Esquema (matemáticas)

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , un esquema es una estructura que amplía la noción de variedad algebraica de varias maneras, como por ejemplo teniendo en cuenta multiplicidades (las ecuaciones x = 0 y x ² = 0 definen la misma variedad algebraica pero esquemas diferentes) y permitiendo "variedades" definidas sobre cualquier anillo conmutativo (por ejemplo, las curvas de Fermat se definen sobre los números enteros ).

La teoría de esquemas fue introducida por Alexander Grothendieck en 1960 en su tratado Elementos de geometría algebraica (EGA); uno de sus objetivos era desarrollar el formalismo necesario para resolver problemas profundos de la geometría algebraica , como las conjeturas de Weil (la última de las cuales fue demostrada por Pierre Deligne ). ^[1] Fuertemente basada en el álgebra conmutativa , la teoría de esquemas permite un uso sistemático de métodos de topología y álgebra homológica . La teoría de esquemas también unifica la geometría algebraica con gran parte de la teoría de números , lo que finalmente llevó a la prueba de Wiles del Último Teorema de Fermat .

Los esquemas desarrollan la idea fundamental de que una variedad algebraica se analiza mejor a través del anillo de coordenadas de funciones algebraicas regulares definidas en ella (o en sus subconjuntos), y cada subvariedad corresponde al ideal de funciones que se desvanecen en la subvariedad. Intuitivamente, un esquema es un espacio topológico que consiste en puntos cerrados que corresponden a puntos geométricos, junto con puntos no cerrados que son puntos genéricos de subvariedades irreducibles. El espacio está cubierto por un atlas de conjuntos abiertos, cada uno dotado de un anillo de coordenadas de funciones regulares, con cambios de coordenadas especificados entre las funciones sobre conjuntos abiertos que se intersecan. Tal estructura se llama espacio anillado o haz de anillos. Los casos de principal interés son los esquemas noetherianos , en los que los anillos de coordenadas son anillos noetherianos .

Formalmente, un esquema es un espacio anillado cubierto por esquemas afines. Un esquema afín es el espectro de un anillo conmutativo; sus puntos son los ideales primos del anillo y sus puntos cerrados son ideales maximales . El anillo de coordenadas de un esquema afín es el anillo mismo y los anillos de coordenadas de subconjuntos abiertos son anillos de fracciones .

El punto de vista relativo es que gran parte de la geometría algebraica debería desarrollarse para un morfismo X → Y de esquemas (llamado esquema X sobre la base Y ), en lugar de para un esquema individual. Por ejemplo, al estudiar superficies algebraicas , puede ser útil considerar familias de superficies algebraicas sobre cualquier esquema Y . En muchos casos, la familia de todas las variedades de un tipo dado puede verse en sí misma como una variedad o esquema, conocido como espacio de módulos .

Para conocer algunas de las definiciones detalladas de la teoría de esquemas, consulte el glosario de la teoría de esquemas .

Desarrollo

Los orígenes de la geometría algebraica se encuentran principalmente en el estudio de ecuaciones polinómicas sobre los números reales . En el siglo XIX, quedó claro (notablemente en el trabajo de Jean-Victor Poncelet y Bernhard Riemann ) que la geometría algebraica sobre los números reales se simplifica trabajando sobre el campo de los números complejos , que tiene la ventaja de ser algebraicamente cerrado . ^[2] A principios del siglo XX se observaron analogías entre la geometría algebraica y la teoría de números, lo que sugirió la pregunta: ¿puede desarrollarse la geometría algebraica sobre otros campos, como aquellos con característica positiva , y más generalmente sobre anillos de números como los enteros, donde las herramientas de topología y análisis complejo utilizadas para estudiar variedades complejas no parecen aplicarse?

El Nullstellensatz de Hilbert sugiere un enfoque de la geometría algebraica sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado k : los ideales máximos en el anillo polinomial k [ x ₁ ,..., x _n ] están en correspondencia biunívoca con el conjunto k ⁿ de n -tuplas de elementos de k , y los ideales primos corresponden a los conjuntos algebraicos irreducibles en k ⁿ , conocidos como variedades afines. Motivados por estas ideas, Emmy Noether y Wolfgang Krull desarrollaron el álgebra conmutativa en las décadas de 1920 y 1930. ^[3] Su trabajo generaliza la geometría algebraica en una dirección puramente algebraica, generalizando el estudio de los puntos (ideales máximos en un anillo polinomial) al estudio de los ideales primos en cualquier anillo conmutativo. Por ejemplo, Krull definió la dimensión de un anillo conmutativo en términos de ideales primos y, al menos cuando el anillo es noetheriano , demostró que esta definición satisface muchas de las propiedades intuitivas de la dimensión geométrica.

El álgebra conmutativa de Noether y Krull puede considerarse como un enfoque algebraico para las variedades algebraicas afines . Sin embargo, muchos argumentos en geometría algebraica funcionan mejor para las variedades proyectivas , esencialmente porque son compactas . Desde la década de 1920 hasta la de 1940, BL van der Waerden , André Weil y Oscar Zariski aplicaron el álgebra conmutativa como una nueva base para la geometría algebraica en el entorno más rico de las variedades proyectivas (o cuasi-proyectivas ). ^[4] En particular, la topología de Zariski es una topología útil en una variedad sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado, reemplazando en cierta medida la topología clásica en una variedad compleja (basada en la topología métrica de los números complejos).

Para las aplicaciones a la teoría de números, van der Waerden y Weil formularon la geometría algebraica sobre cualquier cuerpo, no necesariamente algebraicamente cerrado. Weil fue el primero en definir una variedad abstracta (no embebida en el espacio proyectivo ), mediante la unión de variedades afines a lo largo de subconjuntos abiertos, sobre el modelo de variedades abstractas en topología. Necesitaba esta generalidad para su construcción de la variedad jacobiana de una curva sobre cualquier cuerpo. (Más tarde, Weil, Chow y Matsusaka demostraron que las jacobianas eran variedades proyectivas ).

Los geómetras algebraicos de la escuela italiana habían utilizado a menudo el concepto un tanto confuso del punto genérico de una variedad algebraica. Lo que es cierto para el punto genérico es cierto para "la mayoría" de los puntos de la variedad. En Fundamentos de geometría algebraica de Weil (1946), los puntos genéricos se construyen tomando puntos en un campo algebraicamente cerrado muy grande, llamado dominio universal . ^[4] Esto funcionaba de forma extraña: había muchos puntos genéricos diferentes para la misma variedad. (En la teoría posterior de esquemas, cada variedad algebraica tiene un único punto genérico).

En la década de 1950, Claude Chevalley , Masayoshi Nagata y Jean-Pierre Serre , motivados en parte por las conjeturas de Weil que relacionaban la teoría de números y la geometría algebraica, ampliaron aún más los objetos de la geometría algebraica, por ejemplo generalizando los anillos de base permitidos. La palabra esquema se utilizó por primera vez en el Seminario Chevalley de 1956, en el que Chevalley prosiguió las ideas de Zariski. ^[5] Según Pierre Cartier , fue André Martineau quien sugirió a Serre la posibilidad de utilizar el espectro de un anillo conmutativo arbitrario como base para la geometría algebraica. ^[6]

Origen de los esquemas

La teoría tomó su forma definitiva en los Elementos de geometría algébrica (EGA) de Grothendieck y el posterior Séminaire de géométrie algébrique (SGA), poniendo fin a una generación de sugerencias experimentales y desarrollos parciales. ^[7] Grothendieck definió el espectro X de un anillo conmutativo R como el espacio de ideales primos de R con una topología natural (conocida como la topología de Zariski), pero lo aumentó con un haz de anillos: a cada subconjunto abierto U le asignó un anillo conmutativo O _X ( U ), que puede considerarse como el anillo de coordenadas de funciones regulares en U . Estos objetos Spec( R ) son los esquemas afines; un esquema general se obtiene entonces "pegando" esquemas afines.

Gran parte de la geometría algebraica se centra en variedades proyectivas o cuasiproyectivas sobre un cuerpo k, con mayor frecuencia sobre los números complejos. Grothendieck desarrolló un amplio cuerpo de teoría para esquemas arbitrarios que extienden gran parte de la intuición geométrica para las variedades. Por ejemplo, es común construir un espacio de módulos primero como un esquema, y solo después estudiar si es un objeto más concreto como una variedad proyectiva. La aplicación de la teoría de Grothendieck a esquemas sobre los números enteros y otros cuerpos numéricos condujo a nuevas y poderosas perspectivas en la teoría de números.

Definición

Un esquema afín es un espacio anillado localmente isomorfo al espectro Spec( R ) de un anillo conmutativo R . Un esquema es un espacio anillado localmente X que admite un recubrimiento por conjuntos abiertos U _i , tal que cada U _i (como un espacio anillado localmente) es un esquema afín. ^[8] En particular, X viene con un haz O _X , que asigna a cada subconjunto abierto U un anillo conmutativo O _X ( U ) llamado el anillo de funciones regulares en U . Se puede pensar en un esquema como si estuviera cubierto por "cartas de coordenadas" que son esquemas afines. La definición significa exactamente que los esquemas se obtienen pegando esquemas afines utilizando la topología de Zariski.

En los primeros tiempos, esto se llamaba preesquema , y un esquema se definía como un preesquema separado . El término preesquema ha caído en desuso, pero todavía se puede encontrar en libros más antiguos, como "Éléments de géométrie algébrique" de Grothendieck y "Red Book" de Mumford . ^[9] Las propiedades de haz de O _X ( U ) significan que sus elementos , que no son necesariamente funciones, pueden, no obstante, unirse a partir de sus restricciones de la misma manera que las funciones.

Un ejemplo básico de un esquema afín es el n -espacio afín sobre un cuerpo k , para un número natural n . Por definición, A^no
_kes el espectro del anillo polinomial k [ x ₁ ,..., x _n ]. En el espíritu de la teoría de esquemas, el n -espacio afín puede de hecho definirse sobre cualquier anillo conmutativo R , es decir, Spec( R [ x ₁ ,..., x _n ]).

La categoría de esquemas

Los esquemas forman una categoría , con morfismos definidos como morfismos de espacios anillados localmente. (Véase también: morfismo de esquemas ). Para un esquema Y , un esquema X sobre Y (o un Y - esquema ) significa un morfismo X → Y de esquemas. Un esquema X sobre un anillo conmutativo R significa un morfismo X → Spec( R ).

Una variedad algebraica sobre un cuerpo k se puede definir como un esquema sobre k con ciertas propiedades. Existen diferentes convenciones sobre qué esquemas exactamente deben llamarse variedades. Una opción estándar es que una variedad sobre k significa un esquema integral separado de tipo finito sobre k . ^[10]

Un morfismo f : X → Y de esquemas determina un homomorfismo de pullback en los anillos de funciones regulares, f *: O ( Y ) → O ( X ). En el caso de esquemas afines, esta construcción da una correspondencia biunívoca entre los morfismos Spec( A ) → Spec( B ) de esquemas y los homomorfismos de anillos B → A . ^[11] En este sentido, la teoría de esquemas subsume completamente la teoría de anillos conmutativos.

Dado que Z es un objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos , la categoría de esquemas tiene a Spec( Z ) como objeto terminal .

Para un esquema X sobre un anillo conmutativo R , un R - punto de X significa una sección del morfismo X → Spec( R ). Se escribe X ( R ) para el conjunto de R - puntos de X . En los ejemplos, esta definición reconstruye la antigua noción del conjunto de soluciones de las ecuaciones definitorias de X con valores en R . Cuando R es un cuerpo k , X ( k ) también se denomina el conjunto de k - puntos racionales de X .

De manera más general, para un esquema X sobre un anillo conmutativo R y cualquier R - álgebra conmutativa S , un S - punto de X significa un morfismo Spec( S ) → X sobre R . Se escribe X ( S ) para el conjunto de S -puntos de X . (Esto generaliza la antigua observación de que dadas algunas ecuaciones sobre un cuerpo k , se puede considerar el conjunto de soluciones de las ecuaciones en cualquier extensión de cuerpo E de k .) Para un esquema X sobre R , la asignación S ↦ X ( S ) es un funtor de R -álgebras conmutativas a conjuntos. Es una observación importante que un esquema X sobre R está determinado por este funtor de puntos . ^[12]

El producto de fibra de esquemas siempre existe. Es decir, para cualesquiera esquemas X y Z con morfismos hacia un esquema Y , el producto de fibra categórico existe en la categoría de esquemas. Si X y Z son esquemas sobre un cuerpo k , su producto de fibra sobre Spec( k ) puede llamarse el producto X × Z en la categoría de k -esquemas. Por ejemplo, el producto de espacios afines y sobre k es espacio afín sobre k . $X\times _{Y}Z$ $\mathbb {A} ^{m}$ $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathbb {A} ^{m+n}$

Dado que la categoría de esquemas tiene productos de fibra y también un objeto terminal Spec( Z ), tiene todos los límites finitos .

Ejemplos

Aquí y abajo, todos los anillos considerados son conmutativos.

Espacio afín

Sea un cuerpo algebraicamente cerrado. El espacio afín es la variedad algebraica de todos los puntos con coordenadas en ; su anillo de coordenadas es el anillo de polinomios . El esquema correspondiente es un espacio topológico con la topología de Zariski, cuyos puntos cerrados son los ideales maximales , el conjunto de polinomios que se anulan en . El esquema también contiene un punto no cerrado para cada ideal primo no maximalista , cuyo anulación define una subvariedad irreducible ; el cierre topológico del punto del esquema es el subesquema , que incluye todos los puntos cerrados de la subvariedad, es decir con , o equivalentemente . ${\estilo de visualización k}$ ${\bar {X}}=\mathbb {A}_{k}^{n}$ $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ${\estilo de visualización k}$ $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $X=\mathrm {Espec.} (R)$ ${\mathfrak {m}}_{a}=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n})$ ${\estilo de visualización a}$ ${\mathfrak {p}}\subconjunto R$ ${\bar {V}}={\bar {V}}({\mathfrak {p}})\subconjunto {\bar {X}}$ ${\mathfrak {p}}$ $V({\mathfrak {p}})=\{{\mathfrak {q}}\en X\ \ {\text{con}}\ \ {\mathfrak {p}}\subconjunto {\mathfrak {q}}\}$ ${\mathfrak {m}}_{a}$ $a\in {\bar {V}}$ ${\mathfrak {p}}\subconjunto {\mathfrak {m}}_{a}$

El esquema tiene una base de subconjuntos abiertos dados por los complementos de hipersuperficies, ${\estilo de visualización X}$

$U_{f}=X\smallsetminus V(f)=\{{\mathfrak {p}}\en X\ \ {\text{con}}\ \ f\notin {\mathfrak {p}}\}$

para polinomios irreducibles . Este conjunto está dotado de su anillo de coordenadas de funciones regulares. $f\en R$

${\mathcal {O}}_{X}(U_{f})=R[f^{-1}]=\{{\tfrac {r}{f^{m}}}\ \ {\text{para}}\ \ r\in R,\ m\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\}$ .

Esto induce un haz único que da el anillo habitual de funciones racionales regulares en un conjunto abierto dado . ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\estilo de visualización U}$

Cada elemento del anillo , una función polinómica en , también define una función en los puntos del esquema cuyo valor en se encuentra en el anillo cociente , el anillo de residuos . Definimos como la imagen de bajo la función natural . Un ideal maximal da el campo de residuos , con el isomorfismo natural , de modo que corresponde al valor original . $r=r(x_{1},\ldots ,x_{n})\en R$ ${\estilo de visualización {\bar {X}}}$ ${\estilo de visualización X}$ ${\mathfrak {p}}$ $R/{\mathfrak {p}}$ $r({\mathfrak {p}})$ ${\estilo de visualización r}$ $R\to R/{\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {m}}_{a}$ $k({\mathfrak {m}}_{a})=R/{\mathfrak {m}}_{a}\cong k$ $x_{i}\mapsto a_{i}$ $r({\mathfrak {m}}_{a})$ $r(a)$

El lugar de desaparición de un polinomio es una subvariedad de hipersuperficie , correspondiente al ideal principal . El esquema correspondiente es , un subesquema cerrado del espacio afín. Por ejemplo, tomando como los números complejos o reales , la ecuación define una curva cúbica nodal en el plano afín , correspondiente al esquema . $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\bar {V}}(f)\subconjunto \mathbb {A} _{k}^{n}$ $(f)\subconjunto R$ ${\textstyle V(f)=\operatorname {Especificación} (R/(f))}$ ${\estilo de visualización k}$ $x^{2}=y^{2}(y+1)$ $\mathbb {A}_{k}^{2}$ $V=\operatorname {Espec} k[x,y]/(x^{2}-y^{2}(y+1))$

Especificación de los números enteros

El anillo de los números enteros puede considerarse como el anillo de coordenadas del esquema . La topología de Zariski tiene puntos cerrados , los ideales principales de los números primos ; así como el punto genérico , el ideal cero, cuya clausura es todo el esquema . Los conjuntos cerrados son conjuntos finitos, y los conjuntos abiertos son sus complementos, los conjuntos cofinitos; cualquier conjunto infinito de puntos es denso. $\mathbb {Z}$ $Z=\operatorname {Especificación} (\mathbb {Z} )$ ${\mathfrak {m}}_{p}=(p)$ $p\in \mathbb {Z}$ ${\mathfrak {p}}_{0}=(0)$

El conjunto abierto base correspondiente al elemento irreducible es , con anillo de coordenadas . Para el conjunto abierto , esto induce . $p\in \mathbb {Z}$ $U_{p}=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p}\}$ ${\mathcal {O}}_{Z}(U_{p})=\mathbb {Z} [p^{-1}]=\{{\tfrac {n}{p^{m}}}\ {\text{for}}\ n\in \mathbb {Z} ,\ m\geq 0\}$ $U=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p_{1}},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{p_{\ell }}\}$ ${\mathcal {O}}_{Z}(U)=\mathbb {Z} [p_{1}^{-1},\ldots ,p_{\ell }^{-1}]$

Un número corresponde a una función en el esquema , una función cuyo valor en se encuentra en el cuerpo de residuos , el cuerpo finito de números enteros módulo : la función está definida por , y también en el anillo de residuos genérico . La función está determinada por sus valores en los puntos solamente, por lo que podemos pensar en ella como una especie de "función regular" en los puntos cerrados, un tipo muy especial entre las funciones arbitrarias con . $n\in \mathbb {Z}$ $Z$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $k({\mathfrak {m}}_{p})=\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {F} _{p}$ $p$ $n({\mathfrak {m}}_{p})=n\ {\text{mod}}\ p$ $n({\mathfrak {p}}_{0})=n$ $\mathbb {Z} /(0)=\mathbb {Z}$ $n$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $n$ $f$ $f({\mathfrak {m}}_{p})\in \mathbb {F} _{p}$

Nótese que el punto es el lugar geométrico de desaparición de la función , el punto donde el valor de es igual a cero en el cuerpo de residuos. El cuerpo de "funciones racionales" en es el cuerpo de fracciones del anillo de residuos genérico, . Una fracción tiene "polos" en los puntos correspondientes a los divisores primos del denominador. ${\mathfrak {m}}_{p}$ $n=p$ $p$ $Z$ $k({\mathfrak {p}}_{0})=\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )=\mathbb {Q}$ $a/b$ ${\mathfrak {m}}_{p}$

Esto también da una interpretación geométrica del lema de Bezout que establece que si los números enteros no tienen ningún factor primo común, entonces hay números enteros con . Geométricamente, esta es una versión del Nullstellensatz débil de Hilbert para el esquema : si las funciones no tienen puntos de fuga comunes en , entonces generan el ideal unitario en el anillo de coordenadas . De hecho, podemos considerar los términos como formando una especie de partición de la unidad subordinada al recubrimiento de por los conjuntos abiertos . $n_{1},\ldots ,n_{r}$ $a_{1},\ldots ,a_{r}$ $a_{1}n_{1}+\cdots +a_{r}n_{r}=1$ $Z$ $n_{1},\ldots ,n_{r}$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $Z$ $(n_{1},\ldots ,n_{r})=(1)$ $\mathbb {Z}$ $\rho _{i}=a_{i}n_{i}$ $Z$ $U_{i}=Z\smallsetminus V(n_{i})$

Línea afín sobre los números enteros

El espacio afín es una variedad con anillo de coordenadas , los polinomios con coeficientes enteros. El esquema correspondiente es , cuyos puntos son todos los ideales primos . Los puntos cerrados son ideales maximales de la forma , donde es un número primo, y es un polinomio no constante sin factor entero y que es irreducible módulo . Así, podemos imaginarlo como bidimensional, con una "dirección característica" medida por la coordenada , y una "dirección espacial" con coordenada . $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{1}=\{a\ {\text{for}}\ a\in \mathbb {Z} \}$ $\mathbb {Z} [x]$ $Y=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])$ ${\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [x]$ ${\mathfrak {m}}=(p,f(x))$ $p$ $f(x)$ $p$ $Y$ $p$ $x$

Un número primo dado define una "recta vertical", el subesquema del ideal primo : ésta contiene para todos los , los " puntos característicos" del esquema. Fijando la coordenada , tenemos la "recta horizontal" , el subesquema del ideal primo . Tenemos también la recta correspondiente a la coordenada racional , que no se corta para los que dividen a . $p$ $V(p)$ ${\mathfrak {p}}=(p)$ ${\mathfrak {m}}=(p,f(x))$ $f(x)$ $p$ $x$ $x=a$ $V(x-a)$ ${\mathfrak {p}}=(x-a)$ $V(bx-a)$ $x=a/b$ $V(p)$ $p$ $b$

Un subesquema "horizontal" de grado superior como corresponde a valores que son raíces de , es decir . Esto se comporta de manera diferente bajo diferentes coordenadas . En , obtenemos dos puntos , ya que . En , obtenemos un punto doble ramificado , ya que . Y en , obtenemos que es un ideal primo correspondiente a en un cuerpo de extensión de ; como no podemos distinguir entre estos valores (son simétricos bajo el grupo de Galois ), deberíamos representarlos como dos puntos fusionados. En general, es una especie de fusión de dos líneas horizontales simétricas de Galois, una curva de grado 2. $V(x^{2}+1)$ $x$ $x^{2}+1$ $x=\pm {\sqrt {-1}}$ $p$ $p=5$ $x=\pm 2\ {\text{mod}}\ 5$ $(5,x^{2}+1)=(5,x-2)\cap (5,x+2)$ $p=2$ $x=1\ {\text{mod}}\ 2$ $(2,x^{2}+1)=(2,(x-1)^{2})$ $p=3$ ${\mathfrak {m}}=(3,x^{2}+1)$ $x=\pm {\sqrt {-1}}$ $\mathbb {F} _{3}$ $V(3,x^{2}+1)$ $V(x^{2}+1)$

El campo de residuos en es , una extensión de campo de adyacente a una raíz de ; este es un campo finito con elementos, . Un polinomio corresponde a una función en el esquema con valores , es decir . Nuevamente, cada uno está determinado por sus valores en puntos cerrados; es el lugar geométrico de desaparición del polinomio constante ; y contiene los puntos en cada característica correspondientes a órbitas de Galois de raíces de en el cierre algebraico . ${\mathfrak {m}}=(p,f(x))$ $k({\mathfrak {m}})=\mathbb {Z} [x]/{\mathfrak {m}}=\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))\cong \mathbb {F} _{p}(\alpha )$ $\mathbb {F} _{p}$ $x=\alpha$ $f(x)$ $p^{d}$ $d=\operatorname {deg} (f)$ $r(x)\in \mathbb {Z} [x]$ $Y$ $r({\mathfrak {m}})=r\ \mathrm {mod} \ {\mathfrak {m}}$ $r({\mathfrak {m}})=r(\alpha )\in \mathbb {F} _{p}(\alpha )$ $r(x)\in \mathbb {Z} [x]$ $r({\mathfrak {m}})$ $V(p)$ $r(x)=p$ $V(f(x))$ $p$ $f(x)$ ${\overline {\mathbb {F} }}_{p}$

El esquema no es adecuado , por lo que los pares de curvas pueden no intersectarse con la multiplicidad esperada . Este es un obstáculo importante para analizar ecuaciones diofánticas con herramientas geométricas . La teoría de Arakelov supera este obstáculo compactando los esquemas aritméticos afines, agregando puntos en el infinito correspondientes a las valoraciones . $Y$

Superficies aritméticas

Si consideramos un polinomio , entonces el esquema afín tiene un morfismo canónico a y se llama superficie aritmética . Las fibras son entonces curvas algebraicas sobre los cuerpos finitos . Si es una curva elíptica , entonces las fibras sobre su lugar discriminante, donde son todos esquemas singulares. ^[13] Por ejemplo, si es un número primo y entonces su discriminante es . Esta curva es singular sobre los números primos . $f\in \mathbb {Z} [x,y]$ $X=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x,y]/(f))$ $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ $X_{p}=X\times _{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c$ $\Delta _{f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}=0\ {\text{mod}}\ p,$ $p$ $X=\operatorname {Spec} {\frac {\mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}$ $-27p^{2}$ $3,p$

Esquemas no afines

Para cualquier anillo conmutativo R y número natural n , el espacio proyectivo puede construirse como un esquema pegando n + 1 copias del espacio n afín sobre R a lo largo de subconjuntos abiertos. Este es el ejemplo fundamental que motiva ir más allá de los esquemas afines. La ventaja clave del espacio proyectivo sobre el espacio afín es que es propio sobre R ; esta es una versión algebro-geométrica de compacidad. De hecho, el espacio proyectivo complejo es un espacio compacto en la topología clásica, mientras que no lo es. $\mathbb {P} _{R}^{n}$ $\mathbb {P} _{R}^{n}$ $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$
Un polinomio homogéneo f de grado positivo en el anillo de polinomios $R [x 0, ..., x n]$ determina un subesquema cerrado $f = 0$ en el espacio proyectivo , llamado hipersuperficie proyectiva . En términos de la construcción Proj , este subesquema se puede escribir como Por ejemplo, el subesquema cerrado $x$ $3$ $+$ $y$ $3$ $=$ $z$ $3$ de es una curva elíptica sobre los números racionales . $\mathbb {P} _{R}^{n}$ $\operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f).$ $\mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{2}$
La línea con dos orígenes (sobre un cuerpo k ) es el esquema definido al comenzar con dos copias de la línea afín sobre k , y unir los dos subconjuntos abiertos A ¹ − 0 mediante la función identidad. Este es un ejemplo simple de un esquema no separado. En particular, no es afín. ^[14]
Una razón simple para ir más allá de los esquemas afines es que un subconjunto abierto de un esquema afín no necesita ser afín. Por ejemplo, sea , digamos sobre los números complejos ; entonces X no es afín para n ≥ 2. (Sin embargo, la línea afín menos el origen es isomorfa al esquema afín . Para mostrar que X no es afín, uno calcula que cada función regular en X se extiende a una función regular en cuando n ≥ 2: esto es análogo al lema de Hartogs en análisis complejo, aunque más fácil de probar. Es decir, la inclusión induce un isomorfismo de a . Si X fuera afín, se seguiría que f es un isomorfismo, pero f no es sobreyectiva y por lo tanto no es un isomorfismo. Por lo tanto, el esquema X no es afín. ^[15] $X=\mathbb {A} ^{n}\smallsetminus \{0\}$ $\mathbb {C}$ $\mathrm {Spec} \,\mathbb {C} [x,x^{-1}]$ $\mathbb {A} ^{n}$ $f:X\to \mathbb {A} ^{n}$ $O(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $O(X)$
Sea k un cuerpo. Entonces el esquema es un esquema afín cuyo espacio topológico subyacente es la compactificación de Stone–Čech de los enteros positivos (con la topología discreta). De hecho, los ideales primos de este anillo están en correspondencia biunívoca con los ultrafiltros de los enteros positivos, correspondiendo el ideal al ultrafiltro principal asociado al entero positivo n . ^[16] Este espacio topológico es de dimensión cero , y en particular, cada punto es un componente irreducible . Dado que los esquemas afines son cuasi compactos , este es un ejemplo de un esquema cuasi compacto no noetheriano con infinitos componentes irreducibles. (Por el contrario, un esquema noetheriano tiene solo un número finito de componentes irreducibles). ${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$ ${\textstyle \prod _{m\neq n}k}$

Ejemplos de morfismos

También es fructífero considerar ejemplos de morfismos como ejemplos de esquemas ya que demuestran su eficacia técnica para encapsular muchos objetos de estudio en geometría algebraica y aritmética.

Motivación para los planes

A continuación se presentan algunas de las formas en que los esquemas van más allá de las nociones más antiguas de variedades algebraicas y su importancia.

Extensiones de campo. Dadas algunas ecuaciones polinómicas en n variables sobre un campo k , se puede estudiar el conjunto X ( k ) de soluciones de las ecuaciones en el conjunto producto k ⁿ . Si el campo k es algebraicamente cerrado (por ejemplo los números complejos), entonces se puede basar la geometría algebraica en conjuntos como X ( k ): definir la topología de Zariski sobre X ( k ), considerar aplicaciones polinómicas entre diferentes conjuntos de este tipo, y así sucesivamente. Pero si k no es algebraicamente cerrado, entonces el conjunto X ( k ) no es lo suficientemente rico. De hecho, se pueden estudiar las soluciones X ( E ) de las ecuaciones dadas en cualquier extensión de campo E de k , pero estos conjuntos no están determinados por X ( k ) en ningún sentido razonable. Por ejemplo, la curva plana X sobre los números reales definidos por x ² + y ² = −1 tiene X ( R ) vacío, pero X ( C ) no vacío. (De hecho, X ( C ) puede identificarse con C − 0.) Por el contrario, un esquema X sobre un cuerpo k tiene suficiente información para determinar el conjunto X ( E ) de puntos E -racionales para cada cuerpo de extensión E de k . (En particular, el subesquema cerrado de A²
_Rdefinido por x ² + y ² = −1 es un espacio topológico no vacío.)
Punto genérico. Los puntos de la recta afín A¹
_C, como esquema, son sus puntos complejos (uno por cada número complejo) junto con un punto genérico (cuyo cierre es el esquema completo). El punto genérico es la imagen de un morfismo natural Spec( C ( x )) → A¹
_C, donde C ( x ) es el campo de funciones racionales en una variable. Para ver por qué es útil tener un "punto genérico" real en el esquema, considere el siguiente ejemplo.
Sea X la curva plana y ² = x ( x −1)( x −5) sobre los números complejos. Este es un subesquema cerrado de A²
_CPuede verse como una doble cubierta ramificada de la línea afín A¹
_Cal proyectar a la coordenada x . La fibra del morfismo X → A ¹ sobre el punto genérico de A ¹ es exactamente el punto genérico de X , produciendo el morfismo Esto a su vez es equivalente a la extensión de grado -2 de los campos Por lo tanto, tener un punto genérico real de una variedad produce una relación geométrica entre un morfismo de grado 2 de variedades algebraicas y la extensión de grado 2 correspondiente de los campos de funciones . Esto se generaliza a una relación entre el grupo fundamental (que clasifica los espacios de recubrimiento en topología) y el grupo de Galois (que clasifica ciertas extensiones de campo ). De hecho, la teoría de Grothendieck del grupo fundamental étale trata al grupo fundamental y al grupo de Galois en el mismo pie de igualdad. $\operatorname {Spec} \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right)\to \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x).$ $\mathbf {C} (x)\subset \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right).$

Elementos nilpotentes . Sea X el subesquema cerrado de la recta afín A¹
_Cdefinida por x ² = 0, a veces llamada punto gordo . El anillo de funciones regulares en X es C [ x ]/( x ² ); en particular, la función regular x en X es nilpotente pero no cero. Para indicar el significado de este esquema: dos funciones regulares en la línea afín tienen la misma restricción a X si y solo si tienen el mismo valor y primera derivada en el origen. Permitir tales esquemas no reducidos trae las ideas del cálculo y los infinitesimales a la geometría algebraica.
Los elementos nilpotentes surgen de forma natural en la teoría de intersecciones . Por ejemplo, en el plano sobre un cuerpo , con anillo de coordenadas , considere el eje x , que es la variedad , y la parábola , que es . Su intersección en teoría de esquemas está definida por el ideal . Dado que la intersección no es transversal , este no es simplemente el punto definido por el ideal , sino más bien un punto gordo que contiene la dirección tangente del eje x (la tangente común de las dos curvas) y que tiene anillo de coordenadas: La multiplicidad de intersección de 2 se define como la longitud de este -módulo, es decir, su dimensión como un -espacio vectorial. $\mathbb {A} _{k}^{2}$ $k$ $k[x,y]$ $V(y)$ $y=x^{2}$ $V(x^{2}-y)$ $(y)+(x^{2}-y)=(x^{2},\,y)$ $(x,y)=(0,0)$ $(x,y)\subset k[x,y]$ ${\frac {k[x,y]}{(x^{2},\,y)}}\cong {\frac {k[x]}{(x^{2})}}.$ $k[x,y]$ $k$
Para un ejemplo más elaborado, se pueden describir todos los subesquemas cerrados de dimensión cero de grado 2 en una variedad compleja suave Y . Tal subesquema consiste en dos puntos complejos distintos de Y , o bien un subesquema isomorfo a X = Spec C [ x ]/( x ² ) como en el párrafo anterior. Los subesquemas del último tipo están determinados por un punto complejo y de Y junto con una línea en el espacio tangente T _y Y . ^[17] Esto indica nuevamente que los subesquemas no reducidos tienen un significado geométrico, relacionado con las derivadas y los vectores tangentes.

Haces coherentes

Una parte central de la teoría de esquemas es la noción de haces coherentes , que generaliza la noción de fibrados vectoriales (algebraicos) . Para un esquema X , se comienza considerando la categoría abeliana de O _X -módulos , que son haces de grupos abelianos en X que forman un módulo sobre el haz de funciones regulares O _X. En particular, un módulo M sobre un anillo conmutativo R determina un O _X -módulo asociado ~METROen X = Spec( R ). Un haz cuasi-coherente en un esquema X significa un O _X -módulo que es el haz asociado a un módulo en cada subconjunto abierto afín de X . Finalmente, un haz coherente (en un esquema noetheriano X , por ejemplo) es un O _X -módulo que es el haz asociado a un módulo finitamente generado en cada subconjunto abierto afín de X .

Los haces coherentes incluyen la importante clase de fibrados vectoriales , que son los haces que provienen localmente de módulos libres finitamente generados . Un ejemplo es el fibrado tangente de una variedad suave sobre un cuerpo. Sin embargo, los haces coherentes son más ricos; por ejemplo, un fibrado vectorial en un subesquema cerrado Y de X puede verse como un haz coherente en X que es cero fuera de Y (por la construcción de imagen directa ). De esta manera, los haces coherentes en un esquema X incluyen información sobre todos los subesquemas cerrados de X. Además, la cohomología de haces tiene buenas propiedades para haces coherentes (y cuasi-coherentes). La teoría resultante de la cohomología de haces coherentes es quizás la principal herramienta técnica en geometría algebraica. ^[18]^[19]

Generalizaciones

Considerado como su funtor de puntos, un esquema es un funtor que es un haz de conjuntos para la topología de Zariski en la categoría de anillos conmutativos, y que, localmente en la topología de Zariski, es un esquema afín. Esto se puede generalizar de varias maneras. Una es usar la topología étale . Michael Artin definió un espacio algebraico como un funtor que es un haz en la topología étale y que, localmente en la topología étale, es un esquema afín. Equivalentemente, un espacio algebraico es el cociente de un esquema por una relación de equivalencia étale. Un resultado poderoso, el teorema de representabilidad de Artin, proporciona condiciones simples para que un funtor sea representado por un espacio algebraico. ^[20]

Otra generalización es la idea de pila . En términos generales, las pilas algebraicas generalizan los espacios algebraicos al tener un grupo algebraico adjunto a cada punto, que se considera como el grupo de automorfismos de ese punto. Por ejemplo, cualquier acción de un grupo algebraico G sobre una variedad algebraica X determina una pila de cocientes [ X / G ], que recuerda los subgrupos estabilizadores para la acción de G . De manera más general, los espacios de módulos en geometría algebraica a menudo se ven mejor como pilas, lo que permite realizar un seguimiento de los grupos de automorfismos de los objetos que se clasifican.

Grothendieck introdujo originalmente las pilas como una herramienta para la teoría de la descendencia . En esa formulación, las pilas son (informalmente hablando) haces de categorías. ^[21] A partir de esta noción general, Artin definió la clase más estrecha de pilas algebraicas (o "pilas de Artin"), que pueden considerarse objetos geométricos. Estas incluyen pilas de Deligne-Mumford (similares a los orbifolds en topología), para los cuales los grupos estabilizadores son finitos, y espacios algebraicos, para los cuales los grupos estabilizadores son triviales. El teorema de Keel-Mori dice que una pila algebraica con grupos estabilizadores finitos tiene un espacio de módulos grueso que es un espacio algebraico.

Otro tipo de generalización consiste en enriquecer el haz de estructura, acercando la geometría algebraica a la teoría de la homotopía . En este contexto, conocido como geometría algebraica derivada o "geometría algebraica espectral", el haz de estructura se sustituye por un análogo homotópico de un haz de anillos conmutativos (por ejemplo, un haz de espectros de anillos E-infinitos ). Estos haces admiten operaciones algebraicas que son asociativas y conmutativas solo hasta una relación de equivalencia. Tomando el cociente por esta relación de equivalencia se obtiene el haz de estructura de un esquema ordinario. Sin embargo, no tomar el cociente conduce a una teoría que puede recordar información superior, de la misma manera que los funtores derivados en el álgebra homológica producen información superior sobre operaciones como el producto tensorial y el funtor Hom sobre módulos.

Véase también

Citas

^ Introducción de la primera edición de " Éléments de géométrie algébrique ".
^ Dieudonné 1985, Capítulos IV y V.
^ Dieudonné 1985, apartados VII.2 y VII.5.
^ ab Dieudonné 1985, sección VII.4.
^ Chevalley, C. (1955-1956), Les schémas, Séminaire Henri Cartan, vol. 8
^ Cartier 2001, nota 29.
^ Dieudonné 1985, secciones VII.4, VIII.2, VIII.3.
^ Hartshorne 1997, sección II.2.
^ Mumford 1999, Capítulo II.
^ Proyecto Stacks, etiqueta 020D.
^ Hartshorne 1997, Proposición II.2.3.
^ Eisenbud y Harris 1998, Proposición VI-2.
^ "Curvas elípticas" (PDF) . pág. 20.
^ Hartshorne 1997, Ejemplo II.4.0.1.
^ Hartshorne 1997, Ejercicios I.3.6 y III.4.3.
^ Arapura 2011, sección 1.
^ Eisenbud y Harris 1998, Ejemplo II-10.
^ Dieudonné 1985, secciones VIII.2 y VIII.3.
^ Hartshorne 1997, Capítulo III.
^ Proyecto Stacks, Etiqueta 07Y1.
^ Vistoli 2005, Definición 4.6.

Referencias

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Cartier, Pierre (2001), "Un día de trabajo loco: de Grothendieck a Connes y Kontsevich. La evolución de los conceptos de espacio y simetría", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 38 (4): 389–408, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00913-2 , MR 1848254
Dieudonné, Jean (1985), Historia de la geometría algebraica , Wadsworth, ISBN 978-0-534-03723-9, Sr. 0780183
Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998). La geometría de los esquemas. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98637-1.Sr. 1730819 .
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Vistoli, Angelo (2005), "Topologías de Grothendieck, categorías fibrosas y teoría de la descendencia", Geometría algebraica fundamental , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode :2004math.....12512V, MR 2223406

Enlaces externos

David Mumford, ¿Se pueden explicar los esquemas a los biólogos?
Autores del Proyecto Stacks, Proyecto Stacks
https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ - la sección de comentarios contiene una discusión interesante sobre la teoría de esquemas (incluidas las publicaciones de Terence Tao ).