Zitterbewegung

Efecto particula

En física , el zitterbewegung ( pronunciación alemana: [ˈtsɪtɐ.bəˌveːɡʊŋ] , del alemán zittern  'temblar, jitter' y Bewegung  'movimiento') es la predicción teórica de un movimiento oscilatorio rápido de partículas elementales que obedecen a ecuaciones de ondas relativistas . Esta predicción fue discutida por primera vez por Gregory Breit en 1928 ^{[1] [2]} y más tarde por Erwin Schrödinger en 1930 ^{[3] [4]} como resultado del análisis de las soluciones de paquetes de ondas de la ecuación de Dirac para electrones relativistas en el espacio libre. en el que una interferencia entre estados energéticos positivos y negativos produce una fluctuación aparente (hasta la velocidad de la luz) de la posición de un electrón alrededor de la mediana, con una frecuencia angular de2 mc ²/ℏ, o aproximadamente1,6 × 10 ²¹ radianes por segundo.

Este aparente movimiento oscilatorio a menudo se interpreta como un artefacto del uso de la ecuación de Dirac en la descripción de una sola partícula y desaparece cuando se usa la teoría cuántica de campos . Para el átomo de hidrógeno , la zitterbewegung está relacionada con el término de Darwin , una pequeña corrección del nivel de energía de los orbitales s . ^[5]

Teoría

Giro libre-1/2 fermión

La ecuación de Dirac dependiente del tiempo se escribe como

${\displaystyle H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)}$,

donde es la constante de Planck reducida , es la función de onda ( bispinor ) de una partícula fermiónica spin-½ , y H es el hamiltoniano de Dirac de una partícula libre : ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle H=\beta mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}c}$,

donde es la masa de la partícula, es la velocidad de la luz , es el operador de momento , y y son matrices relacionadas con las matrices Gamma , como y . ${\textstyle m}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle p_{j}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\textstyle \gamma _{\mu }}$ ${\textstyle \beta =\gamma _{0}}$ ${\textstyle \alpha _{j}=\gamma _{0}\gamma _{j}}$

En la imagen de Heisenberg , la dependencia temporal de un Q observable arbitrario obedece a la ecuación

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial Q}{\partial t}}=\left[H,Q\right].}$

En particular, la dependencia del tiempo del operador de posición viene dada por

${\displaystyle {\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}={\frac {i}{\hbar }}\left[H,x_{k}\right]=c\alpha _{k}}$.

donde x _k ( t ) es el operador de posición en el momento t .

La ecuación anterior muestra que el operador α _k puede interpretarse como el k -ésimo componente de un "operador de velocidad".

Tenga en cuenta que esto implica que

${\displaystyle \left\langle \left({\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}\right)^{2}\right\rangle =c^{2}}$,

como si la "velocidad cuadrática media" en todas las direcciones del espacio fuera la velocidad de la luz.

Para agregar dependencia del tiempo a α _k , se implementa la imagen de Heisenberg, que dice

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=e^{\frac {iHt}{\hbar }}\alpha _{k}e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}}$.

La dependencia del tiempo del operador de velocidad está dada por

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial \alpha _{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2\left(i\gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l}\right)=2i\left(p_{k}-\alpha _{k}H\right)}$,

dónde

${\displaystyle \sigma _{kl}\equiv {\frac {i}{2}}\left[\gamma _{k},\gamma _{l}\right].}$

Ahora bien, debido a que tanto p _k como H son independientes del tiempo, la ecuación anterior se puede integrar fácilmente dos veces para encontrar la dependencia temporal explícita del operador de posición.

Primero:

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}+cp_{k}H^{-1}}$,

y finalmente

${\displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)\left(e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}-1\right)}$.

La expresión resultante consta de una posición inicial, un movimiento proporcional al tiempo y un término de oscilación con una amplitud igual a la longitud de onda de Compton reducida . Ese término de oscilación es el llamado zitterbewegung.

Interpretación

En mecánica cuántica, el término zitterbewegung desaparece al tomar valores esperados para paquetes de ondas que están compuestos enteramente de ondas de energía positiva (o enteramente negativa). La velocidad relativista estándar se puede recuperar tomando una transformación de Foldy-Wouthuysen , cuando los componentes positivo y negativo están desacoplados. Por lo tanto, llegamos a la interpretación de que la zitterbewegung es causada por la interferencia entre los componentes de onda de energía positiva y negativa.

En la electrodinámica cuántica (QED), los estados de energía negativa se sustituyen por estados de positrones y se entiende por zitterbewegung el resultado de la interacción del electrón con pares electrón-positrón que se forman y destruyen espontáneamente . ^[6]

Más recientemente, se ha observado que en el caso de partículas libres podría tratarse simplemente de un artefacto de la teoría simplificada. Zitterbewegung parece deberse a los "pequeños componentes" del 4-spinor de Dirac, debido a un poco de antipartícula mezclada en la función de onda de la partícula para un movimiento no relativista. No aparece en la segunda teoría cuantificada correcta , o más bien, se resuelve usando propagadores de Feynman y haciendo QED . Sin embargo, es una forma interesante de comprender heurísticamente ciertos efectos de la QED a partir de la imagen de una sola partícula. ^[7]

Imagen en zigzag de fermiones.

Roger Penrose ^[8] proporcionó una perspectiva alternativa del significado físico de zitterbewegung al observar que la ecuación de Dirac se puede reformular dividiendo el espinor de Dirac de cuatro componentes en un par de dos componentes zurdos y diestros sin masa. espinores (o componentes en zig y zag ), donde cada uno es el término fuente en la ecuación de movimiento del otro, con una constante de acoplamiento proporcional a la masa en reposo de la partícula original , como ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi =(\psi _{\rm {L}},\psi _{\rm {R}})}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=m\psi _{\rm {L}}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=m\psi _{\rm {R}}\end{matrix}}\right.}$.

La masiva partícula de Dirac original puede considerarse entonces como compuesta de dos componentes sin masa, cada uno de los cuales se convierte continuamente en el otro. Como los componentes no tienen masa, se mueven a la velocidad de la luz y su giro está obligado a ser aproximadamente la dirección del movimiento, pero cada uno tiene helicidad opuesta: y como el giro permanece constante, la dirección de la velocidad se invierte, lo que lleva a la característica movimiento en zigzag o zitterbewegung.

Simulación experimental

Nunca se ha observado directamente el Zitterbewegung de una partícula relativista libre, aunque algunos autores creen haber encontrado pruebas a favor de su existencia. ^[9] También se ha simulado dos veces en sistemas modelo que proporcionan análogos de materia condensada del fenómeno relativista. El primer ejemplo, en 2010, colocó un ion atrapado en un entorno tal que la ecuación de Schrödinger no relativista para el ion tenía la misma forma matemática que la ecuación de Dirac (aunque la situación física es diferente). ^{[10] [11]} Luego, en 2013, se simuló en una configuración con condensados ​​de Bose-Einstein . ^[12]

Otras propuestas para análogos de materia condensada incluyen nanoestructuras semiconductoras, grafeno y aislantes topológicos . ^{[13] [14] [15] [16]}

Ver también

• efecto casimir
• turno de cordero

Referencias

1. Breit, Gregory (1928). "Una interpretación de la teoría del electrón de Dirac". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 14 (7): 553–559. Código bibliográfico : 1928PNAS...14..553B. doi : 10.1073/pnas.14.7.553 . ISSN  0027-8424. PMC  1085609 . PMID  16587362.
2. Greiner, Walter (1995). Mecánica cuántica relativista. doi :10.1007/978-3-642-88082-7. ISBN 978-3-540-99535-7. S2CID  124404090.
3. Schrödinger, E. (1930). Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik [ Sobre el libre movimiento en la mecánica cuántica relativista ] (en alemán). págs. 418–428. OCLC  881393652.
4. Schrödinger, E. (1931). Zur Quantendynamik des Elektrons [ Dinámica cuántica del electrón ] (en alemán). págs. 63–72.
5. Pinzas, David (2017). Aplicaciones de la Mecánica Cuántica (PDF) . Universidad de Cambridge.
6. Zhi-Yong, W. y Cai-Dong, X. (2008). Zitterbewegung en la teoría cuántica de campos. Física china B, 17 (11), 4170.
7. "Ecuación de Dirac: ¿Es Zitterbewegung un artefacto de la teoría de una sola partícula?".
8. Penrose, Roger (2004). El camino a la realidad (Sexta edición ed.). Alfred A. Knopf. págs. 628–632. ISBN 0-224-04447-8.
9. Catillón, P.; Cue, N.; Gaillard, MJ; et al. (1 de julio de 2008). "Una búsqueda del reloj interno de partículas de De Broglie mediante canalización de electrones". Fundamentos de la Física . 38 (7): 659–664. Código bibliográfico : 2008FoPh...38..659C. doi :10.1007/s10701-008-9225-1. ISSN  1572-9516. S2CID  121875694.
10. Wunderlich, Christof (2010). "Física cuántica: ion atrapado listo para temblar". Noticias y opiniones de la naturaleza . 463 (7277): 37–39. Código Bib :2010Natur.463...37W. doi : 10.1038/463037a . PMID  20054385.
11. Gerritsma; Kirchmair; Zähringer; solano; Blatt; Roos (2010). "Simulación cuántica de la ecuación de Dirac". Naturaleza . 463 (7277): 68–71. arXiv : 0909.0674 . Código Bib :2010Natur.463...68G. doi : 10.1038/naturaleza08688. PMID  20054392. S2CID  4322378.
12. Leblanc; Beeler; Jiménez-García; Sidra de pera; Sugawa; Williams; Spielman (2013). "Observación directa de zitterbewegung en un condensado de Bose-Einstein". Nueva Revista de Física . 15 (7): 073011. arXiv : 1303.0914 . doi :10.1088/1367-2630/15/7/073011. S2CID  119190847.
13. Schliemann, John (2005). "Zitterbewegung de paquetes de ondas electrónicas en pozos cuánticos de semiconductores de mezcla de zinc III-V". Cartas de revisión física . 94 (20): 206801. arXiv : cond-mat/0410321 . Código Bib : 2005PhRvL..94t6801S. doi : 10.1103/PhysRevLett.94.206801. PMID  16090266. S2CID  118979437.
14. Katsnelson, MI (2006). "Zitterbewegung, quiralidad y conductividad mínima en grafeno". La revista física europea B. 51 (2): 157–160. arXiv : cond-mat/0512337 . Código Bib : 2006EPJB...51..157K. doi :10.1140/epjb/e2006-00203-1. S2CID  119353065.
15. Dora, Balász; Cayssol, Jérôme; Simón, Ference; Moessner, Roderich (2012). "Ingeniería óptica de las propiedades topológicas de un aislante Hall de espín". Cartas de revisión física . 108 (5): 056602. arXiv : 1105.5963 . Código bibliográfico : 2012PhRvL.108e6602D. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.056602. PMID  22400947. S2CID  15507388.
16. Shi, Likun; Zhang, Shoucheng; Cheng, Kai (2013). "Trayectoria anómala de electrones en aisladores topológicos". Revisión física B. 87 (16): 161115. arXiv : 1109.4771 . Código bibliográfico : 2013PhRvB..87p1115S. doi : 10.1103/PhysRevB.87.161115. S2CID  118446413.

Otras lecturas

• Mesías, A. (1962). «XX, Artículo 37» (pdf) . Mecánica cuántica . vol. II. págs. 950–952. ISBN 9780471597681.

enlaces externos

• Zitterbewegung en New Scientist