuperar toda la mecánica cuántica a partir de los siguientes postulados:

1. La probabilidad de un evento viene dada por el módulo al cuadrado de un número complejo llamado "amplitud de probabilidad".
2. La amplitud de probabilidad viene dada por la suma de las contribuciones de todos los caminos en el espacio de configuración.
3. La contribución de un camino es proporcional a e ^{iS / ħ} , donde S es la acción dada por la integral de tiempo del lagrangiano a lo largo del camino.

Para encontrar la amplitud de probabilidad general para un proceso dado, entonces, se suma, o integra , la amplitud del tercer postulado en el espacio de todos los caminos posibles del sistema entre los estados inicial y final, incluidos aquellos que son absurdo según los estándares clásicos. Al calcular la amplitud de probabilidad de que una sola partícula vaya de una coordenada espacio-temporal a otra, es correcto incluir trayectorias en las que la partícula describe elaboradas volutas , curvas en las que la partícula se dispara hacia el espacio exterior y vuela de regreso, y y así sucesivamente. La integral de trayectoria asigna a todas estas amplitudes igual peso pero fase variable , o argumento del número complejo . Las contribuciones de caminos muy diferentes de la trayectoria clásica pueden ser suprimidas por interferencia (ver más abajo).

Feynman demostró que esta formulación de la mecánica cuántica es equivalente al enfoque canónico de la mecánica cuántica cuando el hamiltoniano es como mucho cuadrático en el momento. Una amplitud calculada según los principios de Feynman también obedecerá a la ecuación de Schrödinger para el hamiltoniano correspondiente a la acción dada.

La formulación integral de trayectoria de la teoría cuántica de campos representa la amplitud de transición (correspondiente a la función de correlación clásica ) como una suma ponderada de todas las historias posibles del sistema desde el estado inicial hasta el final. Un diagrama de Feynman es una representación gráfica de una contribución perturbativa a la amplitud de transición.

Integral de ruta en mecánica cuántica

Derivación de división de tiempo

Un enfoque común para derivar la fórmula de la integral de trayectoria es dividir el intervalo de tiempo en partes pequeñas. Una vez hecho esto, la fórmula del producto de Trotter nos dice que se puede ignorar la no conmutatividad de los operadores de energía cinética y potencial.

Para una partícula en un potencial suave, la integral de trayectoria se aproxima mediante trayectorias en zigzag , que en una dimensión es un producto de integrales ordinarias. Para el movimiento de la partícula desde la posición x _a en el momento ta hasta x _b en el momento t _b , la secuencia de _tiempo

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}}$

se puede dividir en n + 1 segmentos más pequeños t _j − t _{j − 1} , donde j = 1, ..., n + 1 , de duración fija

${\displaystyle \varepsilon =\Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}.}$

Este proceso se llama división de tiempo .

Una aproximación para la integral de trayectoria se puede calcular como proporcional a

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{a}}^{t_{b}}L{\big (}x(t),v(t){\big )}\,dt\right)\,dx_{0}\,\cdots \,dx_{n},}$

donde L ( x , v ) es el lagrangiano del sistema unidimensional con la variable de posición x ( t ) y la velocidad v = ẋ ( t ) consideradas (ver más abajo), y dx _j corresponde a la posición en el jésimo paso de tiempo , si la integral de tiempo se aproxima mediante una suma de n términos. ^{[nota 1]}

En el límite n → ∞ esto se convierte en una integral funcional que, aparte de un factor no esencial, es directamente el producto de las amplitudes de probabilidad ⟨ x _b , t _b | x _a , t _a ⟩ (más precisamente, dado que hay que trabajar con un espectro continuo, las densidades respectivas) para encontrar la partícula de la mecánica cuántica en t _a en el estado inicial x _a y en t _b en el estado final x _b .

En realidad L es el lagrangiano clásico del sistema unidimensional considerado,

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})=T-V={\frac {1}{2}}m|{\dot {x}}|^{2}-V(x)}$

y el "zigzagueo" antes mencionado corresponde a la aparición de los términos

${\displaystyle \exp \left({\frac {i}{\hbar }}\varepsilon \sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right)}$

en la suma de Riemann que aproxima la integral de tiempo, que finalmente se integran entre x ₁ y x _n con la medida de integración dx ₁ ... dx _n , x̃ _j es un valor arbitrario del intervalo correspondiente a j , por ejemplo su centro,x _j + x _{j −1}/2.

Así, a diferencia de la mecánica clásica, no sólo contribuye la trayectoria estacionaria, sino que también contribuyen todas las trayectorias virtuales entre el punto inicial y el final.

Integral de trayectoria

En términos de la función de onda en la representación de la posición, la fórmula de la integral de trayectoria dice lo siguiente:

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,e^{iS[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]}\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,}$

donde denota integración en todos los caminos con y donde es un factor de normalización. Aquí está la acción, dada por ${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]=\int dt\,L(\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t))}$

El diagrama muestra la contribución a la integral de trayectoria de una partícula libre para un conjunto de trayectorias, dibujando finalmente una espiral de Cornu .

partícula libre

La representación integral de trayectoria proporciona la amplitud cuántica para ir del punto x al punto y como una integral de todas las trayectorias. Para una acción de partícula libre (para simplificar, sea m = 1 , ħ = 1 )

${\displaystyle S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,dt,}$

la integral se puede evaluar explícitamente.

Para hacer esto, es conveniente comenzar sin el factor i en el exponencial, de modo que las grandes desviaciones sean suprimidas por números pequeños, no cancelando las contribuciones oscilatorias. La amplitud (o Kernel) dice:

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,dt\right)\,{\mathcal {D}}x.}$

Dividiendo la integral en intervalos de tiempo:

${\displaystyle K(x,y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}\right)^{2}\varepsilon \right)\,{\mathcal {D}}x,}$

donde D se interpreta como una colección finita de integraciones en cada múltiplo entero de ε . Cada factor en el producto es gaussiano en función de x ( t + ε ) centrado en x ( t ) con varianza ε . Las integrales múltiples son una convolución repetida de este Gaussiano G _ε con copias de sí mismo en momentos adyacentes:

${\displaystyle K(x-y;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\cdots *G_{\varepsilon },}$

donde el número de circunvoluciones est/ε. El resultado es fácil de evaluar tomando la transformada de Fourier de ambos lados, de modo que las convoluciones se conviertan en multiplicaciones:

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{T/\varepsilon }.}$

La transformada de Fourier de la Gaussiana G es otra gaussiana de varianza recíproca:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{-{\frac {\varepsilon p^{2}}{2}}},}$

y el resultado es

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)=e^{-{\frac {Tp^{2}}{2}}}.}$

La transformada de Fourier da K , y nuevamente es gaussiana con varianza recíproca:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{2T}}}.}$

La constante de proporcionalidad no está realmente determinada por el enfoque de división de tiempo, solo se determina la proporción de valores para diferentes opciones de puntos finales. La constante de proporcionalidad debe elegirse para garantizar que entre cada dos intervalos de tiempo la evolución del tiempo sea mecánicamente cuántica unitaria, pero una forma más esclarecedora de fijar la normalización es considerar la integral de trayectoria como una descripción de un proceso estocástico.

El resultado tiene una interpretación probabilística. La suma de todos los caminos del factor exponencial puede verse como la suma de cada camino de la probabilidad de seleccionar ese camino. La probabilidad es el producto de cada segmento de la probabilidad de seleccionar ese segmento, de modo que cada segmento se elige probabilísticamente de forma independiente. El hecho de que la respuesta sea una propagación gaussiana lineal en el tiempo es el teorema del límite central , que puede interpretarse como la primera evaluación histórica de una integral de trayectoria estadística.

La interpretación de probabilidad da una opción de normalización natural. La integral de trayectoria debe definirse de modo que

${\displaystyle \int K(x-y;T)\,dy=1.}$

Esta condición normaliza el gaussiano y produce un núcleo que obedece a la ecuación de difusión:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

Para las integrales de trayectoria oscilatoria, aquellas con una i en el numerador, la división del tiempo produce gaussianas convolucionadas, tal como antes. Ahora, sin embargo, el producto de convolución es marginalmente singular, ya que requiere límites cuidadosos para evaluar las integrales oscilantes. Para definir bien los factores, la forma más sencilla es añadir una pequeña parte imaginaria al incremento de tiempo ε . Esto está estrechamente relacionado con la rotación de Wick . Luego, el mismo argumento de convolución que antes da el núcleo de propagación:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2T}},}$

que, con la misma normalización que antes (no la normalización de suma de cuadrados; esta función tiene una norma divergente), obedece a una ecuación de Schrödinger libre:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)=i{\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

Esto significa que cualquier superposición de K s también obedecerá a la misma ecuación, por linealidad. Definiendo

${\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t)\,dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}\,{\mathcal {D}}x,}$

entonces ψ _t obedece a la ecuación de Schrödinger libre tal como lo hace K :

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\psi _{t}.}$

Oscilador armónico simple

El lagrangiano del oscilador armónico simple es ^[9]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$

Escriba su trayectoria x ( t ) como la trayectoria clásica más alguna perturbación, x ( t ) = x _c ( t ) + δx ( t ) y la acción como S = S _c + δS . La trayectoria clásica se puede escribir como

${\displaystyle x_{\text{c}}(t)=x_{i}{\frac {\sin \omega (t_{f}-t)}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}+x_{f}{\frac {\sin \omega (t-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}.}$

Esta trayectoria produce la acción clásica.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{c}}&=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\,dt=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{2}}m\omega \left({\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega (t_{f}-t_{i})-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}\right)~.\end{aligned}}}$

A continuación, expanda la desviación de la trayectoria clásica como una serie de Fourier y calcule la contribución a la acción δS , lo que da

${\displaystyle S=S_{\text{c}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right).}$

Esto significa que el propagador es

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int da_{j}\exp {\left({\frac {i}{2\hbar }}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right)}\\[6pt]&=e^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}Q\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

para cierta normalización

${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}~.}$

Usando la representación de producto infinito de la función sinc ,

${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$

el propagador se puede escribir como

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}=e^{\frac {iS_{c}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}.}$

Sea T = t _f − t _i . Se puede escribir este propagador en términos de estados propios de energía como

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega T}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}{\tfrac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega T-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega T}}\right)}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})\psi _{n}(x_{i})^{*}~.\end{aligned}}}$

Usando las identidades i sen ωT =1/2e ^iωT (1 − e ^{−2 iωT} ) y cos ωT =1/2e ^iωT (1 + e ^{−2 iωT} ) , esto equivale a

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\exp {\left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(\left(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}\right){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right)\right)}.}$

Se pueden absorber todos los términos después del primer e ^{− iωT /2} en R ( T ) , obteniendo así

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\cdot R(T).}$

Finalmente se puede expandir R ( T ) en potencias de e ^{− iωT} : Todos los términos en esta expansión se multiplican por el factor e ^{− iωT /2} en el frente, dando términos de la forma

${\displaystyle e^{\frac {-i\omega T}{2}}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T\left({\frac {1}{2}}+n\right)}\quad {\text{for }}n=0,1,2,\ldots .}$

La comparación con la expansión del estado propio anterior produce el espectro de energía estándar para el oscilador armónico simple,

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega ~.}$

potencial de culombio

Sin embargo, la aproximación de Feynman en rodajas de tiempo no existe para las integrales de trayectoria de los átomos en mecánica cuántica más importantes, debido a la singularidad del potencial de Coulomb. mi ²/rAl origen. Sólo después de sustituir el tiempo t por otro parámetro de pseudotiempo dependiente de la ruta

${\displaystyle s=\int {\frac {dt}{r(t)}}}$

se elimina la singularidad y existe una aproximación dividida en tiempo, que es exactamente integrable, ya que puede volverse armónica mediante una simple transformación de coordenadas, como lo descubrieron en 1979 İsmail Hakkı Duru y Hagen Kleinert . ^[10] La combinación de una transformación de tiempo dependiente de la trayectoria y una transformación de coordenadas es una herramienta importante para resolver muchas integrales de trayectoria y se denomina genéricamente transformación de Duru-Kleinert .

La ecuación de Schrödinger

La integral de trayectoria reproduce la ecuación de Schrödinger para los estados inicial y final incluso cuando hay un potencial presente. Esto es más fácil de ver tomando una integral de camino en tiempos infinitamente separados.

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}e^{i\int _{t}^{t+\varepsilon }{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x){\bigr )}dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

Dado que la separación temporal es infinitesimal y las oscilaciones de cancelación se vuelven severas para valores grandes de ẋ , la integral de trayectoria tiene mayor peso para y cerca de x . En este caso, en el orden más bajo, la energía potencial es constante y sólo la contribución de la energía cinética no es trivial. (Esta separación de los términos de energía cinética y potencial en el exponente es esencialmente la fórmula del producto de Trotter ). La exponencial de la acción es

${\displaystyle e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\varepsilon }}$

El primer término rota la fase de ψ ( x ) localmente en una cantidad proporcional a la energía potencial. El segundo término es el propagador de partículas libres, correspondiente a i veces un proceso de difusión. Al orden más bajo en ε son aditivos; en cualquier caso se tiene con (1):

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\varepsilon }}\,dx\,.}$

Como se mencionó, la dispersión en ψ es difusiva de la propagación de partículas libres, con una rotación de fase extra infinitesimal que varía lentamente de un punto a otro desde el potencial:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi \,}$

y esta es la ecuación de Schrödinger. La normalización de la integral de trayectoria debe fijarse exactamente de la misma manera que en el caso de las partículas libres. Un potencial continuo arbitrario no afecta la normalización, aunque los potenciales singulares requieren un tratamiento cuidadoso.

Ecuaciones de movimiento

Dado que los estados obedecen a la ecuación de Schrödinger, la integral de trayectoria debe reproducir las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para los promedios de x y ẋ variables, pero es instructivo ver esto directamente. El enfoque directo muestra que los valores esperados calculados a partir de la integral de trayectoria reproducen los habituales de la mecánica cuántica.

Comience considerando la ruta integral con algún estado inicial fijo

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{iS(x,{\dot {x}})}\,Dx\,}$

Ahora x ( t ) en cada momento por separado es una variable de integración separada. Por lo tanto, es legítimo cambiar variables en la integral desplazando: x ( t ) = u ( t ) + ε ( t ) donde ε ( t ) es un desplazamiento diferente en cada momento pero ε (0) = ε ( T ) = 0 , ya que los puntos finales no están integrados:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{iS(u+\varepsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\varepsilon }})}\,Du\,}$

El cambio en la integral a partir del desplazamiento es, al primer orden infinitesimal en ε :

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\frac {\partial S}{\partial u}}\varepsilon +{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}{\dot {\varepsilon }}\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

que integrando por partes en t , da:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}-{\frac {\partial S}{\partial u}}\right)\varepsilon (t)\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

Pero esto fue sólo un cambio de las variables de integración, lo que no cambia el valor de la integral para cualquier elección de ε ( t ) . La conclusión es que esta variación de primer orden es cero para un estado inicial arbitrario y en cualquier momento arbitrario:

${\displaystyle \left\langle \psi _{0}\left|{\frac {\delta S}{\delta x}}(t)\right|\psi _{0}\right\rangle =0}$

esta es la ecuación de movimiento de Heisenberg.

Si la acción contiene términos que multiplican ẋ y x , en el mismo momento, las manipulaciones anteriores son solo heurísticas, porque las reglas de multiplicación para estas cantidades no son conmutantes en la integral de trayectoria como en el formalismo del operador.

Aproximación de fase estacionaria

Si la variación en la acción excede ħ en muchos órdenes de magnitud, típicamente tenemos interferencia destructiva fuera de las proximidades de aquellas trayectorias que satisfacen la ecuación de Euler-Lagrange , que ahora se reinterpreta como la condición para la interferencia constructiva. Esto se puede demostrar utilizando el método de fase estacionaria aplicado al propagador. A medida que ħ disminuye, la exponencial de la integral oscila rápidamente en el dominio complejo ante cualquier cambio en la acción. Así, en el límite en el que ħ llega a cero, sólo los puntos donde la acción clásica no varía contribuyen al propagador.

Relaciones de conmutación canónicas

La formulación de la integral de trayectoria no deja claro a primera vista que las cantidades x y p no conmutan. En la integral de ruta, éstas son sólo variables de integración y no tienen un orden obvio. Feynman descubrió que la no conmutatividad todavía está presente. ^[11]

Para ver esto, considere la integral de camino más simple, el camino browniano. Esto aún no es mecánica cuántica, por lo que en la integral de trayectoria la acción no se multiplica por i :

${\displaystyle S=\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\,dt}$

La cantidad x ( t ) fluctúa y la derivada se define como el límite de una diferencia discreta.

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

La distancia que recorre un paseo aleatorio es proporcional a √ t , de modo que:

${\displaystyle x(t+\varepsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\varepsilon }}}$

Esto muestra que el paseo aleatorio no es diferenciable, ya que la razón que define la derivada diverge con probabilidad uno.

La cantidad xẋ es ambigua, con dos posibles significados:

${\displaystyle [1]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle [2]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t+\varepsilon ){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

En cálculo elemental, los dos solo se diferencian en una cantidad que llega a 0 cuando ε llega a 0. Pero en este caso, la diferencia entre los dos no es 0:

${\displaystyle [2]-[1]={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon }}}$

Dejar

${\displaystyle f(t)={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}}$

Entonces f ( t ) es una cantidad estadística que fluctúa rápidamente, cuyo valor promedio es 1, es decir, un "proceso gaussiano" normalizado. Las fluctuaciones de tal cantidad pueden describirse mediante un método estadístico lagrangiano.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,}$

y las ecuaciones de movimiento para f derivadas de extremar la acción S correspondiente a L simplemente la igualan a 1. En física, tal cantidad es "igual a 1 como identidad de operador". En matemáticas, "converge débilmente a 1". En cualquier caso, es 1 en cualquier valor esperado, o cuando se promedia en cualquier intervalo, o para todos los fines prácticos.

Definiendo el orden de tiempo como orden del operador:

${\displaystyle [x,{\dot {x}}]=x{\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}x=1}$

Esto se llama lema de Itō en cálculo estocástico y relaciones de conmutación canónicas (euclidianizadas) en física.

Para una acción estadística general, un argumento similar muestra que

${\displaystyle \left[x,{\frac {\partial S}{\partial {\dot {x}}}}\right]=1}$

y en mecánica cuántica, la unidad imaginaria adicional en la acción la convierte en la relación de conmutación canónica,

${\displaystyle [x,p]=i}$

Partícula en espacio curvo

Para una partícula en un espacio curvo, el término cinético depende de la posición, y la división de tiempo anterior no se puede aplicar, siendo esto una manifestación del notorio problema de ordenamiento de operadores en la mecánica cuántica de Schrödinger. Sin embargo, se puede resolver este problema transformando la integral de la trayectoria del espacio plano dividido en el tiempo en un espacio curvo utilizando una transformación de coordenadas multivalor (el mapeo no holonómico se explica aquí).

Factores de la teoría de la medida

A veces (por ejemplo, una partícula que se mueve en un espacio curvo) también tenemos factores teóricos de medida en la integral funcional:

${\displaystyle \int \mu [x]e^{iS[x]}\,{\mathcal {D}}x.}$

Este factor es necesario para restaurar la unitaridad.

Por ejemplo, si

${\displaystyle S=\int \left({\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right)\,dt,}$

entonces significa que cada porción espacial se multiplica por la medida √ g . Esta medida no se puede expresar como una multiplicación funcional de la medida D x porque pertenecen a clases completamente diferentes.

Valores esperados y elementos de la matriz.

Los elementos matriciales del tipo toman la forma ${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t')}F({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t')}|x_{i}\rangle }$

${\displaystyle \int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F(x(t'))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$.

Esto se generaliza a múltiples operadores, por ejemplo

${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{1})}F_{1}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{1}-t_{2})}F_{2}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{2})}|x_{i}\rangle =\int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F_{1}(x(t_{1}))F_{2}(x(t_{2}))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$,

y al valor esperado general

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}[\phi ]F(\phi )e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}[\phi ]e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}}}$.

Integrales del camino euclidiano

Es muy común en integrales de trayectoria realizar una rotación de Wick desde tiempos reales a imaginarios. En el marco de la teoría cuántica de campos, la rotación de Wick cambia la geometría del espacio-tiempo de Lorentziana a Euclidiana; como resultado, las integrales de trayectoria girada por Wick a menudo se denominan integrales de trayectoria euclidiana.

Rotación de mechas y fórmula de Feynman-Kac

Si reemplazamos por , el operador de evolución temporal se reemplaza por . (Este cambio se conoce como rotación de Wick ). Si repetimos la derivación de la fórmula integral de trayectoria en esta configuración, obtenemos ^[12] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle -it}$ ${\displaystyle e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$ ${\displaystyle e^{-t{\hat {H}}/\hbar }}$

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}e^{-S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})/\hbar }\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$,

¿Dónde está la acción euclidiana, dada por ${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }}$

${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})=\int \left[{\frac {m}{2}}|{\dot {\mathbf {x} }}(t)|^{2}+V(\mathbf {x} (t))\right]\,dt}$.

Observe el cambio de signo entre ésta y la acción normal, donde el término de energía potencial es negativo. (El término euclidiano proviene del contexto de la teoría cuántica de campos, donde el cambio del tiempo real al imaginario cambia la geometría del espacio-tiempo de lorentziana a euclidiana).

Ahora, la contribución de la energía cinética a la integral de trayectoria es la siguiente:

${\displaystyle {\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}f(\mathbf {x} )e^{-{\frac {m}{2}}\int |{\dot {\mathbf {x} }}|^{2}dt}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$

donde incluye toda la dependencia restante del integrando en la ruta. Esta integral tiene una interpretación matemática rigurosa como integración frente a la medida de Wiener , denotada . La medida de Wiener, construida por Norbert Wiener, da una base rigurosa al modelo matemático del movimiento browniano de Einstein . El subíndice indica que la medida se admite en rutas con . ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$

Entonces tenemos una versión rigurosa de la integral de trayectoria de Feynman, conocida como fórmula de Feynman-Kac : ^[13]

${\displaystyle \psi (x,t)=\int e^{-\int V(\mathbf {x} (t))\,dt/\hbar }\,\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,d\mu _{x}(\mathbf {x} )}$,

donde ahora satisface la versión rotada por Wick de la ecuación de Schrödinger, ${\displaystyle \psi (x,t)}$

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\hat {H}}\psi (x,t)}$.

Aunque la ecuación de Schrödinger rotada por Wick no tiene un significado físico directo, al estudiarla se pueden extraer propiedades interesantes del operador de Schrödinger . ^[14] ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Gran parte del estudio de las teorías cuánticas de campos desde la perspectiva de trayectoria integral, tanto en la literatura de matemáticas como de física, se realiza en el entorno euclidiano, es decir, después de una rotación de Wick. En particular, hay varios resultados que muestran que si se puede construir una teoría de campo euclidiana con propiedades adecuadas, entonces se puede deshacer la rotación de Wick para recuperar la teoría física lorentziana. ^[15] Por otro lado, es mucho más difícil dar un significado a las integrales de trayectoria (incluso a las integrales de trayectoria euclidiana) en la teoría cuántica de campos que en la mecánica cuántica. ^{[nota 2]}

La integral de ruta y la función de partición.

La integral de trayectoria es simplemente la generalización de la integral anterior a todos los problemas de la mecánica cuántica.

${\displaystyle Z=\int e^{\frac {i{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]}{\hbar }}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \quad {\text{where }}{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]=\int _{0}^{t_{f}}L[\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t)]\,dt}$

es la acción del problema clásico en el que se investiga la ruta que comienza en el momento t = 0 y termina en el momento t = t _f , y denota la medida de integración de todas las rutas. En el límite clásico, el camino de acción mínima domina la integral, porque la fase de cualquier camino que se aleje de este fluctúa rápidamente y las diferentes contribuciones se cancelan. ^[dieciséis] ${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]\gg \hbar }$

La conexión con la mecánica estadística sigue. Considerando sólo caminos que comienzan y terminan en la misma configuración, realice la rotación de Wick it = ħβ , es decir, haga que el tiempo sea imaginario e integre todas las configuraciones posibles de principio a fin. La integral de trayectoria rotada por Wick, descrita en la subsección anterior, con la acción ordinaria reemplazada por su contraparte "euclidiana", ahora se parece a la función de partición de la mecánica estadística definida en un conjunto canónico con temperatura inversa proporcional al tiempo imaginario.1/t=yo k _b t/ħ. Sin embargo, en sentido estricto, ésta es la función de partición de una teoría estadística de campos .

Claramente, una analogía tan profunda entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística no puede depender de la formulación. En la formulación canónica, se ve que el operador de evolución unitaria de un estado está dado por

${\displaystyle |\alpha ;t\rangle =e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}|\alpha ;0\rangle }$

donde el estado α evoluciona desde el momento t = 0 . Si uno hace una rotación de Wick aquí y encuentra la amplitud para ir desde cualquier estado, volver al mismo estado en tiempo (imaginario) iβ viene dado por

${\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \left[e^{-H\beta }\right]}$

que es precisamente la función de partición de la mecánica estadística para el mismo sistema a la temperatura citada anteriormente. Erwin Schrödinger también conocía un aspecto de esta equivalencia, quien comentó que la ecuación que lleva su nombre se parecía a la ecuación de difusión después de la rotación de Wick. Sin embargo, tenga en cuenta que la integral de trayectoria euclidiana en realidad tiene la forma de un modelo de mecánica estadística clásica .

Teoría cuántica de campos

Tanto el enfoque de Schrödinger como el de Heisenberg sobre la mecánica cuántica señalan el tiempo y no siguen el espíritu de la relatividad. Por ejemplo, el enfoque de Heisenberg requiere que los operadores de campo escalar obedezcan la relación de conmutación

${\displaystyle [\varphi (x),\partial _{t}\varphi (y)]=i\delta ^{3}(x-y)}$

para dos posiciones espaciales simultáneas x e y , y este no es un concepto relativista invariante. Los resultados de un cálculo son covariantes, pero la simetría no es evidente en las etapas intermedias. Si los cálculos ingenuos de la teoría de campos no produjeran respuestas infinitas en el límite del continuo , esto no habría sido un problema tan grande: simplemente habría sido una mala elección de coordenadas. Pero la falta de simetría significa que las cantidades infinitas deben ser eliminadas, y las malas coordenadas hacen que sea casi imposible eliminar la teoría sin estropear la simetría. Esto dificulta la extracción de predicciones físicas, que requieren un procedimiento de limitación cuidadoso .

El problema de la simetría perdida también aparece en la mecánica clásica, donde la formulación hamiltoniana también señala superficialmente el tiempo. La formulación lagrangiana hace evidente la invariancia relativista. De la misma manera, la integral de trayectoria es manifiestamente relativista. Reproduce la ecuación de Schrödinger, las ecuaciones de movimiento de Heisenberg y las relaciones de conmutación canónicas y demuestra que son compatibles con la relatividad. Extiende el álgebra de operadores de tipo Heisenberg a las reglas de producto de operadores , que son relaciones nuevas difíciles de ver en el antiguo formalismo.

Además, diferentes elecciones de variables canónicas conducen a formulaciones aparentemente muy diferentes de la misma teoría. Las transformaciones entre variables pueden ser muy complicadas, pero la integral de ruta las convierte en cambios razonablemente sencillos de variables de integración. Por estas razones, la integral de ruta de Feynman ha hecho que los formalismos anteriores queden en gran medida obsoletos.

El precio de una representación integral de trayectoria es que la unitaridad de una teoría ya no es evidente, pero puede probarse cambiando las variables a alguna representación canónica. La integral de trayectoria en sí misma también trata con espacios matemáticos más grandes de lo habitual, lo que requiere matemáticas más cuidadosas, las cuales no todas han sido completamente resueltas. Históricamente, la integral de ruta no fue aceptada de inmediato, en parte porque tomó muchos años incorporar adecuadamente los fermiones. Esto requirió que los físicos inventaran un objeto matemático completamente nuevo, la variable de Grassmann , que también permitiera que los cambios de variables se realizaran de forma natural, además de permitir una cuantificación restringida .

Las variables de integración en la integral de trayectoria son sutilmente no conmutantes. El valor del producto de dos operadores de campo en lo que parece el mismo punto depende de cómo se ordenan los dos puntos en el espacio y el tiempo. Esto hace que algunas identidades ingenuas fracasen .

El propagador

En las teorías relativistas, existe una representación tanto de partícula como de campo para cada teoría. La representación del campo es una suma de todas las configuraciones del campo, y la representación de partículas es una suma de diferentes trayectorias de partículas.

La formulación no relativista se da tradicionalmente en términos de trayectorias de partículas, no de campos. Allí, la integral de trayectoria en las variables habituales, con condiciones de contorno fijas, da la amplitud de probabilidad de que una partícula vaya del punto x al punto y en el tiempo T :

${\displaystyle K(x,y;T)=\langle y;T\mid x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}\,Dx.}$

Esto se llama propagador . Superponiendo diferentes valores de la posición inicial x con un estado inicial arbitrario ψ ₀ ( x ) se construye el estado final:

${\displaystyle \psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)\,dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}\,Dx.}$

Para un sistema espacialmente homogéneo, donde K ( x , y ) es solo una función de ( x − y ) , la integral es una convolución , el estado final es el estado inicial convolucionado con el propagador:

${\displaystyle \psi _{T}=\psi _{0}*K(;T).}$

Para una partícula libre de masa m , el propagador se puede evaluar explícitamente a partir de la integral de trayectoria o observando que la ecuación de Schrödinger es una ecuación de difusión en tiempo imaginario, y la solución debe ser una gaussiana normalizada:

${\displaystyle K(x,y;T)\propto e^{\frac {im(x-y)^{2}}{2T}}.}$

Tomando la transformada de Fourier en ( x − y ) se produce otra gaussiana:

${\displaystyle K(p;T)=e^{\frac {iTp^{2}}{2m}},}$

y en el espacio p el factor de proporcionalidad aquí es constante en el tiempo, como se comprobará en un momento. La transformada de Fourier en el tiempo, extendiendo K ( p ; T ) para que sea cero en tiempos negativos, da la función de Green, o el propagador de frecuencia-espacio:

${\displaystyle G_{\text{F}}(p,E)={\frac {-i}{E-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }},}$

que es el recíproco del operador que aniquila la función de onda en la ecuación de Schrödinger, que no habría salido bien si el factor de proporcionalidad no fuera constante en la representación del espacio p .

El término infinitesimal en el denominador es un pequeño número positivo, lo que garantiza que la transformada inversa de Fourier en E será distinta de cero sólo en el futuro. En tiempos pasados, el contorno de la transformada de Fourier inversa se cierra hacia valores de E donde no hay singularidad. Esto garantiza que K propaga la partícula hacia el futuro y es la razón del subíndice "F" en G. El término infinitesimal puede interpretarse como una rotación infinitesimal hacia el tiempo imaginario.

También es posible reexpresar la evolución temporal no relativista en términos de propagadores que van hacia el pasado, ya que la ecuación de Schrödinger es reversible en el tiempo. El propagador pasado es el mismo que el propagador futuro excepto por la diferencia obvia de que desaparece en el futuro, y en el gaussiano t se reemplaza por −t . En este caso, la interpretación es que estas son las cantidades para convolucionar la función de onda final para obtener la función de onda inicial:

${\displaystyle G_{\text{B}}(p,E)={\frac {-i}{-E-{\frac {i{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }}.}$

Dado que el único cambio casi idéntico es el signo de E y ε , el parámetro E en la función de Green puede ser la energía si los caminos van hacia el futuro, o el negativo de la energía si los caminos van hacia el pasado.

Para una teoría no relativista, el tiempo medido a lo largo de la trayectoria de una partícula en movimiento y el tiempo medido por un observador externo son el mismo. En relatividad, esto ya no es cierto. Para una teoría relativista, el propagador debe definirse como la suma de todos los caminos que viajan entre dos puntos en un tiempo adecuado fijo, medido a lo largo del camino (estos caminos describen la trayectoria de una partícula en el espacio y en el tiempo):

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T} }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}}}-\alpha \,d\tau }.}$

La integral anterior no es trivial de interpretar debido a la raíz cuadrada. Afortunadamente, existe un truco heurístico. La suma está sobre la longitud del arco relativista de la trayectoria de una cantidad oscilante y, al igual que la integral de trayectoria no relativista, debe interpretarse como ligeramente girada en el tiempo imaginario. La función K ( x − y , τ ) se puede evaluar cuando la suma abarca caminos en el espacio euclidiano:

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{-L}.}$

Esto describe una suma sobre todos los caminos de longitud Τ del exponencial de menos la longitud. A esto se le puede dar una interpretación de probabilidad. La suma de todos los caminos es un promedio de probabilidad de un camino construido paso a paso. El número total de pasos es proporcional a Τ y cada paso es menos probable cuanto más largo es. Según el teorema del límite central , el resultado de muchos pasos independientes es una varianza gaussiana proporcional a Τ :

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}}.}$

La definición habitual del propagador relativista solo pide que la amplitud viaje de x a y , después de sumar todos los tiempos adecuados posibles que podría tomar:

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }K(x-y,\mathrm {T} )W(\mathrm {T} )\,d\mathrm {T} ,}$

donde W (Τ) es un factor de peso, la importancia relativa de caminos de diferente tiempo propio. Por la simetría de traslación en el tiempo adecuado, este peso sólo puede ser un factor exponencial y puede ser absorbido por la constante α :

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}-\alpha \mathrm {T} }\,d\mathrm {T} .}$

Esta es la representación de Schwinger . Se puede tomar una transformada de Fourier sobre la variable ( x − y ) para cada valor de Τ por separado, y debido a que cada contribución de Τ separada es una gaussiana, la transformada de Fourier es otra gaussiana con ancho recíproco. Entonces, en el espacio p , el propagador se puede reexpresar simplemente:

${\displaystyle K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }\,d\mathrm {T} ={\frac {1}{p^{2}+\alpha }},}$

que es el propagador euclidiano de una partícula escalar. Al rotar p ₀ para que sea imaginario se obtiene el propagador relativista habitual, hasta un factor de − i y una ambigüedad, que se aclarará a continuación:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}.}$

Esta expresión se puede interpretar en el límite no relativista, donde conviene dividirla en fracciones parciales :

${\displaystyle 2p_{0}K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}+{\frac {i}{p_{0}+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}.}$

Para estados donde está presente una partícula no relativista, la función de onda inicial tiene una distribución de frecuencia concentrada cerca de p ₀ = m . Al convolucionar con el propagador, lo que en el espacio p simplemente significa multiplicar por el propagador, el segundo término se suprime y el primer término se mejora. Para frecuencias cercanas a p ₀ = m , el primer término dominante tiene la forma

${\displaystyle 2mK_{\text{NR}}(p)={\frac {i}{(p_{0}-m)-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}}}.}$

Ésta es la expresión de la función de Green no relativista de una partícula de Schrödinger libre.

El segundo término también tiene un límite no relativista, pero este límite se concentra en frecuencias negativas. El segundo polo está dominado por contribuciones de trayectorias en las que el tiempo propio y el tiempo coordinado corren en sentido opuesto, lo que significa que el segundo término debe interpretarse como la antipartícula. El análisis no relativista muestra que con esta forma la antipartícula todavía tiene energía positiva.

La forma correcta de expresar esto matemáticamente es que, agregando un pequeño factor de supresión en el tiempo adecuado, el límite donde t → −∞ del primer término debe desaparecer, mientras que el límite t → +∞ del segundo término debe desaparecer. En la transformada de Fourier, esto significa desplazar ligeramente el polo en p ₀ , de modo que la transformada de Fourier inversa recogerá un pequeño factor de caída en una de las direcciones del tiempo:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\varepsilon }}+{\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\varepsilon }}.}$

Sin estos términos, la contribución de los polos no podría evaluarse sin ambigüedades al tomar la transformada de Fourier inversa de p ₀ . Los términos se pueden recombinar:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }},}$

que cuando se factoriza, produce términos infinitesimales de signos opuestos en cada factor. Esta es la forma matemáticamente precisa del propagador de partículas relativista, libre de ambigüedades. El término ε introduce una pequeña parte imaginaria a α = m ² , que en la versión de Minkowski es una pequeña supresión exponencial de caminos largos.

Entonces, en el caso relativista, la representación integral de caminos del propagador de Feynman incluye caminos que van hacia atrás en el tiempo, que describen antipartículas. Los caminos que contribuyen al propagador relativista van hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, y la interpretación de esto es que la amplitud para que una partícula libre viaje entre dos puntos incluye amplitudes para que la partícula fluctúe hacia una antipartícula, viaje hacia atrás en el tiempo y luego adelante de nuevo.

A diferencia del caso no relativista, es imposible producir una teoría relativista de la propagación local de partículas sin incluir antipartículas. Todos los operadores diferenciales locales tienen inversas distintas de cero fuera del cono de luz, lo que significa que es imposible evitar que una partícula viaje más rápido que la luz. Una partícula así no puede tener una función de Green que sea sólo distinta de cero en el futuro en una teoría relativista invariante.

Funcionales de campos

Sin embargo, la formulación de la integral de trayectoria también es extremadamente importante en la aplicación directa a la teoría cuántica de campos, en la que los "caminos" o historias que se consideran no son los movimientos de una sola partícula, sino las posibles evoluciones temporales de un campo en todo el espacio. La acción se conoce técnicamente como funcional del campo: S [ ϕ ] , donde el campo ϕ ( x ^μ ) es en sí mismo una función del espacio y el tiempo, y los corchetes son un recordatorio de que la acción depende de todos los campos. valores en todas partes, no sólo algún valor en particular. Una de esas funciones dadas ϕ ( x ^μ ) del espacio-tiempo se llama configuración de campo . En principio, se integra la amplitud de Feynman en la clase de todas las configuraciones de campo posibles.

Gran parte del estudio formal de QFT se dedica a las propiedades de la integral funcional resultante, y se han realizado muchos esfuerzos (aún no del todo exitosos) para hacer que estas integrales funcionales sean matemáticamente precisas.

Esta integral funcional es extremadamente similar a la función de partición en mecánica estadística . De hecho, a veces se le llama función de partición , y las dos son esencialmente matemáticamente idénticas excepto por el factor de i en el exponente del postulado 3 de Feynman. Continuar analíticamente con la integral de una variable de tiempo imaginaria (llamada rotación de Wick ) hace que la integral funcional se parece aún más a una función de partición estadística y también domina algunas de las dificultades matemáticas de trabajar con estas integrales.

Valores esperados

En la teoría cuántica de campos , si la acción está dada por el funcional S de las configuraciones de campo (que solo depende localmente de los campos), entonces el valor esperado de vacío ordenado en el tiempo del funcional polinomialmente acotado F , ⟨ F ⟩ , está dado por

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}}.}$

El símbolo ∫ D ϕ aquí es una forma concisa de representar la integral de dimensión infinita sobre todas las configuraciones de campo posibles en todo el espacio-tiempo. Como se indicó anteriormente, la integral de ruta sencilla en el denominador garantiza una normalización adecuada.

como probabilidad

Estrictamente hablando, la única pregunta que se puede plantear en física es: ¿Qué fracción de estados que satisfacen la condición A también satisfacen la condición B ? La respuesta a esto es un número entre 0 y 1, que puede interpretarse como una probabilidad condicional , escrita como P( B | A ) . En términos de integración de caminos, dado que P( B | A ) =P  ( A∩B )​/ P( A ), esto significa

${\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A)={\frac {\sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}{\sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}},}$

donde el funcional O _en [ ϕ ] es la superposición de todos los estados entrantes que podrían conducir a los estados que nos interesan. En particular, este podría ser un estado correspondiente al estado del Universo justo después del Big Bang , aunque en el caso real Este cálculo se puede simplificar utilizando métodos heurísticos. Dado que esta expresión es un cociente de integrales de trayectoria, está naturalmente normalizada.

Ecuaciones de Schwinger-Dyson

Dado que esta formulación de la mecánica cuántica es análoga al principio de acción clásico, uno podría esperar que las identidades relativas a la acción en la mecánica clásica tuvieran contrapartes cuánticas derivables de una integral funcional. Este suele ser el caso.

En el lenguaje del análisis funcional, podemos escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange como

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}=0}$

(El lado izquierdo es una derivada funcional ; la ecuación significa que la acción es estacionaria bajo pequeños cambios en la configuración del campo). Los análogos cuánticos de estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Schwinger-Dyson .

Si la medida funcional D ϕ resulta ser invariante traslacional (asumiremos esto por el resto de este artículo, aunque esto no es válido para, digamos, modelos sigma no lineales ), y si asumimos que después de una rotación de Wick

${\displaystyle e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]},}$

que ahora se convierte

${\displaystyle e^{-H[\varphi ]}}$

para algunos H , llega a cero más rápido que un recíproco de cualquier polinomio para valores grandes de φ , entonces podemos integrar por partes (después de una rotación de Wick, seguida de una rotación de Wick hacia atrás) para obtener las siguientes ecuaciones de Schwinger-Dyson para expectativa:

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta F[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\varphi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle }$

para cualquier funcional F ligado polinomialmente . En la notación deWitt esto se ve así ^[17]

${\displaystyle \left\langle F_{,i}\right\rangle =-i\left\langle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle .}$

Estas ecuaciones son análogas a las ecuaciones EL integradas . El ordenamiento temporal se toma antes de las derivadas temporales dentro de S _{, i} .

Si J (llamado campo fuente ) es un elemento del espacio dual de las configuraciones de campo (que tiene al menos una estructura afín debido al supuesto de invariancia traslacional para la medida funcional), entonces el funcional generador Z de los campos fuente se define como

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,\left\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\right\rangle _{J},}$

o

${\displaystyle Z^{,i_{1}\cdots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]\left\langle \varphi ^{i_{1}}\cdots \varphi ^{i_{n}}\right\rangle _{J},}$

dónde

${\displaystyle \langle F\rangle _{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}}.}$

Básicamente, si D φ e ^{i S [ φ ]} se ve como una distribución funcional (esto no debe tomarse demasiado literalmente como una interpretación de QFT , a diferencia de su análogo de mecánica estadística rotada por Wick , ¡porque aquí tenemos tiempo para ordenar complicaciones!) , entonces ⟨ φ ( x ₁ ) ... φ ( x _n )⟩ son sus momentos y Z es su transformada de Fourier .

Si F es un funcional de φ , entonces para un operador K , F [ K ] se define como el operador que sustituye K por φ . Por ejemplo, si

${\displaystyle F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n}),}$

y G es un funcional de J , entonces

${\displaystyle F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].}$

Entonces, a partir de las propiedades de las integrales funcionales

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}[\varphi ]+J(x)\right\rangle _{J}=0}$

obtenemos la ecuación "maestra" de Schwinger-Dyson:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0,}$

o

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{,i}[-i\partial ]Z+J_{i}Z=0.}$

Si la medida funcional no es invariante traslacionalmente, podría ser posible expresarla como el producto M [ φ ] D φ , donde M es una medida funcional y D φ es una medida invariante traslacional. Esto es cierto, por ejemplo, para modelos sigma no lineales donde el espacio objetivo es difeomorfo a R ⁿ . Sin embargo, si la variedad objetivo es algún espacio topológicamente no trivial, el concepto de traducción ni siquiera tiene sentido.

En ese caso, tendríamos que reemplazar la S en esta ecuación por otra funcional

${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}={\mathcal {S}}-i\ln M.}$

Si expandimos esta ecuación como una serie de Taylor alrededor de J = 0, obtenemos el conjunto completo de ecuaciones de Schwinger-Dyson.

Localización

Generalmente se piensa que las integrales de trayectoria son la suma de todas las trayectorias a través de un espacio-tiempo infinito. Sin embargo, en la teoría cuántica de campos local restringiríamos todo a que se encuentre dentro de una región finita causalmente completa , por ejemplo dentro de un doble cono de luz. Esto proporciona una definición más matemáticamente precisa y físicamente rigurosa de la teoría cuántica de campos.

Identidades de Ward-Takahashi

Ahora, ¿qué tal el teorema de Noether en el caparazón para el caso clásico? ¿Tiene también un análogo cuántico? Sí, pero con una salvedad. La medida funcional también tendría que ser invariante bajo el grupo de parámetros de transformación de simetría.

Para simplificar, supongamos aquí que la simetría en cuestión es local (no local en el sentido de una simetría de calibre , sino en el sentido de que el valor transformado del campo en cualquier punto dado bajo una transformación infinitesimal solo dependería de la configuración del campo). sobre una vecindad arbitrariamente pequeña del punto en cuestión). Supongamos también que la acción es local en el sentido de que es la integral sobre el espacio-tiempo de un lagrangiano , y que

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

para alguna función f donde f solo depende localmente de φ (y posiblemente de la posición del espacio-tiempo).

Si no asumimos ninguna condición de contorno especial, esto no sería una simetría "verdadera" en el verdadero sentido del término en general, a menos que f = 0 o algo así. Aquí, Q es una derivación que genera el grupo de parámetros en cuestión. También podríamos tener antiderivaciones , como BRST y supersimetría .

Supongamos también

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q[F][\varphi ]=0}$

para cualquier funcional F ligado polinomialmente . Esta propiedad se llama invariancia de la medida y no se cumple en general. (Ver anomalía (física) para más detalles.)

Entonces,

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q\left[Fe^{iS}\right][\varphi ]=0,}$

lo que implica

${\displaystyle \langle Q[F]\rangle +i\left\langle F\int _{\partial V}f^{\mu }\,ds_{\mu }\right\rangle =0}$

donde la integral está sobre el límite. Éste es el análogo cuántico del teorema de Noether.

Ahora, supongamos aún más que Q es una integral local

${\displaystyle Q=\int d^{d}x\,q(x)}$

dónde

${\displaystyle q(x)[\varphi (y)]=\delta ^{(d)}(X-y)Q[\varphi (y)]\,}$

de modo que

${\displaystyle q(x)[S]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\,}$

dónde

${\displaystyle j^{\mu }(x)=f^{\mu }(x)-{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}(x)Q[\varphi ]\,}$

(¡Esto supone que el lagrangiano solo depende de φ y sus primeras derivadas parciales! ¡Lagrangianos más generales requerirían una modificación de esta definición!). No insistimos en que q ( x ) sea el generador de una simetría (es decir, no insistimos en el principio de calibre ), sino simplemente en que Q lo es. Y también asumimos el supuesto aún más fuerte de que la medida funcional es localmente invariante:

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,q(x)[F][\varphi ]=0.}$

Entonces, tendríamos

${\displaystyle \langle q(x)[F]\rangle +i\langle Fq(x)[S]\rangle =\langle q(x)[F]\rangle +i\left\langle F\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\right\rangle =0.}$

Alternativamente,

${\displaystyle q(x)[S]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.}$

Las dos ecuaciones anteriores son las identidades Ward-Takahashi.

Ahora, para el caso en el que f = 0 , podemos olvidarnos de todas las condiciones de contorno y supuestos de localidad. simplemente tendríamos

${\displaystyle \left\langle Q[F]\right\rangle =0.}$

Alternativamente,

${\displaystyle \int d^{d}x\,J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.}$

Advertencias

La necesidad de reguladores y de renormalización

Las integrales de ruta tal como se definen aquí requieren la introducción de reguladores . Cambiar la escala del regulador conduce al grupo de renormalización . De hecho, la renormalización es el principal obstáculo para que las integrales de trayectoria estén bien definidas.

Pedir receta

Independientemente de si se trabaja en el espacio de configuración o en el espacio de fases, al equiparar el formalismo del operador y la formulación integral de ruta, se requiere una prescripción de ordenamiento para resolver la ambigüedad en la correspondencia entre los operadores no conmutativos y las funciones conmutativas que aparecen en los integrandos de ruta. Por ejemplo, el operador se puede traducir como , o dependiendo de si se elige la prescripción de pedido , o Weyl; por el contrario, se puede traducir a , , o para la misma elección respectiva de prescripción de pedido. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {q}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {q}})}$ ${\displaystyle qp-{\frac {i\hbar }{2}}}$ ${\displaystyle qp+{\frac {i\hbar }{2}}}$ ${\displaystyle qp}$ ${\displaystyle {\hat {q}}{\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}{\hat {q}}}$ ${\displaystyle qp}$ ${\displaystyle {\hat {q}}{\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}{\hat {q}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {q}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {q}})}$

La integral de camino en la interpretación de la mecánica cuántica.

En una interpretación de la mecánica cuántica , la interpretación de la "suma de historias", la integral de camino se considera fundamental y la realidad se ve como una "clase" única e indistinguible de caminos que comparten los mismos eventos. ^[18] Para esta interpretación, es crucial entender qué es exactamente un evento. El método de suma de historias proporciona resultados idénticos a los de la mecánica cuántica canónica, y Sinha y Sorkin ^[19] afirman que la interpretación explica la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen sin recurrir a la no localidad .

^¿ Algunos ^{que? ]} Los defensores de las interpretaciones de la mecánica cuántica que enfatizan la decoherencia han intentado hacer más rigurosa la noción de extraer una historia "gruesa" de tipo clásico del espacio de todas las historias posibles.

Gravedad cuántica

Mientras que en mecánica cuántica la formulación de la integral de trayectoria es totalmente equivalente a otras formulaciones, es posible que pueda extenderse a la gravedad cuántica, lo que la haría diferente del modelo espacial de Hilbert . Feynman tuvo cierto éxito en esta dirección, y Hawking y otros han ampliado su trabajo . ^[20] Los enfoques que utilizan este método incluyen triangulaciones dinámicas causales y modelos de espuma de espín .

Túnel cuántico

Los túneles cuánticos se pueden modelar utilizando la formación de integrales de trayectoria para determinar la acción de la trayectoria a través de una barrera potencial. Utilizando la aproximación WKB , se puede determinar que la tasa de tunelización ( Γ ) es de la forma

${\displaystyle \Gamma =A_{\mathrm {o} }\exp \left(-{\frac {S_{\mathrm {eff} }}{\hbar }}\right)}$

con la acción efectiva S _eff y el factor preexponencial A _o . Esta forma es específicamente útil en un sistema disipativo , en el que los sistemas y el entorno deben modelarse juntos. Usando la ecuación de Langevin para modelar el movimiento browniano , la formación de integral de trayectoria se puede usar para determinar una acción efectiva y un modelo preexponencial para ver el efecto de la disipación en la formación de túneles. ^[21] A partir de este modelo, se pueden predecir las tasas de formación de túneles de sistemas macroscópicos (a temperaturas finitas).

Ver también

• Justificación teórica y experimental de la ecuación de Schrödinger.
• Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales.
• tablero de ajedrez de feynman
• Integral de Berezin
• propagadores
• Teoría del absorbente de Wheeler-Feynman
• Fórmula de Feynman-Kac
• Integrales de ruta en la ciencia de los polímeros.

Observaciones

1. Para obtener una derivación simplificada, paso a paso, de la relación anterior, consulte Integrales de ruta en teorías cuánticas: un primer paso pedagógico.
2. Para obtener una breve reseña de los orígenes de estas dificultades, consulte Hall 2013, Sección 20.6.

Referencias

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7. Feynman 1948.
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11. Feynman 1948
12. Salón 2013, Sección 20.3.
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19. Sinha y Sorkin 1991
20. Gell-Mann 1993
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enlaces externos

• Integral de ruta en Scholarpedia
• Integrales de ruta en teorías cuánticas: un primer paso pedagógico
• Un enfoque matemáticamente riguroso de las integrales de trayectoria perturbativa mediante animación en YouTube
• Los infinitos caminos cuánticos de Feynman | Tiempo espacial de PBS. 7 de julio de 2017. (Vídeo, 15:48)