Interacción giro-órbita

Interacción relativista en física cuántica.

En física cuántica , la interacción espín-órbita (también llamada efecto espín-órbita o acoplamiento espín-órbita ) es una interacción relativista del espín de una partícula con su movimiento dentro de un potencial . Un ejemplo clave de este fenómeno es la interacción espín-órbita que produce cambios en los niveles de energía atómica de un electrón , debido a la interacción electromagnética entre el dipolo magnético del electrón , su movimiento orbital y el campo electrostático del núcleo cargado positivamente . Este fenómeno es detectable como una división de líneas espectrales , lo que puede considerarse como un efecto Zeeman producto de dos efectos relativistas: el campo magnético aparente visto desde la perspectiva del electrón y el momento magnético del electrón asociado a su espín intrínseco. Un efecto similar, debido a la relación entre el momento angular y la fuerza nuclear fuerte , ocurre para los protones y neutrones que se mueven dentro del núcleo, lo que lleva a un cambio en sus niveles de energía en el modelo de capa del núcleo . En el campo de la espintrónica , se exploran los efectos espín-órbita de los electrones en semiconductores y otros materiales para aplicaciones tecnológicas. La interacción espín-órbita está en el origen de la anisotropía magnetocristalina y del efecto Hall de espín .

Para los átomos, la división del nivel de energía producida por la interacción espín-órbita suele ser del mismo orden en tamaño que las correcciones relativistas de la energía cinética y el efecto zitterbewegung . La suma de estas tres correcciones se conoce como estructura fina . La interacción entre el campo magnético creado por el electrón y el momento magnético del núcleo es una corrección más leve de los niveles de energía conocida como estructura hiperfina .

En niveles de energía atómica.

Estructura fina e hiperfina en hidrógeno (no a escala).

Esta sección presenta una descripción relativamente simple y cuantitativa de la interacción espín-órbita de un electrón unido a un átomo similar al hidrógeno , hasta el primer orden en la teoría de la perturbación , utilizando algo de electrodinámica semiclásica y mecánica cuántica no relativista. Esto da resultados que concuerdan razonablemente bien con las observaciones.

Un cálculo riguroso del mismo resultado utilizaría la mecánica cuántica relativista , utilizando la ecuación de Dirac , e incluiría interacciones de muchos cuerpos . Lograr un resultado aún más preciso implicaría calcular pequeñas correcciones a partir de la electrodinámica cuántica .

Energía de un momento magnético.

La energía de un momento magnético en un campo magnético está dada por

$${\displaystyle \Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$$

μmomento magnéticoBcampo magnético

Campo magnético

Primero nos ocuparemos del campo magnético . Aunque en el sistema de reposo del núcleo no hay ningún campo magnético que actúe sobre el electrón, sí lo hay en el sistema de reposo del electrón (ver electromagnetismo clásico y relatividad especial ). Ignorando por ahora que este marco no es inercial , terminamos con la ecuación

$${\displaystyle \mathbf {B} =-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}},}$$

vE^[a]E ${\displaystyle \gamma \backsimeq 1}$ ${\textstyle \mathbf {E} =\left|E\right|{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =m_{\text{e}}\mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {p} }{m_{\text{e}}c^{2}}}\left|{\frac {E}{r}}\right|.}$$

A continuación, expresamos el campo eléctrico como el gradiente del potencial eléctrico . Aquí hacemos la aproximación del campo central , es decir, que el potencial electrostático es esféricamente simétrico, por lo que es sólo función del radio. Esta aproximación es exacta para el hidrógeno y los sistemas similares al hidrógeno. Ahora podemos decir que ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$

$${\displaystyle |E|=\left|{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|={\frac {1}{e}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}},}$$

donde es la energía potencial del electrón en el campo central y e es la carga elemental . Ahora recordamos de la mecánica clásica que el momento angular de una partícula . Poniéndolo todo junto, obtenemos ${\displaystyle U=-eV}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

$${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} .}$$

Es importante señalar en este punto que B es un número positivo multiplicado por L , lo que significa que el campo magnético es paralelo al momento angular orbital de la partícula, que a su vez es perpendicular a la velocidad de la partícula.

Momento magnético de espín del electrón.

El momento magnético de espín del electrón es

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}=-g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}{\frac {\mathbf {S} }{\hbar }},}$$

magnetón de Bohrfactor g deespínmomento magnético de espín ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$ ${\displaystyle g_{\text{s}}=2.0023...\approx 2}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$

El potencial de órbita de giro consta de dos partes. La parte de Larmor está relacionada con la interacción del momento magnético de espín del electrón con el campo magnético del núcleo en el marco de movimiento conjunto del electrón. La segunda aportación está relacionada con la precesión de Tomás .

Energía de interacción de Larmor

La energía de interacción de Larmor es

$${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}$$

Sustituyendo en esta ecuación las expresiones para el momento magnético de espín y el campo magnético, se obtiene

$${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}={\frac {g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {2\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

Ahora tenemos que tener en cuenta la corrección de precesión de Thomas para la trayectoria curva del electrón.

Energía de interacción de Thomas

En 1926 Llewellyn Thomas recalculó relativistamente la separación doblete en la estructura fina del átomo. ^[1] La tasa de precesión de Thomas está relacionada con la frecuencia angular del movimiento orbital de una partícula que gira de la siguiente manera: ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}=-{\boldsymbol {\omega }}(\gamma -1),}$$

factor de Lorentz ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$

$${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}={\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}\cdot \mathbf {S} .}$$

Al primer orden en , obtenemos ${\displaystyle (v/c)^{2}}$

$${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}=-{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

Energía de interacción total

El potencial total de espín-órbita en un potencial electrostático externo toma la forma

$${\displaystyle \Delta H\equiv \Delta H_{\text{L}}+\Delta H_{\text{T}}={\frac {(g_{\text{s}}-1)\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

mitad de Thomas

Evaluación del cambio de energía

Gracias a todas las aproximaciones anteriores, ahora podemos evaluar el cambio de energía detallado en este modelo. Tenga en cuenta que L _z y S _z ya no son cantidades conservadas. En particular, deseamos encontrar una nueva base que diagonalice tanto H ₀ (el hamiltoniano no perturbado) como Δ H . Para saber cuál es esta base, primero definimos el operador del momento angular total

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

Tomando el producto escalar de esto consigo mismo, obtenemos

$${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$$

LS

$${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2}\right)}$$

Se puede demostrar que los cinco operadores H ₀ , J ² , L ² , S ² y J _z conmutan entre sí y con Δ H . Por lo tanto, la base que buscábamos es la base propia simultánea de estos cinco operadores (es decir, la base donde los cinco son diagonales). Los elementos de esta base tienen los cinco números cuánticos : (el "número cuántico principal"), (el "número cuántico de momento angular total"), (el "número cuántico de momento angular orbital"), (el "número cuántico de espín"), y (el " componente z del momento angular total"). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle j_{z}}$

Para evaluar las energías, observamos que

$${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}\;\ell (\ell +1)(2\ell +1)}}}$$

radio de BohrZ ${\displaystyle a=\hbar /(Z\alpha m_{\text{e}}c)}$

$${\displaystyle \left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle {\big )}={\frac {\hbar ^{2}}{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )}.}$$

Cambio de energía final

Ahora podemos decir que

$${\displaystyle \Delta E={\frac {\beta }{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )},}$$

$${\displaystyle \beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{\frac {1}{n^{3}a_{0}^{3}\;\ell (\ell +1/2)(\ell +1)}}.}$$

Para obtener el resultado relativista exacto, consulte las soluciones de la ecuación de Dirac para un átomo similar al hidrógeno .

La derivación anterior calcula la energía de interacción en el marco de reposo (momentáneo) del electrón y en este marco de referencia hay un campo magnético que está ausente en el marco de reposo del núcleo.

Otro enfoque es calcularlo en el sistema de reposo del núcleo; consulte, por ejemplo, George P. Fisher: Electric Dipole Moment of a Moving Magnetic Dipole (1971). ^[4] Sin embargo, a veces se evita el cálculo del marco de reposo, porque hay que tener en cuenta el impulso oculto . ^[5]

en solidos

Un sólido cristalino (semiconductor, metal, etc.) se caracteriza por su estructura de bandas . Si bien en la escala general (incluidos los niveles centrales) la interacción espín-órbita sigue siendo una pequeña perturbación, puede desempeñar un papel relativamente más importante si nos acercamos a bandas cercanas al nivel de Fermi ( ). La interacción atómica (espín-órbita), por ejemplo, divide bandas que de otro modo serían degeneradas, y la forma particular de esta división espín-órbita (típicamente del orden de unos pocos a unos pocos cientos de milielectronvoltios) depende del sistema particular. Las bandas de interés pueden luego describirse mediante varios modelos efectivos, generalmente basados ​​en algún enfoque perturbativo. En el artículo sobre las interacciones de Rashba y Dresselhaus se explica un ejemplo de cómo la interacción espín-órbita atómica influye en la estructura de bandas de un cristal . ${\displaystyle E_{\text{F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$

En los sólidos cristalinos que contienen iones paramagnéticos, por ejemplo, iones con subcapa atómica d o f abierta, existen estados electrónicos localizados. ^{[6] [7]} En este caso, la estructura de niveles electrónicos de tipo atómico está formada por interacciones intrínsecas de espín-órbita magnética e interacciones con campos eléctricos cristalinos . ^[8] Esta estructura se denomina estructura electrónica fina . Para los iones de tierras raras, las interacciones espín-órbita son mucho más fuertes que las interacciones del campo eléctrico cristalino (CEF). ^[9] El fuerte acoplamiento espín-órbita hace que J sea un número cuántico relativamente bueno, porque el primer multiplete excitado está al menos ~130 meV (1500 K) por encima del multiplete primario. El resultado es que llenarlo a temperatura ambiente (300 K) es insignificante. En este caso, un multiplete primario degenerado (2 J + 1) veces dividido por un CEF externo puede considerarse como la contribución básica al análisis de las propiedades de dichos sistemas. En el caso de cálculos aproximados de base , para determinar cuál es el multiplete primario, se aplican los principios de Hund , conocidos de la física atómica: ${\displaystyle |J,J_{z}\rangle }$

• El estado fundamental de la estructura de los términos tiene el valor máximo S permitido por el principio de exclusión de Pauli .
• El estado fundamental tiene un valor L máximo permitido , con S máximo .
• El multiplete primario tiene un J = | L − S | cuando el caparazón está lleno a menos de la mitad, y J = L + S , donde el relleno es mayor.

Los S , L y J del multiplete fundamental están determinados por las reglas de Hund . El multiplete terrestre está degenerado 2 J + 1 ; su degeneración se elimina mediante interacciones CEF e interacciones magnéticas. Las interacciones CEF y las interacciones magnéticas se parecen, de alguna manera, al efecto Stark y Zeeman conocido en la física atómica . Las energías y funciones propias de la estructura electrónica fina discreta se obtienen mediante la diagonalización de la matriz dimensional (2 J + 1). La fina estructura electrónica puede detectarse directamente mediante muchos métodos espectroscópicos diferentes, incluidos los experimentos de dispersión inelástica de neutrones (INS). El caso de interacciones CEF cúbicas fuertes ^[10] (para iones de metales de transición de 3 d ) forma un grupo de niveles (por ejemplo, T _{2 g} , A _{2 g} ), que se dividen parcialmente por interacciones espín-órbita y (si ocurren) inferiores- Interacciones CEF de simetría. Las energías y funciones propias de la estructura electrónica fina discreta (para el término más bajo) se obtienen mediante la diagonalización de la matriz dimensional (2 L + 1)(2 S + 1). A temperatura cero ( T = 0 K) solo se ocupa el estado más bajo. El momento magnético en T = 0 K es igual al momento del estado fundamental. Permite la evaluación de los momentos totales, de espín y orbitales. Los estados propios y las funciones propias correspondientes se pueden encontrar a partir de la diagonalización directa de la matriz hamiltoniana que contiene el campo cristalino y las interacciones espín-órbita. Teniendo en cuenta la población térmica de estados, se establece la evolución térmica de las propiedades de un solo ion del compuesto. Esta técnica se basa en la teoría del operador equivalente ^[11] definida como el CEF ampliado mediante cálculos termodinámicos y analíticos definido como complemento de la teoría CEF al incluir cálculos termodinámicos y analíticos. ${\displaystyle |\Gamma _{n}\rangle }$

Ejemplos de hamiltonianos eficaces

Las bandas de agujeros de un semiconductor de mezcla de zinc a granel (3D) se dividirán en agujeros pesados ​​y ligeros (que forman un cuatrillizo en el punto - de la zona de Brillouin) y una banda dividida ( doblete). Incluyendo dos bandas de conducción ( doblete en el punto), el sistema se describe mediante el modelo efectivo de ocho bandas de Kohn y Luttinger . Si sólo interesa la parte superior de la banda de valencia (por ejemplo, cuando , el nivel de Fermi se mide desde la parte superior de la banda de valencia), el modelo efectivo de cuatro bandas adecuado es ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma _{8}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{7}}$ ${\displaystyle \Gamma _{6}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E_{\text{F}}\ll \Delta _{0}}$

$${\displaystyle H_{\text{KL}}(k_{\text{x}},k_{\text{y}},k_{\text{z}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left(\gamma _{1}+{{\tfrac {5}{2}}\gamma _{2}}\right)k^{2}-2\gamma _{2}\left(J_{\text{x}}^{2}k_{\text{x}}^{2}+J_{\text{y}}^{2}k_{\text{y}}^{2}+J_{\text{z}}^{2}k_{\text{z}}^{2}\right)-2\gamma _{3}\sum _{m\neq n}J_{m}J_{n}k_{m}k_{n}\right]}$$

anisotropía magnetocristalinaanisotropía magnética ${\displaystyle \gamma _{1,2,3}}$ ${\displaystyle J_{{\text{x}},{\text{y}},{\text{z}}}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle H_{{\text{D}}3}=b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}[(k_{\text{x}}k_{\text{y}}^{2}-k_{\text{x}}k_{\text{z}}^{2})J_{\text{x}}+(k_{\text{y}}k_{\text{z}}^{2}-k_{\text{y}}k_{\text{x}}^{2})J_{\text{y}}+(k_{\text{z}}k_{\text{x}}^{2}-k_{\text{z}}k_{\text{y}}^{2})J_{\text{z}}]}$$

donde el parámetro material para GaAs (ver pág. 72 en el libro de Winkler, según datos más recientes la constante de Dresselhaus en GaAs es 9 eVÅ ³ ; ^[12] el hamiltoniano total será ). El gas de electrones bidimensional en un pozo cuántico asimétrico (o heteroestructura) sentirá la interacción de Rashba. El hamiltoniano efectivo de dos bandas apropiado es ${\displaystyle b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}}$ ${\displaystyle H_{\text{KL}}+H_{{\text{D}}3}}$

$${\displaystyle H_{0}+H_{\text{R}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\sigma _{0}+\alpha (k_{\text{y}}\sigma _{\text{x}}-k_{\text{x}}\sigma _{\text{y}})}$$

${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{{\text{x}},{\text{y}}}}$ ${\displaystyle m^{*}}$ ${\displaystyle H_{\text{R}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Las expresiones anteriores para la interacción espín-órbita combinan matrices de espín y al cuasi-momento , y al potencial vectorial de un campo eléctrico de CA a través de la sustitución de Peierls . Son términos de orden inferior de la teoría de perturbaciones k·p de Luttinger-Kohn en potencias de . Los siguientes términos de esta expansión también producen términos que acoplan operadores de espín de la coordenada del electrón . De hecho, un producto cruzado es invariante con respecto a la inversión del tiempo. En los cristales cúbicos, tiene la simetría de un vector y adquiere el significado de contribución de la órbita de giro al operador de coordenadas. Para electrones en semiconductores con una brecha estrecha entre las bandas de conducción y de huecos pesados, Yafet derivó la ecuación ^{[13] [14]} ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{SO}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {G}}}$

$${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\text{SO}}={\frac {\hbar ^{2}g}{4m_{0}}}\left({\frac {1}{E_{\rm {G}}}}+{\frac {1}{E_{\rm {G}}+\Delta _{0}}}\right)({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$$

${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle -e(\mathbf {r} _{\text{SO}}\cdot \mathbf {E} )}$

Campo electromagnético oscilante

La resonancia de espín dipolar eléctrico (EDSR) es el acoplamiento del espín del electrón con un campo eléctrico oscilante. Similar a la resonancia de espín electrónico (ESR) en la que los electrones pueden excitarse con una onda electromagnética con la energía dada por el efecto Zeeman , en EDSR la resonancia se puede lograr si la frecuencia está relacionada con la división de la banda de energía dada por el espín. Acoplamiento orbital en sólidos. Mientras que en ESR el acoplamiento se obtiene a través de la parte magnética de la onda EM con el momento magnético del electrón, el ESDR es el acoplamiento de la parte eléctrica con el espín y el movimiento de los electrones. Este mecanismo ha sido propuesto para controlar el giro de los electrones en puntos cuánticos y otros sistemas mesoscópicos . ^[15]

Ver también

• Acoplamiento de momento angular
• Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
• Resonancia de espín dipolar eléctrico
• Acoplamiento Kugel-Khomskii
• turno de cordero
• Momento angular relativista
• base esférica
• efecto duro

Notas a pie de página

1. De hecho, es el campo eléctrico en el marco de reposo del núcleo, pero no hay mucha diferencia. ${\displaystyle v\ll c}$

Referencias

1. Thomas, Llewellyn H. (1926). "El movimiento del electrón giratorio". Naturaleza . 117 (2945): 514. Bibcode :1926Natur.117..514T. doi : 10.1038/117514a0 . ISSN  0028-0836. S2CID  4084303.
2. L. Föppl y PJ Daniell, Zur Kinematik des Born'schen starren Körpers , Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 519 (1913).
3. Moller, C. (1952). La teoría de la relatividad. Londres: Oxford en Clarendon Press. págs. 53–56.
4. George P. Fisher (1971). "El momento dipolar eléctrico de un dipolo magnético en movimiento" . Revista Estadounidense de Física . 39 (12): 1528-1533. Código bibliográfico : 1971AmJPh..39.1528F. doi : 10.1119/1.1976708 . Consultado el 14 de mayo de 2023 .
5. Griffiths, David J.; Hnizdo, V. (2013). "La paradoja de Mansuripur". Revista Estadounidense de Física . 81 (8): 570–574. arXiv : 1303.0732 . Código Bib : 2013AmJPh..81..570G. doi :10.1119/1.4812445. ISSN  0002-9505. S2CID  119277926.
6. A. Abragam y B. Bleaney (1970). Resonancia paramagnética electrónica de iones de transición . Prensa de Clarendon, Oxford.
7. JS Griffith (1970). La teoría de los iones de metales de transición . La teoría de los iones de metales de transición, Cambridge University Press.
8. Mulak, J.; Gajek, Z. (2000). El potencial de campo cristalino efectivo . Elsevier Science Ltd, Kidlington, Oxford, Reino Unido.
9. Fulde. Manual sobre tierras raras de física y química vol. 2 . Holanda del Norte. Inc. (1979).
10. Radwanski, RJ; Michalski, R; Ropka, Z.; Błaut, A. (1 de julio de 2002). "Interacciones de campo cristalino y magnetismo en compuestos intermetálicos de metales de transición de tierras raras". Física B. 319 (1–4): 78–89. Código Bib : 2002PhyB..319...78R. doi :10.1016/S0921-4526(02)01110-9.
11. Watanabe, Hiroshi (1966). "Métodos de operador en la teoría del campo de ligandos ". Prentice Hall.
12. Krich, Jacob J.; Halperin, Bertrand I. (2007). "Acoplamiento de órbita-espín de Dresselhaus cúbico en puntos cuánticos de electrones 2D". Cartas de revisión física . 98 (22): 226802. arXiv : cond-mat/0702667 . Código Bib : 2007PhRvL..98v6802K. doi : 10.1103/PhysRevLett.98.226802. PMID  17677870. S2CID  7768497.
13. Yafet, Y. (1963), Factores g y relajación de la red de espín de los electrones de conducción , Física del estado sólido, vol. 14, Elsevier, págs. 1–98, doi :10.1016/s0081-1947(08)60259-3, ISBN 9780126077148
14. EI Rashba y VI Sheka, Resonancias de espín de dipolo eléctrico, en: Espectroscopia de nivel Landau , (Holanda Septentrional, Ámsterdam) 1991, p. 131; https://arxiv.org/abs/1812.01721
15. Rashba, Emmanuel I. (2005). "Dinámica de giro y transporte de giro". Revista de superconductividad . 18 (2): 137-144. arXiv : cond-mat/0408119 . Código Bib : 2005JSup...18..137R. doi :10.1007/s10948-005-3349-8. ISSN  0896-1107. S2CID  55016414.

Libros de texto

• Condon, Edward U. y Shortley, GH (1935). La teoría de los espectros atómicos. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-09209-8.
• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). Prentice Hall.
• Landau, Lev ; Lifshitz, Evgeny . "§72. Estructura fina de niveles atómicos". Mecánica cuántica: teoría no relativista, volumen 3 .
• Yu, Peter Y.; Cardona, Manuel (1995). Fundamentos de Semiconductores . Saltador.
• Winkler, Roland (2003). Efectos del acoplamiento giro-órbita en sistemas bidimensionales de electrones y huecos . Saltador.

Otras lecturas

• Manchón, Aurelien; Koo, Hyun Cheol; Nitta, Junsaku; Frolov, SM; Duine, RA (2015). "Nuevas perspectivas para el acoplamiento órbita-espín de Rashba". Naturaleza . 14 (9): 871–82. arXiv : 1507.02408 . Código Bib : 2015NatMa..14..871M. doi :10.1038/nmat4360. PMID  26288976. S2CID  24116488.
• Rashba, Emmanuel I. (2016). "El acoplamiento entre órbita y giro se globaliza" (PDF) . Revista de Física: Materia Condensada . 28 (42): 421004. Código bibliográfico : 2016JPCM...28P1004R. doi :10.1088/0953-8984/28/42/421004. PMID  27556280. S2CID  206047842.