Axioma de elección

Axioma de la teoría de conjuntos

Ilustración del axioma de elección, con cada conjunto S _i representado como un tarro y sus elementos representados como canicas. Cada elemento x _i está representado como una canica a la derecha. Los colores se utilizan para sugerir una asociación funcional de canicas después de adoptar el axioma de elección. La existencia de dicha función de elección es, en general, independiente de ZF para conjuntos de cardinalidad infinita, incluso si todos los S _i son finitos.

(S _i ) es una familia infinita de conjuntos indexados sobre los números reales R ; es decir, hay un conjunto S _i para cada número real i , con una pequeña muestra mostrada arriba. Cada conjunto contiene al menos un elemento, y posiblemente infinitos elementos. El axioma de elección nos permite seleccionar un solo elemento de cada conjunto, formando una familia correspondiente de elementos ( x _i ) también indexados sobre los números reales, con x _i extraído de S _i . En general, las colecciones pueden indexarse ​​sobre cualquier conjunto I , (llamado conjunto índice cuyos elementos se usan como índices para elementos en un conjunto) no solo R .

En matemáticas , el axioma de elección , abreviado AC o AoC , es un axioma de la teoría de conjuntos equivalente a la afirmación de que un producto cartesiano de una colección de conjuntos no vacíos es no vacío . Dicho de manera informal, el axioma de elección dice que dada cualquier colección de conjuntos, cada uno de los cuales contiene al menos un elemento, es posible construir un nuevo conjunto eligiendo un elemento de cada conjunto, incluso si la colección es infinita . Formalmente, afirma que para cada familia indexada de conjuntos no vacíos , existe un conjunto indexado tal que para cada . El axioma de elección fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo para formalizar su prueba del teorema de buen orden . ^[1] ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle x_{i}\in S_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

En muchos casos, un conjunto creado mediante la elección de elementos se puede hacer sin invocar el axioma de elección, en particular si el número de conjuntos de los que elegir los elementos es finito, o si hay una regla canónica sobre cómo elegir los elementos disponible (alguna propiedad distintiva que se cumple exactamente para un elemento en cada conjunto). Un ejemplo ilustrativo son los conjuntos elegidos a partir de los números naturales. De estos conjuntos, siempre se puede seleccionar el número más pequeño, por ejemplo, dados los conjuntos {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}}, el conjunto que contiene cada elemento más pequeño es {4, 10, 1}. En este caso, "seleccionar el número más pequeño" es una función de elección . Incluso si se recopilan infinitos conjuntos a partir de los números naturales, siempre será posible elegir el elemento más pequeño de cada conjunto para producir un conjunto. Es decir, la función de elección proporciona el conjunto de elementos elegidos. Pero no se conoce ninguna función de elección definida para el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de los números reales. En ese caso, debe invocarse el axioma de elección.

Bertrand Russell acuñó una analogía: para cualquier colección (incluso infinita) de pares de zapatos, se puede escoger el zapato izquierdo de cada par para obtener una colección (es decir, un conjunto) de zapatos adecuada; esto hace posible definir una función de elección directamente. Para una colección infinita de pares de calcetines (que se supone que no tienen características distintivas como ser un calcetín izquierdo en lugar de un calcetín derecho), no hay una manera obvia de hacer una función que forme un conjunto a partir de la selección de un calcetín de cada par sin invocar el axioma de elección. ^[2]

Aunque originalmente fue controvertido, ahora la mayoría de los matemáticos utilizan sin reservas el axioma de elección ^[3] y está incluido en la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos , la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC). Una motivación para esto es que una serie de resultados matemáticos generalmente aceptados, como el teorema de Tichonoff , requieren el axioma de elección para sus demostraciones. Los teóricos de conjuntos contemporáneos también estudian axiomas que no son compatibles con el axioma de elección, como el axioma de determinación . El axioma de elección se evita en algunas variedades de matemáticas constructivas , aunque hay variedades de matemáticas constructivas en las que se adopta el axioma de elección.

Declaración

Una función de elección (también llamada selector o selección) es una función f , definida sobre una colección X de conjuntos no vacíos, tal que para cada conjunto A en X , f ( A ) es un elemento de A . Con este concepto, el axioma puede enunciarse:

Axioma  —  Para cualquier conjunto X de conjuntos no vacíos, existe una función de elección f que está definida en X y asigna cada conjunto de X a un elemento de ese conjunto.

Formalmente esto podría expresarse de la siguiente manera:

${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup _{A\in X}A\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\,.}$

Así, la negación del axioma puede expresarse como la existencia de una colección de conjuntos no vacíos que no tiene función de elección. Formalmente, esto puede deducirse haciendo uso de la equivalencia lógica de a . ${\displaystyle \neg \forall X\left[P(X)\to Q(X)\right]}$ ${\displaystyle \exists X\left[P(X)\land \neg Q(X)\right]}$

Cada función de elección en una colección X de conjuntos no vacíos es un elemento del producto cartesiano de los conjuntos en X . Esta no es la situación más general de un producto cartesiano de una familia de conjuntos, donde un conjunto dado puede aparecer más de una vez como factor; sin embargo, uno puede centrarse en elementos de dicho producto que seleccionan el mismo elemento cada vez que un conjunto dado aparece como factor, y dichos elementos corresponden a un elemento del producto cartesiano de todos los conjuntos distintos en la familia. El axioma de elección afirma la existencia de tales elementos; por lo tanto, es equivalente a:

Dada cualquier familia de conjuntos no vacíos, su producto cartesiano es un conjunto no vacío.

Nomenclatura

En este artículo y otras discusiones sobre el Axioma de Elección las siguientes abreviaturas son comunes:

• AC – el axioma de elección. Con menos frecuencia se utiliza AoC. ^[4]
• ZF – Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que omite el axioma de elección.
• ZFC – Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ampliada para incluir el axioma de elección.

Variantes

Existen muchos otros enunciados equivalentes del axioma de elección. Éstos son equivalentes en el sentido de que, en presencia de otros axiomas básicos de la teoría de conjuntos, implican el axioma de elección y son implicados por éste.

Una variación evita el uso de funciones de elección al reemplazar, en efecto, cada función de elección con su rango:

Dado cualquier conjunto X , si el conjunto vacío no es un elemento de X y los elementos de X son disjuntos entre sí , entonces existe un conjunto C tal que su intersección con cualquiera de los elementos de X contiene exactamente un elemento. ^[5]

Esto se puede formalizar en lógica de primer orden como:

∀x (

∃o (o ∈ x ∧ ¬∃n (n ∈ o)) ∨

∃a ∃b ∃c (a ∈ x ∧ b ∈ x ∧ c ∈ a ∧ c ∈ b ∧ ¬(a = b)) ∨

∃c ∀e (e ∈ x → ∃a (a ∈ e ∧ a ∈ c ∧ ∀b ((b ∈ e ∧ b ∈ c) → a = b))))

Nótese que P ∨ Q ∨ R es lógicamente equivalente a (¬P ∧ ¬Q) → R.
En español, esta oración de primer orden se lee:

Dado cualquier conjunto X ,

X contiene el conjunto vacío como elemento o

los elementos de X no son disjuntos por pares o

Existe un conjunto C tal que su intersección con cualquiera de los elementos de X contiene exactamente un elemento.

Esto garantiza para cualquier partición de un conjunto X la existencia de un subconjunto C de X que contiene exactamente un elemento de cada parte de la partición.

Otro axioma equivalente sólo considera colecciones X que son esencialmente conjuntos potencia de otros conjuntos:

Para cualquier conjunto A , el conjunto potencia de A (con el conjunto vacío eliminado) tiene una función de elección.

Los autores que utilizan esta formulación a menudo hablan de la función de elección sobre A , pero esta es una noción ligeramente diferente de función de elección. Su dominio es el conjunto potencia de A (sin el conjunto vacío), y por lo tanto tiene sentido para cualquier conjunto A , mientras que con la definición utilizada en otras partes de este artículo, el dominio de una función de elección sobre una colección de conjuntos es esa colección, y por lo tanto solo tiene sentido para conjuntos de conjuntos. Con esta noción alternativa de función de elección, el axioma de elección puede enunciarse de forma compacta como

Cada conjunto tiene una función de elección. ^[6]

que es equivalente a

Para cualquier conjunto A existe una función f tal que para cualquier subconjunto no vacío B de A , f ( B ) se encuentra en B .

La negación del axioma puede entonces expresarse como:

Hay un conjunto A tal que para todas las funciones f (en el conjunto de subconjuntos no vacíos de A ), hay un B tal que f ( B ) no se encuentra en B .

Restricción a conjuntos finitos

El enunciado habitual del axioma de elección no especifica si la colección de conjuntos no vacíos es finita o infinita, y por lo tanto implica que cada colección finita de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Sin embargo, ese caso particular es un teorema de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (ZF); se demuestra fácilmente mediante el principio de inducción finita . ^[7] En el caso aún más simple de una colección de un conjunto, una función de elección solo corresponde a un elemento, por lo que esta instancia del axioma de elección dice que cada conjunto no vacío tiene un elemento; esto se cumple trivialmente. El axioma de elección puede verse como la afirmación de la generalización de esta propiedad, ya evidente para colecciones finitas, a colecciones arbitrarias.

Uso

Hasta finales del siglo XIX, el axioma de elección se utilizaba a menudo de forma implícita, aunque todavía no se había enunciado formalmente. Por ejemplo, después de haber establecido que el conjunto X contiene solo conjuntos no vacíos, un matemático podría haber dicho " sea F ( s ) uno de los miembros de s para todo s en X " para definir una función F . En general, es imposible demostrar que F existe sin el axioma de elección, pero esto parece haber pasado desapercibido hasta Zermelo .

Ejemplos

La naturaleza de los conjuntos individuales no vacíos de la colección puede hacer posible evitar el axioma de elección incluso para ciertas colecciones infinitas. Por ejemplo, supongamos que cada miembro de la colección X es un subconjunto no vacío de los números naturales. Cada uno de esos subconjuntos tiene un elemento más pequeño, por lo que para especificar nuestra función de elección podemos decir simplemente que asigna cada conjunto al elemento más pequeño de ese conjunto. Esto nos da una elección definida de un elemento de cada conjunto y hace innecesario agregar el axioma de elección a nuestros axiomas de la teoría de conjuntos.

La dificultad aparece cuando no hay una elección natural de elementos de cada conjunto. Si no podemos hacer elecciones explícitas, ¿cómo sabemos que nuestra selección forma un conjunto legítimo (como se define en los otros axiomas de ZF de la teoría de conjuntos)? Por ejemplo, supongamos que X es el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de los números reales . Primero podríamos intentar proceder como si X fuera finito. Si tratamos de elegir un elemento de cada conjunto, entonces, como X es infinito, nuestro procedimiento de elección nunca llegará a su fin y, en consecuencia, nunca podremos producir una función de elección para todos los X . A continuación, podríamos intentar especificar el elemento menor de cada conjunto. Pero algunos subconjuntos de los números reales no tienen elementos menores. Por ejemplo, el intervalo abierto (0,1) no tiene un elemento menor: si x está en (0,1), entonces también lo está x /2, y x /2 es siempre estrictamente menor que x . Por lo tanto, este intento también falla.

Además, considere por ejemplo el círculo unitario S , y la acción sobre S por un grupo G que consiste en todas las rotaciones racionales, es decir, rotaciones por ángulos que son múltiplos racionales de  π . Aquí G es contable mientras que S es incontable. Por lo tanto, S se divide en incontables órbitas bajo  G . Usando el axioma de elección, podríamos elegir un solo punto de cada órbita, obteniendo un subconjunto incontable X de S con la propiedad de que todas sus traslaciones por G son disjuntas de  X . El conjunto de esas traslaciones divide el círculo en una colección contable de conjuntos disjuntos por pares, que son todos congruentes por pares. Dado que X no es medible para ninguna medida finita contablemente aditiva invariante a la rotación en S , encontrar un algoritmo para formar un conjunto a partir de la selección de un punto en cada órbita requiere que uno agregue el axioma de elección a nuestros axiomas de la teoría de conjuntos. Vea conjunto no medible para más detalles.

En la aritmética clásica, los números naturales están bien ordenados : para cada subconjunto no vacío de los números naturales, existe un único elemento mínimo bajo el orden natural. De esta manera, se puede especificar un conjunto a partir de cualquier subconjunto dado. Se podría decir: "Aunque el ordenamiento habitual de los números reales no funciona, puede ser posible encontrar un ordenamiento diferente de los números reales que sea un buen ordenamiento. Entonces, nuestra función de elección puede elegir el elemento mínimo de cada conjunto bajo nuestro ordenamiento inusual". El problema entonces se convierte en el de construir un buen ordenamiento, que resulta requerir el axioma de elección para su existencia; cada conjunto puede estar bien ordenado si y solo si se cumple el axioma de elección.

Crítica y aceptación

Una prueba que requiera el axioma de elección puede establecer la existencia de un objeto sin definir explícitamente el objeto en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, mientras que el axioma de elección implica que existe un buen ordenamiento de los números reales, hay modelos de teoría de conjuntos con el axioma de elección en los que no es definible ningún buen ordenamiento individual de los números reales. De manera similar, aunque se puede demostrar que existe un subconjunto de los números reales que no es medible según el método de Lebesgue utilizando el axioma de elección, es consistente que no se pueda definir dicho conjunto. ^[8]

El axioma de elección prueba la existencia de estos intangibles (objetos cuya existencia se ha demostrado, pero que no se pueden construir explícitamente), lo que puede entrar en conflicto con algunos principios filosóficos. ^[9] Debido a que no existe un buen ordenamiento canónico de todos los conjuntos, una construcción que se base en un buen ordenamiento puede no producir un resultado canónico, incluso si se desea un resultado canónico (como suele ser el caso en la teoría de categorías ). Esto se ha utilizado como argumento contra el uso del axioma de elección.

Otro argumento contra el axioma de elección es que implica la existencia de objetos que pueden parecer contraintuitivos. ^[10] Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski , que dice que es posible descomponer la bola unitaria sólida tridimensional en un número finito de piezas y, utilizando solo rotaciones y traslaciones, volver a ensamblar las piezas en dos bolas sólidas, cada una con el mismo volumen que la original. Las piezas en esta descomposición, construidas utilizando el axioma de elección, son conjuntos no mensurables .

Además, recientemente se han señalado consecuencias paradójicas del axioma de elección para el principio de no señalización en física. ^[11]

A pesar de estos resultados aparentemente paradójicos, la mayoría de los matemáticos aceptan el axioma de elección como un principio válido para demostrar nuevos resultados en matemáticas. Pero el debate es lo suficientemente interesante como para que se considere notable cuando un teorema en ZFC (ZF más AC) es lógicamente equivalente (con solo los axiomas de ZF) al axioma de elección, y los matemáticos buscan resultados que requieran que el axioma de elección sea falso, aunque este tipo de deducción es menos común que el tipo que requiere que el axioma de elección sea verdadero.

Los teoremas de ZF son válidos en cualquier modelo de esa teoría, independientemente de la verdad o falsedad del axioma de elección en ese modelo en particular. Las implicaciones de elección que se indican a continuación, incluidas las versiones más débiles del axioma en sí, se enumeran porque no son teoremas de ZF. La paradoja de Banach-Tarski, por ejemplo, no es demostrable ni refutable a partir de ZF únicamente: es imposible construir la descomposición requerida de la bola unitaria en ZF, pero también es imposible demostrar que no existe tal descomposición. Tales afirmaciones pueden reformularse como afirmaciones condicionales; por ejemplo, "Si AC se cumple, entonces existe la descomposición en la paradoja de Banach-Tarski". Tales afirmaciones condicionales son demostrables en ZF cuando las afirmaciones originales son demostrables a partir de ZF y el axioma de elección.

En matemáticas constructivas

Como se ha comentado anteriormente, en la teoría clásica de ZFC, el axioma de elección permite pruebas no constructivas en las que se demuestra la existencia de un tipo de objeto sin que se construya una instancia explícita. De hecho, en la teoría de conjuntos y la teoría de topos , el teorema de Diaconescu muestra que el axioma de elección implica la ley del tercio excluido . Por tanto, el principio no está disponible en la teoría de conjuntos constructiva , donde se emplea la lógica no clásica.

La situación es diferente cuando el principio se formula en la teoría de tipos de Martin-Löf . Allí y en la aritmética de Heyting de orden superior , el enunciado apropiado del axioma de elección se incluye (según el enfoque) como un axioma o se puede demostrar como un teorema. ^[12] Una causa de esta diferencia es que el axioma de elección en la teoría de tipos no tiene las propiedades de extensionalidad que tiene el axioma de elección en la teoría de conjuntos constructivos. ^[13] El contexto teórico de tipos se analiza más adelante.

Se han estudiado a fondo diferentes principios de elección en los contextos constructivos y el estatus de los principios varía entre las diferentes escuelas y variedades de las matemáticas constructivas. Algunos resultados de la teoría de conjuntos constructiva utilizan el axioma de elección contable o el axioma de elección dependiente , que no implican la ley del tercero excluido. Errett Bishop , que es conocido por desarrollar un marco para el análisis constructivo, argumentó que un axioma de elección era constructivamente aceptable, diciendo

Existe una función de elección en las matemáticas constructivas, porque una elección está implícita en el significado mismo de la existencia. ^[14]

Aunque el axioma de elección contable en particular se utiliza comúnmente en matemáticas constructivas, su uso también ha sido cuestionado. ^[15]

Independencia

Se sabe desde 1922 que el axioma de elección puede fallar en una variante de ZF con urelementos , a través de la técnica de modelos de permutación introducida por Abraham Fraenkel ^[16] y desarrollada por Andrzej Mostowski . ^[17] La ​​técnica básica se puede ilustrar de la siguiente manera: Sean x _{n e} y n _urelementos distintos para n = 1, 2, 3... , y construyamos un modelo donde cada conjunto sea simétrico bajo el intercambio x _n ↔ y _n para todos excepto un número finito de n . Entonces el conjunto X = {{ x ₁ , y ₁ }, { x ₂ , y ₂ }, { x ₃ , y ₃ }, ...} puede estar en el modelo pero conjuntos como { x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...} no pueden, y por lo tanto X no puede tener una función de elección.

En 1938, ^[18] Kurt Gödel demostró que la negación del axioma de elección no es un teorema de ZF mediante la construcción de un modelo interno (el universo construible ) que satisface ZFC, mostrando así que ZFC es consistente si ZF en sí es consistente. En 1963, Paul Cohen empleó la técnica de forzar , desarrollada para este propósito, para demostrar que, suponiendo que ZF es consistente, el axioma de elección en sí mismo no es un teorema de ZF. Lo hizo construyendo un modelo mucho más complejo que satisface ZF¬C (ZF con la negación de AC añadida como axioma) y mostrando así que ZF¬C es consistente. El modelo de Cohen es un modelo simétrico , que es similar a los modelos de permutación, pero utiliza subconjuntos "genéricos" de los números naturales (justificados por forzar) en lugar de urelementos. ^[19]

En conjunto, estos resultados establecen que el axioma de elección es lógicamente independiente de ZF. La suposición de que ZF es consistente es inofensiva porque agregar otro axioma a un sistema que ya es inconsistente no puede empeorar la situación. Debido a la independencia, la decisión de usar el axioma de elección (o su negación) en una demostración no puede tomarse apelando a otros axiomas de la teoría de conjuntos. Debe tomarse sobre otras bases.

Un argumento a favor de utilizar el axioma de elección es que es conveniente porque permite demostrar algunas proposiciones simplificadoras que de otro modo no podrían demostrarse. Muchos teoremas demostrables mediante la elección son de un carácter general elegante: las cardinalidades de dos conjuntos cualesquiera son comparables, todo anillo no trivial con unidad tiene un ideal maximal , todo espacio vectorial tiene una base , todo grafo conexo tiene un árbol de expansión y todo producto de espacios compactos es compacto, entre muchos otros. Con frecuencia, el axioma de elección permite generalizar un teorema a objetos "más grandes". Por ejemplo, es demostrable sin el axioma de elección que todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base, pero la generalización a todos los espacios vectoriales requiere el axioma de elección. Del mismo modo, se puede demostrar que un producto finito de espacios compactos es compacto sin el axioma de elección, pero la generalización a productos infinitos ( teorema de Tichonoff ) requiere el axioma de elección.

La prueba del resultado de independencia también muestra que una amplia clase de enunciados matemáticos, incluidos todos los enunciados que pueden expresarse en el lenguaje de la aritmética de Peano , son demostrables en ZF si y solo si son demostrables en ZFC. ^[20] Los enunciados de esta clase incluyen el enunciado de que P = NP , la hipótesis de Riemann y muchos otros problemas matemáticos sin resolver. Al intentar resolver problemas de esta clase, no hay diferencia si se emplea ZF o ZFC si la única pregunta es la existencia de una prueba. Sin embargo, es posible que haya una prueba más corta de un teorema de ZFC que de ZF.

El axioma de elección no es la única afirmación significativa que es independiente de ZF. Por ejemplo, la hipótesis generalizada del continuo (GCH) no solo es independiente de ZF, sino también de ZFC. Sin embargo, ZF más GCH implica AC, lo que hace que GCH sea una afirmación estrictamente más fuerte que AC, aunque ambas sean independientes de ZF.

Axiomas más fuertes

El axioma de constructibilidad y la hipótesis generalizada del continuo implican cada uno el axioma de elección y, por lo tanto, son estrictamente más fuertes que él. En teorías de clases como la teoría de conjuntos de Von Neumann–Bernays–Gödel y la teoría de conjuntos de Morse–Kelley , hay un axioma llamado axioma de elección global que es más fuerte que el axioma de elección para conjuntos porque también se aplica a clases propias. El axioma de elección global se deriva del axioma de limitación de tamaño . El axioma de Tarski, que se utiliza en la teoría de conjuntos de Tarski–Grothendieck y establece (en la jerga) que cada conjunto pertenece a algún universo de Grothendieck , es más fuerte que el axioma de elección.

Equivalentes

Existen afirmaciones importantes que, suponiendo los axiomas de ZF pero no AC ni ¬AC, son equivalentes al axioma de elección. ^[21] Las más importantes entre ellas son el lema de Zorn y el teorema de buen ordenamiento . De hecho, Zermelo introdujo inicialmente el axioma de elección para formalizar su prueba del teorema de buen ordenamiento.

• Teoría de conjuntos
  • Teorema de Tarski sobre la elección : Para cada conjunto infinito A , existe una función biyectiva entre los conjuntos A y A × A .
  • Tricotomía : si se dan dos conjuntos, entonces tienen la misma cardinalidad o uno tiene una cardinalidad menor que el otro.
  • Dados dos conjuntos no vacíos, uno tiene una sobreyección sobre el otro.
  • Toda función sobreyectiva tiene una inversa derecha .
  • El producto cartesiano de cualquier familia de conjuntos no vacíos es no vacío. En otras palabras, cada familia de conjuntos no vacíos tiene una función de elección ( es decir, una función que asigna cada uno de los conjuntos no vacíos a uno de sus elementos).
  • Teorema de König : coloquialmente, la suma de una secuencia de cardinales es estrictamente menor que el producto de una secuencia de cardinales mayores. (La razón del término "coloquialmente" es que la suma o el producto de una "secuencia" de cardinales no puede definirse sin algún aspecto del axioma de elección).
  • Teorema de buen ordenamiento : Todo conjunto puede estar bien ordenado. En consecuencia, todo cardinal tiene un ordinal inicial .
  • Lema de Zorn : Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que cada cadena ( es decir , subconjunto totalmente ordenado) tiene un límite superior contiene al menos un elemento máximo.
  • Principio de maximización de Hausdorff : todo conjunto parcialmente ordenado tiene una cadena máxima. De manera equivalente, en cualquier conjunto parcialmente ordenado, toda cadena puede extenderse hasta convertirse en una cadena máxima.
  • Lema de Tukey : Toda colección no vacía de caracteres finitos tiene un elemento máximo con respecto a la inclusión.
  • Principio de anticadena : Todo conjunto parcialmente ordenado tiene una anticadena máxima . De manera equivalente, en cualquier conjunto parcialmente ordenado, toda anticadena puede extenderse a una anticadena máxima.
  • El conjunto potencia de cualquier ordinal puede estar bien ordenado.
• Álgebra abstracta
  • Todo espacio vectorial tiene una base ( es decir , un subconjunto generador linealmente independiente). En otras palabras, los espacios vectoriales son equivalentes a módulos libres. ^[22]
  • Teorema de Krull : Todo anillo unitario (excepto el anillo trivial) contiene un ideal máximo . De manera equivalente, en cualquier anillo unitario no trivial, todo ideal puede extenderse a un ideal máximo.
  • Para cada conjunto no vacío S hay una operación binaria definida sobre S que le da una estructura de grupo . ^[23] (Una operación binaria cancelativa es suficiente, ver estructura de grupo y axioma de elección ).
  • Todo grupo abeliano libre es proyectivo . ^[24]
  • Criterio de Baer: Todo grupo abeliano divisible es inyectivo . ^[24]
  • Todo conjunto es un objeto proyectivo en la categoría Conjunto de conjuntos. ^{[25] [26]}
• Análisis funcional
  • La bola unitaria cerrada del dual de un espacio vectorial normado sobre los reales tiene un punto extremo .
• Topología de conjunto de puntos
  • El producto cartesiano de cualquier familia de espacios topológicos conexos es conexo.
  • Teorema de Tichonoff : El producto cartesiano de cualquier familia de espacios topológicos compactos es compacto.
  • En la topología de producto, el cierre de un producto de subconjuntos es igual al producto de los cierres.
• Lógica matemática
  • Si S es un conjunto de oraciones de lógica de primer orden y B es un subconjunto consistente de S , entonces B está incluido en un conjunto que es máximo entre subconjuntos consistentes de S . El caso especial donde S es el conjunto de todas las oraciones de primer orden en una firma dada es más débil, equivalente al teorema del ideal primo booleano ; vea la sección "Formas más débiles" a continuación.
• Teoría de grafos
  • Todo grafo conexo tiene un árbol de expansión . De manera equivalente, todo grafo no vacío tiene un bosque de expansión. ^[27]

Teoría de categorías

Varios resultados de la teoría de categorías invocan el axioma de elección para su prueba. Estos resultados pueden ser más débiles, equivalentes o más fuertes que el axioma de elección, dependiendo de la solidez de los fundamentos técnicos. Por ejemplo, si se definen las categorías en términos de conjuntos, es decir, como conjuntos de objetos y morfismos (normalmente llamados una categoría pequeña ), o incluso categorías localmente pequeñas, cuyos homónimos son conjuntos, entonces no existe una categoría de todos los conjuntos , y por lo tanto es difícil que una formulación de la teoría de categorías se aplique a todos los conjuntos. Por otra parte, otras descripciones fundamentales de la teoría de categorías son considerablemente más sólidas, y una formulación de la teoría de categorías idéntica de la elección puede ser más sólida que la formulación estándar, al estilo de la teoría de clases, mencionada anteriormente.

Algunos ejemplos de enunciados de teoría de categorías que requieren una elección incluyen:

• Cada pequeña categoría tiene un esqueleto .
• Si dos categorías pequeñas son débilmente equivalentes, entonces son equivalentes .
• Todo funtor continuo en una categoría pequeña-completa que satisface la condición de conjunto solución apropiada tiene un adjunto izquierdo (el teorema del funtor adjunto de Freyd).

Formas más débiles

Existen varios enunciados más débiles que no son equivalentes al axioma de elección pero que están estrechamente relacionados. Un ejemplo es el axioma de elección dependiente (DC). Un ejemplo aún más débil es el axioma de elección numerable (AC _{ω o CC), que establece que existe una función de elección para cualquier conjunto numerable de conjuntos no vacíos. Estos axiomas son suficientes para muchas demostraciones en} el análisis matemático elemental y son consistentes con algunos principios, como la mensurabilidad de Lebesgue de todos los conjuntos de números reales, que son refutables a partir del axioma de elección completo.

Dado un parámetro ordinal α ≥ ω+2 — para cada conjunto S con rango menor que α, S es bien ordenable. Dado un parámetro ordinal α ≥ 1 — para cada conjunto S con número de Hartog menor que ω _α , S es bien ordenable. A medida que aumenta el parámetro ordinal, estos se aproximan cada vez más al axioma de elección completo.

Otros axiomas de elección más débiles que el axioma de elección incluyen el teorema del ideal primo de Boole y el axioma de uniformización . El primero es equivalente en ZF al lema del ultrafiltro de Tarski de 1930 : cada filtro es un subconjunto de algún ultrafiltro .

Resultados que requieren AC (o formas más débiles) pero más débiles que él

Uno de los aspectos más interesantes del axioma de elección es la gran cantidad de lugares en las matemáticas donde aparece. A continuación se presentan algunas afirmaciones que requieren el axioma de elección en el sentido de que no son demostrables a partir de ZF pero sí a partir de ZFC (ZF más AC). De manera equivalente, estas afirmaciones son verdaderas en todos los modelos de ZFC pero falsas en algunos modelos de ZF.

• Teoría de conjuntos
  • El lema del ultrafiltro (con ZF) se puede utilizar para demostrar el axioma de elección para conjuntos finitos: Dado un conjunto de conjuntos finitos no vacíos , su producto no está vacío. ^[28] ${\displaystyle I\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$
  • La unión de cualquier familia contable de conjuntos contables es contable (esto requiere elección contable pero no el axioma de elección completo).
  • Si el conjunto A es infinito , entonces existe una inyección de los números naturales N a A (ver infinito de Dedekind ). ^[29]
  • Ocho definiciones de un conjunto finito son equivalentes. ^[30]
  • Todo juego infinito en el que es un subconjunto de Borel del espacio de Baire está determinado . ${\displaystyle G_{S}}$ ${\displaystyle S}$
• Todo cardinal infinito κ satisface 2× κ = κ . ^[31]
• Teoría de la medida
  • El teorema de Vitali sobre la existencia de conjuntos no mensurables , que establece que existe un subconjunto de los números reales que no es medible en el sentido de Lebesgue .
  • Existen subconjuntos de los números reales que pueden medirse mediante Lebesgue y que no son conjuntos de Borel . Es decir, la σ-álgebra de Borel sobre los números reales (que se genera a partir de todos los intervalos reales) es distinta de la σ-álgebra de los números reales que puede medirse mediante Lebesgue.
  • La paradoja de Hausdorff .
  • La paradoja de Banach-Tarski .
• Álgebra
  • Todo campo tiene un cierre algebraico .
  • Toda extensión de campo tiene una base de trascendencia .
  • Todo espacio vectorial de dimensión infinita contiene un subconjunto linealmente independiente infinito (esto requiere una elección dependiente , pero no el axioma de elección completo).
  • El teorema de representación de Stone para las álgebras de Boole necesita el teorema del ideal primo de Boole .
  • El teorema de Nielsen-Schreier , que establece que todo subgrupo de un grupo libre es libre.
  • Los grupos aditivos de R y C son isomorfos. ^{[32] [33]}
• Análisis funcional
  • El teorema de Hahn-Banach en el análisis funcional , que permite la extensión de funcionales lineales .
  • El teorema de que todo espacio de Hilbert tiene una base ortonormal.
  • El teorema de Banach-Alaoglu sobre la compacidad de conjuntos de funcionales.
  • El teorema de la categoría de Baire sobre espacios métricos completos y sus consecuencias, como el teorema de aplicación abierta y el teorema de grafo cerrado .
  • En cada espacio vectorial topológico de dimensión infinita existe una función lineal discontinua .
• Topología general
  • Un espacio uniforme es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado.
  • Todo espacio de Tichonoff tiene una compactificación de Stone-Čech .
• Lógica matemática
  • Teorema de completitud de Gödel para lógica de primer orden: todo conjunto consistente de oraciones de primer orden tiene una completitud. Es decir, todo conjunto consistente de oraciones de primer orden puede extenderse a un conjunto consistente máximo.
  • El teorema de compacidad : Si es un conjunto de oraciones de primer orden (o alternativamente, de orden cero ) tales que cada subconjunto finito de tiene un modelo , entonces tiene un modelo. ^[34] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Posibles implicaciones equivalentes de AC

Existen varias afirmaciones históricamente importantes de la teoría de conjuntos implicadas por AC cuya equivalencia con AC es abierta. Zermelo citó el principio de partición, que fue formulado antes de AC mismo, como justificación para creer en AC. En 1906, Russell declaró que PP era equivalente, pero si el principio de partición implica AC es el problema abierto más antiguo en la teoría de conjuntos, ^[35] y las equivalencias de las otras afirmaciones son problemas abiertos antiguos igualmente difíciles. En cada modelo conocido de ZF donde la elección falla, estas afirmaciones también fallan, pero se desconoce si pueden mantenerse sin elección.

• Teoría de conjuntos
  • Principio de partición: si hay una sobreyección de A a B , hay una inyección de B a A. Equivalentemente, cada partición P de un conjunto S es menor o igual a S en tamaño.
  • Teorema inverso de Schröder-Bernstein : si dos conjuntos tienen sobreyecciones entre sí, son equinumerosos.
  • Principio de partición débil: si hay una inyección y una sobreyección de A a B , entonces A y B son equinumerosos. De manera equivalente, una partición de un conjunto S no puede ser estrictamente mayor que S. Si se cumple el principio de partición débil, esto ya implica la existencia de un conjunto no medible. Cada una de las tres afirmaciones anteriores está implícita en la anterior, pero se desconoce si alguna de estas implicaciones puede revertirse.
  • No existe una sucesión infinita y decreciente de cardinales. La equivalencia fue conjeturada por Schoenflies en 1905.
• Álgebra abstracta
  • Teorema de incrustación de Hahn : Todo grupo abeliano ordenado G se incrusta en un subgrupo del grupo aditivo dotado de un orden lexicográfico , donde Ω es el conjunto de clases de equivalencia arquimedianas de G. Esta equivalencia fue conjeturada por Hahn en 1907. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$

Formas más fuertes de la negación de AC

Si abreviamos con BP la afirmación de que todo conjunto de números reales tiene la propiedad de Baire , entonces BP es más fuerte que ¬AC, que afirma la inexistencia de cualquier función de elección en quizás solo un único conjunto de conjuntos no vacíos. Las negaciones reforzadas pueden ser compatibles con formas debilitadas de AC. Por ejemplo, ZF + DC ^[36] + BP es consistente, si ZF lo es.

También es consistente con ZF + DC que cada conjunto de números reales es medible según Lebesgue , pero este resultado de consistencia, debido a Robert M. Solovay , no se puede probar en ZFC en sí, sino que requiere una suposición leve de cardinal grande (la existencia de un cardinal inaccesible ). El axioma de determinación , o AD, mucho más fuerte , implica que cada conjunto de números reales es medible según Lebesgue, tiene la propiedad de Baire y tiene la propiedad de conjunto perfecto (los tres resultados son refutados por el propio AC). ZF + DC + AD es consistente siempre que un axioma de cardinal grande suficientemente fuerte sea consistente (la existencia de infinitos cardinales de Woodin ).

El sistema de teoría de conjuntos axiomáticos de Quine , New Foundations (NF), toma su nombre del título ("New Foundations for Mathematical Logic") del artículo de 1937 que lo introdujo. En el sistema axiomático NF, el axioma de elección puede ser refutado. ^[37]

Afirmaciones que implican la negación de AC

Existen modelos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en los que el axioma de elección es falso. Abreviaremos "teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más la negación del axioma de elección" por ZF¬C. Para ciertos modelos de ZF¬C, es posible validar la negación de algunos teoremas estándar de ZFC. Como cualquier modelo de ZF¬C es también un modelo de ZF, se da el caso de que para cada una de las siguientes afirmaciones, existe un modelo de ZF en el que esa afirmación es verdadera.

• La negación del principio de partición débil : existe un conjunto que se puede dividir en más clases de equivalencia que elementos tiene el conjunto original y una función cuyo dominio es estrictamente menor que su rango. De hecho, este es el caso en todos los modelos conocidos .
• Existe una función f de los números reales a los números reales tal que f no es continua en a , pero f es secuencialmente continua en a , es decir, para cualquier secuencia { x _n } que converge a a , lim _n f( x _n )=f(a).
• Existe un conjunto infinito de números reales sin un subconjunto infinito contable.
• Los números reales son una unión contable de conjuntos contables. ^[38] Esto no implica que los números reales sean contables: como se señaló anteriormente, para demostrar que una unión contable de conjuntos contables es en sí misma contable se requiere el axioma de elección contable .
• Hay un campo sin cierre algebraico.
• En todos los modelos de ZF¬C hay un espacio vectorial sin base.
• Hay un espacio vectorial con dos bases de diferentes cardinalidades.
• Existe un álgebra booleana completa y libre sobre un número contable de generadores. ^[39]
• Hay un conjunto que no se puede ordenar linealmente .
• Existe un modelo de ZF¬C en el que cada conjunto en R ⁿ es medible . Por lo tanto, es posible excluir resultados contraintuitivos como la paradoja de Banach-Tarski que son demostrables en ZFC. Además, esto es posible mientras se asume el Axioma de elección dependiente , que es más débil que AC pero suficiente para desarrollar la mayor parte del análisis real .
• En todos los modelos de ZF¬C, la hipótesis del continuo generalizado no se cumple.

Para pruebas, véase Jech (2008).

Además, al imponer condiciones de definibilidad a los conjuntos (en el sentido de la teoría descriptiva de conjuntos ), a menudo se pueden probar versiones restringidas del axioma de elección a partir de axiomas incompatibles con la elección general. Esto aparece, por ejemplo, en el lema de codificación de Moschovakis .

Axioma de elección en la teoría de tipos

En la teoría de tipos , un tipo diferente de enunciado se conoce como axioma de elección. Esta forma comienza con dos tipos, σ y τ, y una relación R entre objetos de tipo σ y objetos de tipo τ. El axioma de elección establece que si para cada x de tipo σ existe una y de tipo τ tal que R ( x , y ), entonces existe una función f de objetos de tipo σ a objetos de tipo τ tal que R ( x , f ( x )) se cumple para todos los x de tipo σ:

${\displaystyle (\forall x^{\sigma })(\exists y^{\tau })R(x,y)\to (\exists f^{\sigma \to \tau })(\forall x^{\sigma })R(x,f(x)).}$

A diferencia de la teoría de conjuntos, el axioma de elección en la teoría de tipos normalmente se enuncia como un esquema de axioma , en el que R varía en todas las fórmulas o en todas las fórmulas de una forma lógica particular.

Notas

1. Zermelo 1904.
2. Jech 1977, pág. 351
3. Jech, 1977, pág. 348 y siguientes ; Martin-Löf 2008, pág. 210. Según Mendelson 1964, p. 201:

   En los últimos años, el axioma de elección ha dejado de ser tan controvertido. Para la mayoría de los matemáticos parece bastante plausible y tiene tantas aplicaciones importantes en prácticamente todas las ramas de las matemáticas que no aceptarlo parecería una traba deliberada para el matemático en ejercicio.

4. Rosenberg, Steven (21 de diciembre de 2021). Una invitación al álgebra abstracta. CRC Press. ISBN 9781000516333.
5. Herrlich 2006, p. 9. Según Suppes 1972, p. 243, ésta fue la formulación del axioma de elección que originalmente fue dada por Zermelo 1904. Véase también Halmos 1960, p. 60 para esta formulación.
6. Suppes 1972, pág. 240.
7. Tourlakis (2003), págs. 209–210, 215–216.
8. Fraenkel, Abraham A. ; Bar-Hillel, Yehoshua ; Lévy, Azriel (1973), Fundamentos de la teoría de conjuntos (2.ª ed.), Ámsterdam-Londres: North-Holland Publishing Co., págs. 69-70, ISBN 9780080887050, Sr.  0345816.
9. Rosenbloom, Paul C. (2005), Los elementos de la lógica matemática, Courier Dover Publications, pág. 147, ISBN 9780486446172.
10. Dawson, JW (agosto de 2006), "¿Fundamentos sacudidos o realineamiento revolucionario? Una evaluación centenaria del impacto de Kurt Gödel en la lógica, las matemáticas y la informática", Proc. 21.º Simposio anual IEEE sobre lógica en informática (LICS 2006) , pp. 339–341, doi :10.1109/LICS.2006.47, ISBN 978-0-7695-2631-7, S2CID  15526447, El axioma de elección, aunque había sido empleado inconscientemente en muchos argumentos de análisis, se volvió controvertido una vez hecho explícito, no sólo por su carácter no constructivo, sino porque implicaba consecuencias extremadamente poco intuitivas como la paradoja de Banach-Tarski..
11. Baumeler, Ä., Dakić, B. y Del Santo, F., 2022. El axioma de elección y el principio de no señalización, preimpresión de arXiv — arXiv:2206.08467.
12. Per Martin-Löf , Teoría de tipos intuicionista , 1980. Anne Sjerp Troelstra , Investigación metamatemática de la aritmética y el análisis intuicionista , Springer, 1973.
13. Martin-Löf, Per (2006). "100 años del axioma de elección de Zermelo: ¿cuál era el problema?". The Computer Journal . 49 (3): 345–350. Bibcode :1980CompJ..23..262L. doi :10.1093/comjnl/bxh162.
14. Errett Bishop y Douglas S. Bridges, Análisis constructivo , Springer-Verlag, 1985.
15. Fred Richman, "Matemáticas constructivas sin elección", en: Reuniendo las antípodas: visiones constructivas y no estándar del continuo (P. Schuster et al., eds), Synthèse Library 306, 199–205, Kluwer Academic Publishers, Ámsterdam, 2001.
16. Frankel 1922.
17. Mostowski 1938.
18. Gödel, Kurt (9 de noviembre de 1938). "La consistencia del axioma de elección y de la hipótesis generalizada del continuo". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 24 (12): 556–557. Bibcode :1938PNAS...24..556G. doi : 10.1073/pnas.24.12.556 . PMC 1077160 . PMID  16577857. 
19. Cohen, Paul (2019). «La independencia del axioma de elección» (PDF) . Bibliotecas de la Universidad de Stanford . Archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022. Consultado el 22 de marzo de 2019 .
20. Esto se debe a que las afirmaciones aritméticas son absolutas para el universo construible L. El teorema de absolutismo de Shoenfield da un resultado más general.
21. Véase Moore 2013, págs. 330-334, para una lista estructurada de 74 equivalentes. Véase Howard y Rubin 1998, págs. 11-16, para 86 equivalentes con referencias de fuentes.
22. Blass, Andreas (1984). "La existencia de bases implica el axioma de elección". Teoría de conjuntos axiomáticos (Boulder, Colorado, 1983) . Matemáticas contemporáneas. Vol. 31. Providence, RI: American Mathematical Society. págs. 31–33. doi :10.1090/conm/031/763890. MR  0763890.
23. A. Hajnal , A. Kertész: Algunos nuevos equivalentes algebraicos del axioma de elección, Publ. Math. Debrecen , 19 (1972), 339–340, véase también H. Rubin, J. Rubin , Equivalentes del axioma de elección, II , North-Holland , 1985, pág. 111.
24. Blass, Andreas (1979). "Inyectividad, proyectividad y el axioma de elección". Transactions of the American Mathematical Society . 255 : 31–59. doi : 10.2307/1998165 . JSTOR  1998165.
25. Awodey, Steve (2010). Teoría de categorías (2.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. pp. 20–24. ISBN 978-0199237180.OCLC 740446073  .
26. objeto proyectivo en el n Lab
27. Serre, Jean-Pierre (2003), Árboles , Springer Monographs in Mathematics, Springer, pág. 23; Soukup, Lajos (2008), "Combinatoria infinita: de lo finito a lo infinito", Horizons of combinatorics , Bolyai Society Mathematical Studies, vol. 17, Berlín: Springer, págs. 189–213, CiteSeerX 10.1.1.222.5699 , doi :10.1007/978-3-540-77200-2_10, ISBN  978-3-540-77199-9, Sr.  2432534. Véase en particular el Teorema 2.1, págs. 192-193.
28. Muger, Michael (2020). Topología para el matemático en activo .
29. Jech 2008, pp. 119-131, muestra que el axioma de elección contable implica la equivalencia de conjuntos infinitos e infinitos de Dedekind, pero que la equivalencia de conjuntos infinitos e infinitos de Dedekind no implica el axioma de elección contable en ZF.
30. Lévy 1958 y otros demostraron utilizando modelos de Mostowski que ocho definiciones de un conjunto finito son independientes en ZF sin AC, aunque son equivalentes cuando se supone AC. Las definiciones son I-finito, Ia-finito, II-finito, III-finito, IV-finito, V-finito, VI-finito y VII-finito. La finitud I es lo mismo que la finitud normal. La finitud IV es lo mismo que la finitud Dedekind.
31. Sageev, Gershon (marzo de 1975). "Un resultado de independencia en relación con el axioma de elección". Anales de lógica matemática . 8 (1–2): 1–184. doi :10.1016/0003-4843(75)90002-9.
32. "[FOM] ¿Son (C,+) y (R,+) isomorfos?". 21 de febrero de 2006.
33. Ash, CJ (1975). "Una consecuencia del axioma de elección". Revista de la Sociedad Matemática Australiana . 19 (3): 306–308. doi : 10.1017/S1446788700031505 . S2CID  122334025.
34. Schechter 1996, págs. 391–392.
35. "Sobre el principio de partición".
36. Axioma de elección dependiente
37. "Los nuevos fundamentos de Quine". Stanford Encyclopedia of Philosophy . Consultado el 10 de noviembre de 2017 .
38. Jech 2008, págs. 142-144, Teorema 10.6 con prueba.
39. Stavi, Jonathan (1974). "Un modelo de ZF con un álgebra booleana completa libre infinita". Revista israelí de matemáticas . 20 (2): 149–163. doi :10.1007/BF02757883. S2CID  119543439.

Referencias

• Fraenkel, Abraham (1922), "Der Begriff "definit" und die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 253–257, JFM  48.0199.02
• Halmos, Paul R. (1960). Teoría de conjuntos ingenua . The University Series in Undergraduate Mathematics. Princeton, NJ: van Nostrand Company. Zbl  0087.04403.
• Herrlich, Horst (2006). Axioma de elección . Apuntes de clases de matemáticas. 1876. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-30989-5.
• Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Consecuencias del axioma de elección . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 59. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society . ISBN 9780821809778.
• Jech, Thomas (2008) [1973]. El axioma de elección . Mineola, Nueva York: Dover Publications . ISBN. 978-0-486-46624-8.
• Jech, Thomas (1977). "Acerca del axioma de elección". En John Barwise (ed.). Manual de lógica matemática .
• Lévy, Azriel (1958). «La independencia de varias definiciones de finitud» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 46 : 1–13. doi : 10.4064/fm-46-1-1-13 . Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
• Per Martin-Löf, "100 años del axioma de elección de Zermelo: ¿Cuál era el problema?", en Logicismo, intuicionismo y formalismo: ¿Qué ha sido de ellos?, Sten Lindström, Erik Palmgren, Krister Segerberg y Viggo Stoltenberg-Hansen, editores (2008). ISBN 1-4020-8925-2 
• Mendelson, Elliott (1964). Introducción a la lógica matemática . Nueva York: Van Nostrand Reinhold.
• Moore, Gregory H. (1982). El axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia . Springer . ISBN 978-0-387-90670-6., disponible como reimpresión de Dover Publications , 2013, ISBN 0-486-48841-1 . 
• Mostowski, Andrzej (1938), "Über den Begriff einer Endlichen Menge", Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, Classe III , 31 (8): 13–20
• Moore, Gregory H (2013) [1982]. El axioma de elección de Zermelo: sus orígenes, desarrollo e influencia . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-48841-7.
• Herman Rubin, Jean E. Rubin : Equivalentes del axioma de elección. Holanda Septentrional, 1963. Reeditado por Elsevier , abril de 1970. ISBN 0-7204-2225-6 . 
• Herman Rubin, Jean E. Rubin: Equivalentes del axioma de elección II. North Holland/Elsevier, julio de 1985, ISBN 0-444-87708-8 . 
• Russell, Bertrand (1993) [1919]. Introducción a la filosofía matemática . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-27724-0.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Suppes, Patrick (1972) [1960]. Teoría de conjuntos axiomáticos . Mineola, Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-61630-8.
• George Tourlakis, Lecciones de lógica y teoría de conjuntos. Vol. II: Teoría de conjuntos , Cambridge University Press , 2003. ISBN 0-511-06659-7 
• Zermelo, Ernst (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann" (reimpresión) . Annalen Matemáticas . 59 (4): 514–16. doi :10.1007/BF01445300. S2CID  124189935.
• Ernst Zermelo , "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen 65 : (1908) págs. Descarga de PDF a través de digizeitschriften.de

Traducido en: Jean van Heijenoort , 2002. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 . Nueva edición. Harvard University Press . ISBN 0-674-32449-8 

• 1904. "Prueba de que todo conjunto puede estar bien ordenado", 139-41.
• 1908. "Investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos I", 199–215.

Enlaces externos

• Entrada sobre el axioma de elección en la Enciclopedia de Matemáticas Springer .
• Entrada sobre el axioma de elección y sus equivalentes en ProvenMath. Incluye la declaración formal del axioma de elección, el principio de máxima de Hausdorff, el lema de Zorn y pruebas formales de su equivalencia hasta el más mínimo detalle.
• Consecuencias del axioma de elección Archivado el 15 de mayo de 2021 en Wayback Machine , basado en el libro de Paul Howard Archivado el 26 de febrero de 2021 en Wayback Machine y Jean Rubin.
• "El axioma de elección", entrada de John Lane Bell en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford .