Integral de Berezin

Integración para variables de Grassmann

En física matemática , la integral de Berezin , llamada así por Felix Berezin (también conocida como integral de Grassmann , por Hermann Grassmann ), es una forma de definir la integración para funciones de variables de Grassmann (elementos del álgebra exterior ). No es una integral en el sentido de Lebesgue ; la palabra "integral" se utiliza porque la integral de Berezin tiene propiedades análogas a la integral de Lebesgue y porque extiende la integral de trayectoria en física, donde se utiliza como una suma sobre historias para fermiones .

Definición

Sea el álgebra exterior de polinomios en elementos anticonmutativos sobre el cuerpo de números complejos. (El orden de los generadores es fijo y define la orientación del álgebra exterior). ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$ ${\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{n}}$ ${\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{n}}$

Una variable

La integral de Berezin sobre la única variable de Grassmann se define como una función lineal. ${\displaystyle \theta =\theta _{1}}$

${\displaystyle \int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C} }$

donde definimos

${\displaystyle \int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0}$

de modo que :

${\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.}$

Estas propiedades definen la integral de manera única e implican

${\displaystyle \int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .}$

Tenga en cuenta que es la función más general porque las variables de Grassmann elevan al cuadrado cero, por lo que no pueden tener términos distintos de cero más allá del orden lineal. ${\displaystyle f(\theta )=a\theta +b}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle f(\theta )}$

Variables múltiples

La integral de Berezin se define como la única funcional lineal con las siguientes propiedades: ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$ ${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\cdot {\textrm {d}}\theta }$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{n}\cdots \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta =1,}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial \theta _{i}}}\,\mathrm {d} \theta =0,\ i=1,\dots ,n}$

Para cualquier punto, se entiende la derivada parcial izquierda o derecha. Estas propiedades definen la integral de forma única. ${\displaystyle f\in \Lambda ^{n},}$ ${\displaystyle \partial /\partial \theta _{i}}$

Obsérvese que existen diferentes convenciones en la literatura: algunos autores definen en cambio ^[1]

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta :=1.}$

La fórmula

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}}$

expresa la ley de Fubini. En el lado derecho, la integral interior de un monomio se establece en donde ; la integral de se anula. La integral con respecto a se calcula de manera similar y así sucesivamente. ${\displaystyle f=g(\theta ')\theta _{1}}$ ${\displaystyle g(\theta '),}$ ${\displaystyle \theta '=\left(\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right)}$ ${\displaystyle f=g(\theta ')}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

Cambio de variables de Grassmann

Sean polinomios impares en algunas variables antisimétricas . El jacobiano es la matriz ${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle \xi _{1},\ldots ,\xi _{n}}$

${\displaystyle D=\left\{{\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \xi _{j}}},\ i,j=1,\ldots ,n\right\},}$

donde se refiere a la derivada derecha ( ). La fórmula para el cambio de coordenadas se lee ${\displaystyle \partial /\partial \xi _{j}}$ ${\displaystyle \partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{2}=\theta _{1},\;\partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{1}=-\theta _{2}}$

${\displaystyle \int f(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\,\mathrm {d} \xi .}$

Integración de variables pares e impares

Definición

Consideremos ahora el álgebra de funciones de variables reales conmutativas y de variables anticonmutativas (que se denomina superálgebra libre de dimensión ). Intuitivamente, una función es una función de m variables pares (bosónicas, conmutativas) y de n variables impares (fermiónicas, anticonmutativas). Más formalmente, un elemento es una función del argumento que varía en un conjunto abierto con valores en el álgebra Supóngase que esta función es continua y se anula en el complemento de un conjunto compacto La integral de Berezin es el número ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$ ${\displaystyle x=x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$ ${\displaystyle (m|n)}$ ${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$ ${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{n}.}$ ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{m}.}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\,\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta .}$

Cambio de variables pares e impares

Sea una transformación de coordenadas dada por donde son polinomios pares e impares de que dependen de variables pares. La matriz jacobiana de esta transformación tiene la forma de bloque: ${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \theta _{j}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle y.}$

${\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$

donde cada derivada par conmuta con todos los elementos del álgebra ; las derivadas impares conmutan con elementos pares y anticonmutan con elementos impares. Las entradas de los bloques diagonales y son pares y las entradas de los bloques fuera de la diagonal son funciones impares, donde nuevamente significa derivadas derechas . ${\displaystyle \partial /\partial y_{j}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$ ${\displaystyle A=\partial x/\partial y}$ ${\displaystyle D=\partial \theta /\partial \xi }$ ${\displaystyle B=\partial x/\partial \xi ,\ C=\partial \theta /\partial y}$ ${\displaystyle \partial /\partial \xi _{j}}$

Cuando la función es invertible en ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n},}$

${\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&B\\0&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&0\\D^{-1}C&I\end{pmatrix}}}$

Así que tenemos el bereziniano (o superdeterminante ) de la matriz , que es la función par ${\displaystyle \mathrm {J} }$

${\displaystyle \operatorname {Ber} \mathrm {J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)(\det D)^{-1}}$

Supongamos que las funciones reales definen una función invertible suave de conjuntos abiertos en y la parte lineal de la función es invertible para cada uno. La ley de transformación general para la integral de Berezin se lee ${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,0)}$ ${\displaystyle F:Y\to X}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \xi \mapsto \theta =\theta (y,\xi )}$ ${\displaystyle y\in Y.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \operatorname {Ber} \mathrm {J} \,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y\\[6pt]={}&\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y,\end{aligned}}}$

donde ) es el signo de la orientación del mapa La superposición se define de la forma obvia, si las funciones no dependen de En el caso general, escribimos donde son elementos nilpotentes pares de y conjunto ${\displaystyle \varepsilon =\mathrm {sgn} (\det \partial x(y,0)/\partial y}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))}$ ${\displaystyle x_{i}(y,\xi )}$ ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle x_{i}(y,\xi )=x_{i}(y,0)+\delta _{i},}$ ${\displaystyle \delta _{i},i=1,\ldots ,m}$ ${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$

${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta )=f(x(y,0),\theta )+\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots ,}$

donde la serie de Taylor es finita.

Fórmulas útiles

Las siguientes fórmulas para integrales gaussianas se utilizan a menudo en la formulación de integral de trayectoria de la teoría cuántica de campos :

• ${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{T}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$

siendo una matriz compleja. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$

• ${\displaystyle \int \exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{T}M\theta \right]\,d\theta ={\begin{cases}\mathrm {Pf} \,M&n{\mbox{ even}}\\0&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}}$

siendo una matriz antisimétrica compleja , y siendo el Pfaffian de , que cumple . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {Pf} \,M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\mathrm {Pf} \,M)^{2}=\det M}$

En las fórmulas anteriores se utiliza la notación . A partir de estas fórmulas se desprenden otras fórmulas útiles (véase el Apéndice A en ^[2] ): ${\displaystyle d\theta =d\theta _{1}\cdots \,d\theta _{n}}$

• ${\displaystyle \int \exp \left[\theta ^{T}A\eta +\theta ^{T}J+K^{T}\eta \right]\,d\eta _{1}\,d\theta _{1}\dots d\eta _{n}d\theta _{n}=\det A\,\,\exp[-K^{T}A^{-1}J]}$

siendo una matriz invertible. Nótese que estas integrales están todas en forma de función de partición . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$

Historia

La integral de Berezin fue probablemente presentada por primera vez por David John Candlin en 1956. ^[3] Más tarde fue descubierta independientemente por Felix Berezin en 1966. ^[4]

Lamentablemente, el artículo de Candlin no logró atraer la atención de la gente y quedó sepultado en el olvido. El trabajo de Berezin llegó a ser ampliamente conocido y ha sido citado casi universalmente, ^{[nota al pie 1]} convirtiéndose en una herramienta indispensable para tratar la teoría cuántica de campos de los fermiones mediante la integral funcional.

Otros autores contribuyeron a estos desarrollos, incluidos los físicos Khalatnikov ^[9] (aunque su artículo contiene errores), Matthews y Salam, ^[10] y Martin. ^[11]

Véase también

• Supermanifold
• Bereziniano

Nota

1. Por ejemplo, muchos libros de texto famosos de teoría cuántica de campos citan a Berezin. ^{[5] [6] [7]} Una excepción fue Stanley Mandelstam , de quien se dice que solía citar el trabajo de Candlin. ^[8]

Referencias

1. Simetría especular . Hori, Kentaro. Providence, RI: American Mathematical Society. 2003. pág. 155. ISBN. 0-8218-2955-6.OCLC 52374327  .{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
2. S. Caracciolo, AD Sokal y A. Sportiello, Pruebas algebraicas/combinatorias de identidades de tipo Cayley para derivadas de determinantes y pfaffianos, Advances in Applied Mathematics, Volumen 50, Número 4, 2013, https://doi.org/10.1016/j.aam.2012.12.001; https://arxiv.org/abs/1105.6270
3. DJ Candlin (1956). "Sobre sumas sobre trayectorias para sistemas con estadística de Fermi". Nuovo Cimento . 4 (2): 231–239. Bibcode :1956NCim....4..231C. doi :10.1007/BF02745446. S2CID  122333001.
4. A. Berezin, El método de segunda cuantificación , Academic Press, (1966)
5. Itzykson, Claude; Zuber, Jean Bernard (1980). Teoría cuántica de campos . McGraw-Hill International Book Co. Cap. 9, Notas. ISBN 0070320713.
6. Peskin, Michael Edward; Schroeder, Daniel V. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Lectura: Addison-Wesley. Sección 9.5.
7. Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos . Vol. 1. Cambridge University Press. Cap. 9, Bibliografía. ISBN 0521550017.
8. Ron Maimon (4 de junio de 2012). "¿Qué le pasó a David John Candlin?". physics.stackexchange.com . Consultado el 8 de abril de 2024 .
9. Khalatnikov, IM (1955). "Predstavlenie funkzij Grina v kvantovoj elektrodinamike v forme kontinualjnyh integralov" [La representación de la función de Green en la electrodinámica cuántica en forma de integrales continuas] (PDF) . Revista de física experimental y teórica (en ruso). 28 (3): 633. Archivado desde el original (PDF) el 2021-04-19 . Consultado el 2019-06-23 .
10. Matthews, PT; Salam, A. (1955). "Propagadores de campo cuantizado". Il Nuovo Cimento . 2 (1). Springer Science and Business Media LLC: 120–134. Código Bibliográfico :1955NCimS...2..120M. doi :10.1007/bf02856011. ISSN  0029-6341. S2CID  120719536.
11. Martin, JL (23 de junio de 1959). "El principio de Feynman para un sistema de Fermi". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas . 251 (1267). La Royal Society: 543–549. Bibcode :1959RSPSA.251..543M. doi :10.1098/rspa.1959.0127. ISSN  2053-9169. S2CID  123545904.

Lectura adicional

• Theodore Voronov: Teoría de la integración geométrica en supermanifolds , Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8 
• Berezin, Felix Alexandrovich: Introducción al superanalisis , Springer Netherlands, ISBN 978-90-277-1668-2