Descripciones matemáticas del campo electromagnético

Formulaciones del electromagnetismo

Existen diversas descripciones matemáticas del campo electromagnético que se utilizan en el estudio del electromagnetismo , una de las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza. En este artículo se discuten varios enfoques, aunque las ecuaciones se expresan en términos de campos eléctricos y magnéticos, potenciales y cargas con corrientes, en términos generales.

Enfoque de campo vectorial

La descripción más común del campo electromagnético utiliza dos campos vectoriales tridimensionales llamados campo eléctrico y campo magnético . Estos campos vectoriales tienen cada uno un valor definido en cada punto del espacio y del tiempo y, por lo tanto, suelen considerarse funciones de las coordenadas del espacio y del tiempo. Como tal, a menudo se escriben como E ( x , y , z , t ) (campo eléctrico) y B ( x , y , z , t ) (campo magnético).

Si solo el campo eléctrico ( E ) es distinto de cero y es constante en el tiempo, se dice que el campo es un campo electrostático . De manera similar, si solo el campo magnético ( B ) es distinto de cero y es constante en el tiempo, se dice que el campo es un campo magnetostático . Sin embargo, si el campo eléctrico o el magnético tienen una dependencia del tiempo, entonces ambos campos deben considerarse juntos como un campo electromagnético acoplado utilizando las ecuaciones de Maxwell .

Ecuaciones de Maxwell en el enfoque del campo vectorial

El comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos, ya sea en los casos de electrostática, magnetostática o electrodinámica (campos electromagnéticos), está gobernado por las ecuaciones de Maxwell-Heaviside :

donde ρ es la densidad de carga , que puede depender (y a menudo depende) del tiempo y la posición, ε ₀ es la constante eléctrica , μ ₀ es la constante magnética y J es la corriente por unidad de área , también una función del tiempo y la posición. Las ecuaciones toman esta forma con el Sistema Internacional de Cantidades .

Cuando se trabaja únicamente con materiales lineales isótropos no dispersivos, las ecuaciones de Maxwell suelen modificarse para ignorar las cargas ligadas, reemplazando la permeabilidad y permitividad del espacio libre por la permeabilidad y permitividad del material lineal en cuestión. Para algunos materiales que tienen respuestas más complejas a los campos electromagnéticos, estas propiedades pueden representarse mediante tensores, con dependencia temporal relacionada con la capacidad del material para responder a cambios rápidos de campo ( dispersión (óptica) , relaciones de Green-Kubo ), y posiblemente también dependencias de campo que representan respuestas no lineales y/o no locales del material a campos de gran amplitud ( óptica no lineal ).

Enfoque de campo potencial

Muchas veces, en el uso y cálculo de campos eléctricos y magnéticos, el método utilizado calcula primero un potencial asociado: el potencial eléctrico , , para el campo eléctrico, y el potencial vectorial magnético , A , para el campo magnético. El potencial eléctrico es un campo escalar, mientras que el potencial magnético es un campo vectorial. Por eso, a veces, el potencial eléctrico se denomina potencial escalar y el potencial magnético se denomina potencial vectorial. Estos potenciales se pueden utilizar para encontrar sus campos asociados de la siguiente manera: ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$$

Ecuaciones de Maxwell en formulación potencial

Estas relaciones se pueden sustituir en las ecuaciones de Maxwell para expresarlas en términos de los potenciales. La ley de Faraday y la ley de Gauss para el magnetismo (las ecuaciones homogéneas) resultan ser idénticamente verdaderas para cualquier potencial. Esto se debe a la forma en que los campos se expresan como gradientes y rizos de los potenciales escalares y vectoriales. Las ecuaciones homogéneas en términos de estos potenciales implican la divergencia del rizo y el rizo del gradiente , que siempre son cero. Las otras dos ecuaciones de Maxwell (las ecuaciones no homogéneas) son las que describen la dinámica en la formulación del potencial. ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \times \nabla \varphi }$

Ecuaciones de Maxwell ( formulación potencial )

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J} }$

Estas ecuaciones tomadas en conjunto son tan potentes y completas como las ecuaciones de Maxwell. Además, el problema se ha reducido un poco, ya que los campos eléctrico y magnético juntos tenían seis componentes para resolver. ^[1] En la formulación del potencial, solo hay cuatro componentes: el potencial eléctrico y los tres componentes del potencial vectorial. Sin embargo, las ecuaciones son más confusas que las ecuaciones de Maxwell que utilizan los campos eléctrico y magnético.

Libertad de medición

Estas ecuaciones se pueden simplificar aprovechando el hecho de que los campos eléctrico y magnético son cantidades físicamente significativas que se pueden medir; los potenciales, no. Existe la libertad de restringir la forma de los potenciales siempre que esto no afecte a los campos eléctrico y magnético resultantes, llamada libertad de calibre . Específicamente para estas ecuaciones, para cualquier elección de una función escalar dos veces diferenciable de posición y tiempo λ , si ( φ , A ) es una solución para un sistema dado, entonces también lo es otro potencial ( φ ′, A ′) dado por: $${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$$

Esta libertad se puede utilizar para simplificar la formulación potencial. Normalmente se elige una de estas dos funciones escalares: la de calibre de Coulomb y la de calibre de Lorenz.

Calibre de Coulomb

El calibre de Coulomb se elige de tal manera que , lo que corresponde al caso de la magnetostática. En términos de λ , esto significa que debe satisfacer la ecuación ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=0}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} .}$$

Esta elección de función da como resultado la siguiente formulación de las ecuaciones de Maxwell: $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\!\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\nabla \!\!\left(\!{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}\!\right)}$$

A continuación se indican algunas características de las ecuaciones de Maxwell en el calibre de Coulomb. En primer lugar, la solución del potencial eléctrico es muy sencilla, ya que la ecuación es una versión de la ecuación de Poisson . En segundo lugar, la solución del potencial vectorial magnético es especialmente difícil. Esta es la gran desventaja de este calibre. La tercera cosa que hay que tener en cuenta, y algo que no resulta inmediatamente obvio, es que el potencial eléctrico cambia instantáneamente en todas partes en respuesta a un cambio de las condiciones en una localidad.

Por ejemplo, si una carga se mueve en Nueva York a la 1 pm hora local, entonces un observador hipotético en Australia que pudiera medir el potencial eléctrico directamente mediría un cambio en el potencial a la 1 pm hora de Nueva York. Esto aparentemente viola la causalidad en la relatividad especial , es decir, la imposibilidad de que la información, las señales o cualquier cosa viaje más rápido que la velocidad de la luz. La solución a este aparente problema radica en el hecho de que, como se dijo anteriormente, ningún observador puede medir los potenciales; miden los campos eléctrico y magnético. Entonces, la combinación de ∇ φ y ∂ A /∂ t utilizada para determinar el campo eléctrico restablece el límite de velocidad impuesto por la relatividad especial para el campo eléctrico, lo que hace que todas las cantidades observables sean consistentes con la relatividad.

Estado del calibre Lorenz

Un indicador que se utiliza a menudo es la condición de indicador de Lorenz . En ella, la función escalar λ se elige de modo que λ debe satisfacer la ecuación $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}},}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial t^{2}}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.}$$

El calibre de Lorenz da como resultado la siguiente forma de las ecuaciones de Maxwell: $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\mathbf {A} '=-\mu _{0}\mathbf {J} }$$

El operador se denomina d'Alembertiano (algunos autores lo denotan solo por el cuadrado ). Estas ecuaciones son versiones no homogéneas de la ecuación de onda , con los términos del lado derecho de la ecuación que sirven como funciones fuente para la onda. Como con cualquier ecuación de onda, estas ecuaciones conducen a dos tipos de solución: potenciales avanzados (que están relacionados con la configuración de las fuentes en puntos futuros en el tiempo) y potenciales retardados (que están relacionados con las configuraciones pasadas de las fuentes); los primeros generalmente se ignoran cuando el campo se analiza desde una perspectiva de causalidad. ${\displaystyle \Box ^{2}}$ ${\displaystyle \Box }$

Como se señaló anteriormente, el calibre de Lorenz no es más válido que cualquier otro calibre ya que los potenciales no se pueden medir directamente, sin embargo, el calibre de Lorenz tiene la ventaja de que las ecuaciones son invariantes de Lorenz .

Extensión a la electrodinámica cuántica

La cuantificación canónica de los campos electromagnéticos se realiza elevando los potenciales escalares y vectoriales; φ ( x ), A ( x ), de campos a operadores de campo . Sustituyendo 1/ c ² = ε ₀ μ ₀ en las ecuaciones de calibre de Lorenz anteriores se obtiene:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} }$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

Aquí, J y ρ son la densidad de corriente y de carga del campo de materia . Si el campo de materia se toma de modo que describa la interacción de los campos electromagnéticos con el electrón de Dirac dado por el campo de espinor de Dirac de cuatro componentes ψ , las densidades de corriente y de carga tienen la forma: ^[2] donde α son las tres primeras matrices de Dirac . Con esto, podemos reescribir las ecuaciones de Maxwell como: $${\displaystyle \mathbf {J} =-e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{\dagger }\psi \,,}$$

Ecuaciones de Maxwell ( QED )

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}e\psi ^{\dagger }\psi }$

que es la forma utilizada en la electrodinámica cuántica .

Formulaciones del álgebra geométrica

De manera análoga a la formulación tensorial, se introducen dos objetos, uno para el campo electromagnético y otro para la densidad de corriente . En álgebra geométrica (AG), estos son multivectores , que a veces siguen el cálculo de Ricci .

Álgebra del espacio físico

En el Álgebra del espacio físico (APS), también conocida como álgebra de Clifford , el campo y la corriente están representados por multivectores. ${\displaystyle C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )}$

El multivector de campo, conocido como vector de Riemann-Silberstein , es y el multivector de cuatro corrientes es utilizando una base ortonormal . De manera similar, el pseudoescalar unitario es , debido a que la base utilizada es ortonormal. Estos vectores base comparten el álgebra de las matrices de Pauli , pero por lo general no se equiparan con ellas, ya que son objetos diferentes con diferentes interpretaciones. $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{k}\sigma _{k}+IcB^{k}\sigma _{k},}$$ $${\displaystyle c\rho -\mathbf {J} =c\rho -J^{k}\sigma _{k}}$$ ${\displaystyle \{\sigma _{k}\}}$ ${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

Después de definir la derivada $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}=\sigma ^{k}\partial _{k},}$$

Las ecuaciones de Maxwell se reducen a una única ecuación ^[3]

Ecuaciones de Maxwell (formulación APS)

${\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\right)\mathbf {F} =\mu _{0}c(c\rho -\mathbf {J} ).}$

En tres dimensiones, la derivada tiene una estructura especial que permite la introducción de un producto vectorial: de donde se ve fácilmente que la ley de Gauss es la parte escalar, la ley de Ampère-Maxwell es la parte vectorial, la ley de Faraday es la parte pseudovectorial y la ley de Gauss para el magnetismo es la parte pseudoescalar de la ecuación. Después de desarrollar y reorganizar, esto se puede escribir como $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +{\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +I{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} }$$ $${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)-c\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial {t}}}-\mu _{0}\mathbf {J} \right)+I\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} +{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial {t}}}\right)+Ic\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)=0}$$

Álgebra del espacio-tiempo

Podemos identificar APS como una subálgebra del álgebra del espacio-tiempo (STA) , definiendo y . Las s tienen las mismas propiedades algebraicas de las matrices gamma pero no se necesita su representación matricial. La derivada es ahora ${\displaystyle C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ $${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$$

El Riemann-Silberstein se convierte en un bivector y la carga y la densidad de corriente se convierten en un vector. $${\displaystyle F=\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-c(B^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}+B^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}+B^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}),}$$ $${\displaystyle J=J^{\mu }\gamma _{\mu }=c\rho \gamma _{0}+J^{k}\gamma _{k}=\gamma _{0}(c\rho -J^{k}\sigma _{k}).}$$

Debido a la identidad $${\displaystyle \gamma _{0}\nabla =\gamma _{0}\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma _{0}\gamma ^{k}\partial _{k}=\partial _{0}+\sigma ^{k}\partial _{k}={\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }},}$$

Las ecuaciones de Maxwell se reducen a una única ecuación

Ecuaciones de Maxwell (formulación STA)

${\displaystyle \nabla F=\mu _{0}cJ.}$

Enfoque de formas diferenciales

En lo que sigue, se utilizan unidades cgs-gaussianas , no unidades SI . (Para convertir al SI, consulte aquí ). Mediante la notación de Einstein , tomamos implícitamente la suma de todos los valores de los índices que pueden variar dentro de la dimensión.

Campo 2-formulario

En el espacio libre , donde ε = ε 0 y μ = μ 0 son constantes en todas partes, las ecuaciones de Maxwell se simplifican considerablemente una vez que se utiliza el lenguaje de la geometría diferencial y las formas diferenciales . Los campos eléctrico y magnético ahora se describen conjuntamente por una forma 2 F en una variedad espacio-temporal de 4 dimensiones . El tensor de Faraday ( tensor electromagnético ) se puede escribir como una forma 2 en el espacio de Minkowski con signatura métrica (− + + +) como que es la derivada exterior del potencial electromagnético de cuatro dimensiones. ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &\equiv {\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+E_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t+E_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t+E_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} :}$ $${\displaystyle \mathbf {A} =-\phi \,\mathrm {d} t+A_{x}\mathrm {d} x+A_{y}\mathrm {d} y+A_{z}\mathrm {d} z.}$$

Las ecuaciones libres de fuente pueden escribirse por la acción de la derivada exterior sobre esta 2-forma. Pero para las ecuaciones con términos fuente ( ley de Gauss y ecuación de Ampère-Maxwell ), se necesita el dual de Hodge de esta 2-forma. El operador de estrella de Hodge toma una forma p a una forma ( n − p )-, donde n es el número de dimensiones. Aquí, toma la 2-forma ( F ) y da otra 2-forma (en cuatro dimensiones, n − p = 4 − 2 = 2 ). Para los vectores cotangentes de base, el dual de Hodge se da como (ver Operador de estrella de Hodge § Cuatro dimensiones ) y así sucesivamente. Usando estas relaciones, el dual de la 2-forma de Faraday es el tensor de Maxwell, $${\displaystyle {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=-\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t,\quad {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t)=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,}$$ $${\displaystyle {\star }\mathbf {F} =-B_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t-B_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t-B_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t+E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$$

Corriente de 3 formas, corriente dual de 1 forma

Aquí, la forma 3- J se denomina forma de corriente eléctrica o forma 3 de corriente : $${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.}$$

Que F es una forma cerrada , y la derivada exterior de su dual de Hodge es la 3-forma actual, expresa las ecuaciones de Maxwell: ^[4]

Ecuaciones de Maxwell

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} }$

Aquí d denota la derivada exterior – un operador diferencial independiente de coordenadas y métricas naturales que actúa sobre formas, y el operador de estrella de Hodge (dual) es una transformación lineal del espacio de 2-formas al espacio de (4 − 2)-formas definidas por la métrica en el espacio de Minkowski (en cuatro dimensiones incluso por cualquier métrica conforme a esta métrica). Los campos están en unidades naturales donde 1/(4 πε ₀ ) = 1 . ${\displaystyle {\star }}$

Como d ² = 0, la forma 3- J satisface la conservación de la corriente ( ecuación de continuidad ): La forma 3-corriente se puede integrar sobre una región espacio-temporal tridimensional. La interpretación física de esta integral es la carga en esa región si es espacial, o la cantidad de carga que fluye a través de una superficie en una cierta cantidad de tiempo si esa región es una superficie espacial que cruza un intervalo temporal. Como la derivada exterior está definida en cualquier variedad , la versión en forma diferencial de la identidad de Bianchi tiene sentido para cualquier variedad de 4 dimensiones, mientras que la ecuación fuente está definida si la variedad está orientada y tiene una métrica de Lorentz. En particular, la versión en forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell es una formulación conveniente e intuitiva de las ecuaciones de Maxwell en relatividad general. $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathbf {J} }=\mathrm {d} ^{2}{\star }\mathbf {F} =0.}$$

Nota: En gran parte de la literatura, las notaciones y están invertidas, de modo que es una forma 1 llamada corriente y es una forma 3 llamada corriente dual. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$

Influencia macroscópica lineal de la materia

En una teoría lineal y macroscópica, la influencia de la materia en el campo electromagnético se describe a través de una transformación lineal más general en el espacio de 2-formas. Llamamos transformación constitutiva. El papel de esta transformación es comparable a la transformación de dualidad de Hodge. Las ecuaciones de Maxwell en presencia de materia se convierten entonces en: donde la 3-forma actual J todavía satisface la ecuación de continuidad d J = 0 . $${\displaystyle C:\Lambda ^{2}\ni \mathbf {F} \mapsto \mathbf {G} \in \Lambda ^{(4-2)}}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {G} =\mathbf {J} }$$

Cuando los campos se expresan como combinaciones lineales (de productos exteriores ) de formas base θ ⁱ , la relación constitutiva toma la forma donde las funciones de coeficientes de campo y los coeficientes constitutivos son anticonmutativos para el intercambio de los índices de cada uno. En particular, el operador de estrella de Hodge que se utilizó en el caso anterior se obtiene tomando en términos de notación de índice tensorial con respecto a una base (no necesariamente ortonormal) en un espacio tangente y su base dual en , que tiene la matriz métrica de Gram y su matriz inversa , y es el símbolo de Levi-Civita con . Hasta el escalamiento, este es el único tensor invariante de este tipo que se puede definir con la métrica. $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{pq}\mathbf {\theta } ^{p}\wedge \mathbf {\theta } ^{q}.}$$ $${\displaystyle G_{pq}=C_{pq}^{mn}F_{mn}}$$ $${\displaystyle C_{pq}^{mn}={\frac {1}{2}}g^{ma}g^{nb}\varepsilon _{abpq}{\sqrt {-g}}}$$ ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$ ${\displaystyle V=T_{p}M}$ ${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$ ${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )}$ ${\displaystyle \varepsilon _{abpq}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1234}=1}$

En esta formulación, el electromagnetismo se generaliza inmediatamente a cualquier variedad orientada en 4 dimensiones o, con pequeñas adaptaciones, a cualquier variedad.

Firma métrica alternativa

En la convención de signos del físico de partículas para la signatura métrica (+ − − −) , la forma 1 potencial es $${\displaystyle \mathbf {A} =\phi \,\mathrm {d} t-A_{x}\mathrm {d} x-A_{y}\mathrm {d} y-A_{z}\mathrm {d} z.}$$

La curvatura de Faraday de 2 formas se convierte en y el tensor de Maxwell se convierte en $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} \equiv &{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\=&E_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+E_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+E_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z-B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {{\star }\mathbf {F} }=-E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y-B_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x-B_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y-B_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z.}$$

La forma 3 actual J es y la forma 1 dual correspondiente es $${\displaystyle \mathbf {J} =-\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$$ $${\displaystyle {{\star }\mathbf {J} }=-\rho \,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z.}$$

La norma actual ahora es positiva y es igual a la forma de volumen canónica . $${\displaystyle {\mathbf {J} \wedge {\star }\mathbf {J} }=[\rho ^{2}+(j_{x})^{2}+(j_{y})^{2}+(j_{z})^{2}]\,{\star }(1)}$$ ${\displaystyle {\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$

Espacio-tiempo curvado

Formulación tradicional

La materia y la energía generan la curvatura del espacio-tiempo . Este es el tema de la relatividad general . La curvatura del espacio-tiempo afecta a la electrodinámica. Un campo electromagnético que tiene energía y momento también genera curvatura en el espacio-tiempo. Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo se pueden obtener reemplazando las derivadas en las ecuaciones en el espacio-tiempo plano con derivadas covariantes . (Si esta es la generalización apropiada requiere una investigación por separado). Las ecuaciones con fuente y sin fuente se convierten en ( unidades cgs-gaussianas ): y $${\displaystyle {4\pi \over c}j^{\beta }=\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \alpha }F^{\mu \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \alpha }F^{\alpha \mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }\,\!}$$ $${\displaystyle 0=\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=\nabla _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\nabla _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\nabla _{\alpha }F_{\beta \gamma }.\,}$$

Aquí hay un símbolo de Christoffel que caracteriza la curvatura del espacio-tiempo y ∇ _α es la derivada covariante. $${\displaystyle {\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }}$$

Formulación en términos de formas diferenciales

La formulación de las ecuaciones de Maxwell en términos de formas diferenciales se puede utilizar sin cambios en la relatividad general. La equivalencia de la formulación relativista general más tradicional que utiliza la derivada covariante con la formulación de forma diferencial se puede ver de la siguiente manera. Elija coordenadas locales x ^α que den una base de 1-formas d x ^α en cada punto del conjunto abierto donde se definen las coordenadas. Usando esta base y unidades cgs-gaussianas definimos

• El tensor de campo antisimétrico F _αβ , correspondiente a la forma 2 del campo F $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.}$$
• La forma 3-infinitesimal del vector de corriente J $${\displaystyle \mathbf {J} ={4\pi \over c}\left({\frac {1}{6}}j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }.\right)}$$

El tensor épsilon contraído con la forma diferencial 3 produce 6 veces el número de términos requeridos.

Aquí g es, como es habitual, el determinante de la matriz que representa el tensor métrico , g _αβ . Un pequeño cálculo que utiliza la simetría de los símbolos de Christoffel (es decir, la ausencia de torsión de la conexión de Levi-Civita ) y la constante covariante del operador de estrella de Hodge muestra que en este entorno de coordenadas tenemos:

• La identidad de Bianchi $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =2(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma })\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0,}$$
• La ecuación fuente $${\displaystyle \mathrm {d} {\star \mathbf {F} }={\frac {1}{6}}{F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\beta \gamma \delta \alpha }\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\mathbf {J} ,}$$
• La ecuación de continuidad $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {J} ={4\pi \over c}{j^{\alpha }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }=0.}$$

La electrodinámica clásica como curvatura de un haz de líneas

Una forma elegante e intuitiva de formular las ecuaciones de Maxwell es utilizar fibrados lineales complejos o un fibrado U(1) principal , sobre cuyas fibras actúa regularmente U(1) . La conexión U(1) principal ∇ en el fibrado lineal tiene una curvatura F = ∇ ² , que es una forma bidimensional que satisface automáticamente d F = 0 y puede interpretarse como una intensidad de campo. Si el fibrado lineal es trivial con una conexión de referencia plana d, podemos escribir ∇ = d + A y F = d A, siendo A la forma 1 compuesta por el potencial eléctrico y el potencial vectorial magnético .

En mecánica cuántica, la propia conexión se utiliza para definir la dinámica del sistema. Esta formulación permite una descripción natural del efecto Aharonov-Bohm . En este experimento, un campo magnético estático recorre un cable magnético largo (por ejemplo, un cable de hierro magnetizado longitudinalmente). Fuera de este cable, la inducción magnética es cero, en contraste con el potencial vectorial, que depende esencialmente del flujo magnético a través de la sección transversal del cable y no se desvanece fuera. Como tampoco hay campo eléctrico, el tensor de Maxwell F = 0 en toda la región espacio-temporal fuera del tubo, durante el experimento. Esto significa, por definición, que la conexión ∇ es plana allí.

Sin embargo, en el efecto Aharonov-Bohm mencionado anteriormente , la conexión depende del campo magnético que atraviesa el tubo, ya que la holonomía a lo largo de una curva no contráctil que rodea el tubo es el flujo magnético que atraviesa el tubo en las unidades adecuadas. Esto se puede detectar de forma cuántica con un experimento de difracción de electrones de doble rendija en una onda de electrones que viaja alrededor del tubo. La holonomía corresponde a un cambio de fase adicional, que conduce a un cambio en el patrón de difracción. ^{[6] [7]}

Discusión y otros enfoques

A continuación se exponen las razones para utilizar cada una de estas formulaciones.

Formulación potencial

En mecánica clásica avanzada es a menudo útil, y en mecánica cuántica frecuentemente esencial, expresar las ecuaciones de Maxwell en una formulación potencial que involucra el potencial eléctrico (también llamado potencial escalar ) φ , y el potencial magnético (un potencial vectorial ) A . Por ejemplo, el análisis de antenas de radio hace uso completo de los potenciales escalares y vectoriales de Maxwell para separar las variables, una técnica común utilizada en la formulación de las soluciones de ecuaciones diferenciales. Los potenciales pueden introducirse utilizando el lema de Poincaré en las ecuaciones homogéneas para resolverlas de una manera universal (esto supone que consideramos un espacio topológicamente simple, por ejemplo, contráctil ). Los potenciales se definen como en la tabla anterior. Alternativamente, estas ecuaciones definen E y B en términos de los potenciales eléctricos y magnéticos que luego satisfacen las ecuaciones homogéneas para E y B como identidades. La sustitución da las ecuaciones de Maxwell no homogéneas en forma potencial.

Muchas opciones diferentes de A y φ son consistentes con los campos eléctricos y magnéticos observables dados E y B , por lo que los potenciales parecen contener más información ( clásicamente ) no observable. Sin embargo, la no unicidad de los potenciales se entiende bien. Para cada función escalar de posición y tiempo λ ( x , t ) , los potenciales pueden cambiarse mediante una transformación de calibre sin cambiar el campo eléctrico y magnético. Dos pares de potenciales transformados de calibre ( φ , A ) y ( φ ′, A ′) se denominan equivalente de calibre , y la libertad de seleccionar cualquier par de potenciales en su clase de equivalencia de calibre se denomina libertad de calibre . Nuevamente por el lema de Poincaré (y bajo sus supuestos), la libertad de calibre es la única fuente de indeterminación, por lo que la formulación de campo es equivalente a la formulación de potencial si consideramos las ecuaciones de potencial como ecuaciones para clases de equivalencia de calibre. $${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}},\quad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$$

Las ecuaciones de potencial se pueden simplificar utilizando un procedimiento llamado fijación de calibre . Dado que los potenciales solo se definen hasta la equivalencia de calibre, somos libres de imponer ecuaciones adicionales a los potenciales, siempre que para cada par de potenciales haya un par equivalente de calibre que satisfaga las ecuaciones adicionales (es decir, si las ecuaciones de fijación de calibre definen una porción de la acción de calibre). Los potenciales fijos de calibre todavía tienen una libertad de calibre bajo todas las transformaciones de calibre que dejan las ecuaciones de fijación de calibre invariantes. La inspección de las ecuaciones de potencial sugiere dos opciones naturales. En el calibre de Coulomb , imponemos ∇ ⋅ A = 0 , que se usa principalmente en el caso de magnetoestática cuando podemos descuidar el término c ⁻² ∂ ² A /∂ t ^2. En el calibre de Lorenz (nombrado en honor al danés Ludvig Lorenz ), imponemos La condición de calibre de Lorenz tiene la ventaja de ser invariante de Lorentz y conducir a ecuaciones invariantes de Lorentz para los potenciales. $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0\,.}$$

Enfoque manifiestamente covariante (tensor)

Las ecuaciones de Maxwell son exactamente compatibles con la relatividad especial , es decir, si son válidas en un sistema de referencia inercial, entonces son automáticamente válidas en cualquier otro sistema de referencia inercial. De hecho, las ecuaciones de Maxwell fueron cruciales en el desarrollo histórico de la relatividad especial. Sin embargo, en la formulación habitual de las ecuaciones de Maxwell, su compatibilidad con la relatividad especial no es obvia; solo se puede demostrar mediante un cálculo laborioso.

Por ejemplo, consideremos un conductor que se mueve en el campo de un imán . ^[8] En el marco del imán, ese conductor experimenta una fuerza magnética . Pero en el marco de un conductor que se mueve en relación con el imán, el conductor experimenta una fuerza debida a un campo eléctrico . El movimiento es exactamente consistente en estos dos marcos de referencia diferentes, pero matemáticamente surge de formas bastante diferentes.

Por esta razón y otras, a menudo resulta útil reescribir las ecuaciones de Maxwell de una manera que sea " manifiestamente covariante " (es decir, obviamente consistente con la relatividad especial, incluso con solo un vistazo a las ecuaciones) utilizando cuatrivectores y tensores covariantes y contravariantes . Esto se puede hacer utilizando el tensor EM F o el 4-potencial A con la 4-corriente J.

Enfoque de formas diferenciales

La ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Faraday-Maxwell pueden agruparse juntas ya que las ecuaciones son homogéneas, y pueden verse como identidades geométricas que expresan el campo F (una 2-forma), que puede derivarse del 4-potencial A . La ley de Gauss para la electricidad y la ley de Ampere-Maxwell podrían verse como las ecuaciones dinámicas de movimiento de los campos, obtenidas a través del principio de mínima acción de Lagrange , a partir del "término de interacción" AJ (introducido a través de derivadas covariantes de calibre ), acoplando el campo a la materia. Para la formulación de campo de las ecuaciones de Maxwell en términos de un principio de acción extremal , véase tensor electromagnético .

A menudo, la derivada temporal en la ecuación de Faraday-Maxwell motiva que se la denomine "dinámica", lo que es algo engañoso en el sentido del análisis precedente. Esto es más bien un artefacto de romper la covarianza relativista al elegir una dirección temporal preferida. Para tener grados de libertad físicos propagados por estas ecuaciones de campo, se debe incluir un término cinético F ⋆ F para A , y tener en cuenta los grados de libertad no físicos que se pueden eliminar mediante la transformación de calibre A ↦ A − d α . Véase también fijación de calibre y fantasmas de Faddeev-Popov .

Enfoque del cálculo geométrico

Esta formulación utiliza el álgebra que el espacio-tiempo genera mediante la introducción de un producto distributivo, asociativo (pero no conmutativo) llamado producto geométrico . Los elementos y operaciones del álgebra generalmente se pueden asociar con un significado geométrico. Los miembros del álgebra se pueden descomponer por grado (como en el formalismo de formas diferenciales) y el producto (geométrico) de un vector con un k -vector se descompone en un ( k − 1) -vector y un ( k + 1) -vector. El componente ( k − 1) -vector se puede identificar con el producto interno y el componente ( k + 1) -vector con el producto externo. Es de conveniencia algebraica que el producto geométrico sea invertible, mientras que los productos interno y externo no lo son. Como tal, se pueden utilizar técnicas poderosas como las funciones de Green . Las derivadas que aparecen en las ecuaciones de Maxwell son vectores y los campos electromagnéticos están representados por el bivector de Faraday F . Esta formulación es tan general como la de las formas diferenciales para variedades con tensor métrico, ya que entonces éstas se identifican naturalmente con las formas r y hay operaciones correspondientes. Las ecuaciones de Maxwell se reducen a una sola ecuación en este formalismo. Esta ecuación se puede separar en partes como se hizo anteriormente por razones comparativas.

Véase también

• Cálculo de Ricci
• Ecuación de onda electromagnética
• Velocidad de la luz
• Constante eléctrica
• Constante magnética
• Espacio libre
• Campo cercano y lejano
• Campo electromagnético
• Radiación electromagnética
• Electrodinámica cuántica
• Lista de ecuaciones de electromagnetismo

Notas

1. Introducción a la electrodinámica de Griffiths
2. Electrodinámica cuántica, Mathworld
3. Conferencia de la Medalla Oersted de David Hestenes "Reformando el lenguaje matemático de la física" (Am. J. Phys. 71 (2), febrero de 2003, págs. 104-121) pág. 26
4. Harley Flanders (1963) Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas , páginas 44 a 46, Academic Press
5. Misner, Charles W .; Thorne, Kip ; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . WH Freeman. pág. 81. ISBN 978-0-7167-0344-0.
6. M. Murray (5 de septiembre de 2008). "Line Bundles. Honours 1996" (PDF) . Universidad de Adelaida . Consultado el 19 de noviembre de 2010 .
7. R. Bott (1985). "Sobre algunas interacciones recientes entre las matemáticas y la física". Canadian Mathematical Bulletin . 28 (2): 129–164. doi : 10.4153/CMB-1985-016-3 .
8. Albert Einstein (1905) Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento

Referencias

• Warnick, Karl; Russer, Peter (2014). "Formas diferenciales y teoría del campo electromagnético" (PDF) . Avances en la investigación electromagnética . 148 : 83–112. doi : 10.2528/PIER14063009 .
• Russer, Peter (2006). Electromagnetismo, diseño de circuitos de microondas y antenas para ingeniería de comunicaciones (2.ª ed.). Artech House. ISBN 978-1-58053-907-4.(con problemas resueltos en Warnick, Russer 2006 ISBN 1-59693-096-9 ) 
• Hehl, Friedrich; Obukhov, Yuri (2003). Fundamentos de la electrodinámica clásica. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4222-8.
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Álgebra geométrica para físicos . Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-71595-9.