En matemáticas , una variedad cuasi-proyectiva en geometría algebraica es un subconjunto localmente cerrado de una variedad proyectiva , es decir, la intersección dentro de algún espacio proyectivo de un subconjunto Zariski-abierto y un subconjunto Zariski-cerrado . Una definición similar se utiliza en la teoría de esquemas , donde un esquema cuasi-proyectivo es un subesquema localmente cerrado de algún espacio proyectivo . [1]
Un espacio afín es un subconjunto Zariski-abierto de un espacio proyectivo , y dado que cualquier subconjunto afín cerrado puede expresarse como una intersección de la completitud proyectiva y el espacio afín embebido en el espacio proyectivo, esto implica que cualquier variedad afín es cuasiproyectiva. Hay subconjuntos localmente cerrados del espacio proyectivo que no son afines, de modo que cuasiproyectivo es más general que afín. Tomando el complemento de un único punto en el espacio proyectivo de dimensión al menos 2 se obtiene una variedad cuasiproyectiva no afín. Este es también un ejemplo de una variedad cuasiproyectiva que no es ni afín ni proyectiva.
Dado que las variedades cuasi-proyectivas generalizan tanto las variedades afines como las proyectivas, a veces se las denomina simplemente variedades . Las variedades isomorfas a las variedades algebraicas afines como variedades cuasi-proyectivas se denominan variedades afines ; de manera similar para las variedades proyectivas. Por ejemplo, el complemento de un punto en la línea afín, es decir, , es isomorfo al conjunto cero del polinomio en el plano afín. Como un conjunto afín no es cerrado ya que cualquier cero polinomial en el complemento debe ser cero en la línea afín. Para otro ejemplo, el complemento de cualquier cónica en el espacio proyectivo de dimensión 2 es afín. Las variedades isomorfas a subconjuntos abiertos de variedades afines se denominan cuasi-afines .
Las variedades cuasiproyectivas son localmente afines en el mismo sentido que una variedad es localmente euclidiana : cada punto de una variedad cuasiproyectiva tiene un entorno que es una variedad afín. Esto produce una base de conjuntos afines para la topología de Zariski sobre una variedad cuasiproyectiva.
