Segunda cuantificación

Formulación del problema cuántico de muchos cuerpos.

La segunda cuantificación , también conocida como representación de números de ocupación , es un formalismo utilizado para describir y analizar sistemas cuánticos de muchos cuerpos . En la teoría cuántica de campos , se conoce como cuantificación canónica , en la que los campos (típicamente como funciones de onda de la materia) se consideran operadores de campo , de manera similar a cómo se calculan las cantidades físicas (posición, momento, etc.). pensados ​​como operadores en la primera cuantificación . Las ideas clave de este método fueron introducidas en 1927 por Paul Dirac , ^[1] y posteriormente desarrolladas, sobre todo, por Pascual Jordan ^[2] y Vladimir Fock . ^{[3] [4]} En este enfoque, los estados cuánticos de muchos cuerpos se representan en la base de estados de Fock , que se construyen llenando cada estado de una sola partícula con un cierto número de partículas idénticas. ^[5] El segundo formalismo de cuantificación introduce los operadores de creación y aniquilación para construir y manejar los estados de Fock, proporcionando herramientas útiles para el estudio de la teoría cuántica de muchos cuerpos.

Estados cuánticos de muchos cuerpos

El punto de partida del segundo formalismo de cuantificación es la noción de indistinguibilidad de partículas en la mecánica cuántica. A diferencia de la mecánica clásica, donde cada partícula está etiquetada por un vector de posición distinto y diferentes configuraciones del conjunto de s corresponden a diferentes estados de muchos cuerpos, en la mecánica cuántica las partículas son idénticas, de modo que el intercambio de dos partículas, es decir , no conducir a un estado cuántico diferente de muchos cuerpos . Esto implica que la función de onda cuántica de muchos cuerpos debe ser invariante (hasta un factor de fase) bajo el intercambio de dos partículas. Según las estadísticas de partículas, la función de onda de muchos cuerpos puede ser simétrica o antisimétrica bajo el intercambio de partículas: ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}}$

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$si las partículas son bosones ,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$si las partículas son fermiones .

Esta propiedad de simetría de intercambio impone una restricción a la función de onda de muchos cuerpos. Cada vez que se agrega o elimina una partícula del sistema de muchos cuerpos, la función de onda debe simetrizarse o antisimetrizarse adecuadamente para satisfacer la restricción de simetría. En el primer formalismo de cuantificación, esta restricción se garantiza representando la función de onda como una combinación lineal de permanentes (para bosones) o determinantes (para fermiones) de estados de una sola partícula. En el segundo formalismo de cuantificación, los operadores de creación y aniquilación se ocupan automáticamente de la cuestión de la simetrización, de modo que su notación puede ser mucho más simple.

Función de onda de muchos cuerpos cuantificada por primera vez

Considere un conjunto completo de funciones de onda de una sola partícula etiquetadas por (que puede ser un índice combinado de varios números cuánticos). La siguiente función de onda ${\displaystyle \psi _{\alpha }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}}$

representa un estado de N -partícula con la i -ésima partícula ocupando el estado de partícula única . En la notación abreviada, el argumento de posición de la función de onda puede omitirse y se supone que la i -ésima función de onda de una sola partícula describe el estado de la i -ésima partícula. La función de onda no ha sido simetrizada ni antisimetrizada, por lo que en general no se califica como función de onda de muchos cuerpos para partículas idénticas. Sin embargo, los operadores para simetrizador y antisimetrizador pueden llevarlo a la forma simetrizada (antisimetrizada ) . ${\displaystyle |{\alpha _{i}}\rangle }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Para los bosones, la función de onda de muchos cuerpos debe estar simetrizada,

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};}$

mientras que para los fermiones, la función de onda de muchos cuerpos debe ser antisimetrizada,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}}.}$

Aquí hay un elemento en el grupo de permutación de N cuerpos (o grupo simétrico ) , que realiza una permutación entre las etiquetas de estado y denota el signo de permutación correspondiente . es el operador de normalización que normaliza la función de onda. (Es el operador el que aplica un factor de normalización numérico adecuado a los tensores simetrizados de grado n ; consulte la siguiente sección para conocer su valor). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S_{N}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle (-1)^{\pi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Si se organizan las funciones de onda de una sola partícula en una matriz , de modo que el elemento de matriz fila -i columna - j sea , entonces la función de onda de muchos cuerpos del bosón se puede escribir simplemente como permanente , y la función de onda de muchos cuerpos del fermión como determinante (también conocido como determinante de Slater ). ^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{ij}=\psi _{\alpha _{j}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \langle \mathbf {r} _{i}|\alpha _{j}\rangle }$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U}$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}={\mathcal {N}}\det U}$

Estados de Fock segundocuantizados

Las primeras funciones de onda cuantificadas implican complicados procedimientos de simetrización para describir estados de muchos cuerpos físicamente realizables porque el lenguaje de la primera cuantificación es redundante para partículas indistinguibles. En el primer lenguaje de cuantificación, el estado de muchos cuerpos se describe respondiendo una serie de preguntas como "¿Qué partícula se encuentra en qué estado?" . Sin embargo, estas no son cuestiones físicas, porque las partículas son idénticas y es imposible decir cuál partícula es cuál en primer lugar. Los estados aparentemente diferentes son en realidad nombres redundantes del mismo estado cuántico de muchos cuerpos. Por lo tanto, se debe introducir la simetrización (o antisimetrización) para eliminar esta redundancia en la primera descripción de cuantificación. ${\displaystyle \psi _{1}\otimes \psi _{2}}$ ${\displaystyle \psi _{2}\otimes \psi _{1}}$

En el segundo lenguaje de cuantificación, en lugar de preguntar "cada partícula en qué estado", uno pregunta "¿Cuántas partículas hay en cada estado?" . Debido a que esta descripción no se refiere al etiquetado de partículas, no contiene información redundante y, por lo tanto, conduce a una descripción precisa y más simple del estado cuántico de muchos cuerpos. En este enfoque, el estado de muchos cuerpos se representa en la base del número de ocupación, y el estado base está etiquetado por el conjunto de números de ocupación, denotado

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\alpha },\cdots \rangle ,}$

lo que significa que hay partículas en el estado de partícula única (o como ). Los números de ocupación suman el número total de partículas, es decir . Para los fermiones , el número de ocupación sólo puede ser 0 o 1, debido al principio de exclusión de Pauli ; mientras que para los bosones puede ser cualquier número entero no negativo ${\displaystyle n_{\alpha }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\textstyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N}$ ${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle n_{\alpha }={\begin{cases}0,1&{\text{fermions,}}\\0,1,2,3,...&{\text{bosons.}}\end{cases}}}$

Los estados con números de ocupación también se conocen como estados de Fock. Todos los estados de Fock forman una base completa del espacio de Hilbert de muchos cuerpos, o espacio de Fock . Cualquier estado cuántico genérico de muchos cuerpos puede expresarse como una combinación lineal de estados de Fock. ${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle }$

Tenga en cuenta que además de proporcionar un lenguaje más eficiente, el espacio de Fock permite un número variable de partículas. Como espacio de Hilbert , es isomorfo a la suma de los espacios tensoriales bosónicos o fermiónicos de n partículas descritos en la sección anterior, incluido un espacio unidimensional de partículas cero C.

El estado de Fock con todos los números de ocupación iguales a cero se llama estado de vacío , denotado . El estado de Fock con un solo número de ocupación distinto de cero es un estado de Fock monomodo, denotado . En términos de la primera función de onda cuantificada, el estado de vacío es el producto tensor unitario y se puede denotar . El estado de partícula única se reduce a su función de onda . Otros estados monomodo de muchos cuerpos (bosones) son simplemente el producto tensorial de la función de onda de ese modo, como y . Para estados de Fock multimodo (lo que significa que está involucrado más de un estado de una sola partícula), la función de onda correspondiente a la primera cuantificación requerirá una simetrización adecuada de acuerdo con las estadísticas de la partícula, por ejemplo, para un estado de bosón y para un estado de fermión (el símbolo entre y se omite por simplicidad). En general, se encuentra que la normalización es , donde N es el número total de partículas. Para el fermión, esta expresión se reduce a que solo puede ser cero o uno. Entonces, la primera función de onda cuantificada correspondiente al estado de Fock lee ${\displaystyle |0\rangle \equiv |\cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle }$ ${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle \equiv |\cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle =1}$ ${\displaystyle |1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle |2_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\textstyle {\sqrt {{1}/{N!\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {N!}}}}$ ${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {B}}=\left({\frac {1}{N!\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}}\right)^{1/2}{\mathcal {S}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

para bosones y

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\mathcal {A}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

para fermiones. Tenga en cuenta que solo para fermiones, por lo que el producto tensorial anterior es efectivamente solo un producto de todos los estados ocupados de una sola partícula. ${\displaystyle n_{\alpha }=0,1}$

Operadores de creación y aniquilación.

Los operadores de creación y aniquilación se introducen para agregar o eliminar una partícula del sistema de muchos cuerpos. Estos operadores se encuentran en el núcleo del segundo formalismo de cuantificación, cerrando la brecha entre los estados cuantificados primero y segundo. La aplicación del operador de creación (aniquilación) a una función de onda de muchos cuerpos cuantificada por primera vez insertará (eliminará) un estado de una sola partícula de la función de onda de forma simetrizada dependiendo de las estadísticas de las partículas. Por otro lado, todos los estados de Fock con segunda cuantificación se pueden construir aplicando los operadores de creación al estado de vacío repetidamente.

Los operadores de creación y aniquilación (para bosones) se construyen originalmente en el contexto del oscilador armónico cuántico como operadores de elevación y descenso, que luego se generalizan a los operadores de campo en la teoría cuántica de campos. ^[7] Son fundamentales para la teoría cuántica de muchos cuerpos, en el sentido de que cada operador de muchos cuerpos (incluido el hamiltoniano del sistema de muchos cuerpos y todos los observables físicos) puede expresarse en términos de ellos.

Operación de inserción y eliminación.

La creación y aniquilación de una partícula se implementa mediante la inserción y eliminación del estado de partícula única de la primera función de onda cuantificada de forma simétrica o antisimétrica. Sea un estado de partícula única, sea 1 la identidad del tensor (es el generador del espacio de partículas cero C y satisface en el álgebra tensorial sobre el espacio fundamental de Hilbert), y sea un estado de producto tensorial genérico. Los operadores de inserción y eliminación son operadores lineales definidos por las siguientes ecuaciones recursivas ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\equiv 1\otimes \psi _{\alpha }\equiv \psi _{\alpha }\otimes 1}$ ${\displaystyle \Psi =\psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots }$ ${\displaystyle \otimes _{\pm }}$ ${\displaystyle \oslash _{\pm }}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }1=\psi _{\alpha },\quad \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{\pm }\Psi );}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }1=0,\quad \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\delta _{\alpha \beta }\Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }\Psi ).}$

Aquí está el símbolo delta de Kronecker , que da 1 si y 0 en caso contrario. El subíndice de los operadores de inserción o eliminación indica si se implementa la simetrización (para bosones) o la antisimetrización (para fermiones). ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ${\displaystyle \pm }$

Operadores de creación y aniquilación de bosones.

El operador de creación de bosones (resp. aniquilación) generalmente se indica como (resp. ). El operador de creación agrega un bosón al estado de partícula única y el operador de aniquilación elimina un bosón del estado de partícula única . Los operadores de creación y aniquilación son conjugados hermitianos entre sí, pero ninguno de ellos es operador hermitiano ( ). ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle b_{\alpha }}$ ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle b_{\alpha }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle b_{\alpha }\neq b_{\alpha }^{\dagger }}$

Definición

El operador de creación (aniquilación) de bosones es un operador lineal, cuya acción sobre una función de onda de primera cuantificación de N partículas se define como ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\Psi ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\Psi ,}$

donde inserta simétricamente el estado de una sola partícula en posibles posiciones de inserción y elimina simétricamente el estado de una sola partícula de posibles posiciones de eliminación. ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{+}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{+}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N}$

Ejemplos

De aquí en adelante se omite el símbolo tensor entre estados de una sola partícula por simplicidad. Toma el estado , crea un bosón más en el estado , ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(b_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\sqrt {2}}|2_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

Luego aniquila un bosón del estado , ${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}|2_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {3}}}(b_{1}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+b_{1}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}+0)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{2}\psi _{1}+0+\psi _{1}\psi _{2})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(0+\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1})\right)\\=&\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1}\\=&{\sqrt {2}}|1_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

Acción sobre los estados Fock

A partir del estado de vacío monomodo , aplicando el operador de creación repetidamente, se encuentra ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$ ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{+}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|n_{\alpha }+1\rangle .}$

El operador de creación aumenta el número de ocupación del bosón en 1. Por lo tanto, el operador de creación del bosón puede construir todos los estados del número de ocupación a partir del estado de vacío.

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }!}}}(b_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

Por otro lado, el operador de aniquilación reduce el número de ocupación del bosón en 1 ${\displaystyle b_{\alpha }}$

${\displaystyle b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }-1)}={\sqrt {n_{\alpha }}}|n_{\alpha }-1\rangle .}$

También apagará el estado de vacío, ya que no queda ningún bosón en el estado de vacío para ser aniquilado. Utilizando las fórmulas anteriores se puede demostrar que ${\displaystyle b_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

significado que define el operador del número de bosones. ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }}$

El resultado anterior se puede generalizar a cualquier estado de bosones de Fock.

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\displaystyle b_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }-1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Estas dos ecuaciones pueden considerarse como las propiedades definitorias de los operadores de creación y aniquilación de bosones en el formalismo de segunda cuantificación. La complicada simetrización de la función de onda subyacente de la primera cuantificación es atendida automáticamente por los operadores de creación y aniquilación (cuando actúan sobre la función de onda de la primera cuantificación), de modo que la complejidad no se revela en el nivel de la segunda cuantificación, y la Las fórmulas de segunda cuantificación son simples y claras.

Identidades del operador

Las siguientes identidades de operadores se derivan de la acción de los operadores de creación y aniquilación de bosones en el estado de Fock,

${\displaystyle [b_{\alpha }^{\dagger },b_{\beta }^{\dagger }]=[b_{\alpha },b_{\beta }]=0,\quad [b_{\alpha },b_{\beta }^{\dagger }]=\delta _{\alpha \beta }.}$

Estas relaciones de conmutación pueden considerarse como la definición algebraica de los operadores de creación y aniquilación de bosones. El hecho de que la función de onda de muchos cuerpos del bosón sea simétrica en el intercambio de partículas también se manifiesta por la conmutación de los operadores de bosones.

Los operadores de subida y bajada del oscilador armónico cuántico también satisfacen el mismo conjunto de relaciones de conmutación, lo que implica que los bosones pueden interpretarse como los cuantos de energía (fonones) de un oscilador. Los operadores de posición y momento de un oscilador armónico (o una colección de modos de oscilación armónica) están dados por combinaciones hermitianas de operadores de creación y aniquilación de fonones.

${\displaystyle x_{\alpha }=(b_{\alpha }+b_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad p_{\alpha }=(b_{\alpha }-b_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

que reproducen la relación de conmutación canónica entre operadores de posición y momento (con ) ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle [x_{\alpha },p_{\beta }]=\mathrm {i} \delta _{\alpha \beta },\quad [x_{\alpha },x_{\beta }]=[p_{\alpha },p_{\beta }]=0.}$

Esta idea está generalizada en la teoría cuántica de campos , que considera cada modo del campo de materia como un oscilador sujeto a fluctuaciones cuánticas, y los bosones son tratados como las excitaciones (o cuantos de energía) del campo.

Operadores de creación y aniquilación de fermiones.

El operador de creación (aniquilación) de fermiones generalmente se indica como ( ). El operador de creación agrega un fermión al estado de partícula única y el operador de aniquilación elimina un fermión del estado de partícula única . ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Definición

El operador de creación (aniquilación) de fermiones es un operador lineal, cuya acción sobre una función de onda de primera cuantificación de N partículas se define como ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\Psi ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{-}\Psi ,}$

donde inserta el estado de partícula única en posibles posiciones de inserción de forma antisimétrica y elimina el estado de partícula única de posibles posiciones de eliminación de forma antisimétrica. ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{-}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{-}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N}$

Es particularmente instructivo ver los resultados de los operadores de creación y aniquilación en estados de dos (o más) fermiones, porque demuestran los efectos del intercambio. En el siguiente ejemplo se dan algunas operaciones ilustrativas. El álgebra completa para los operadores de creación y aniquilación en un estado de dos fermiones se puede encontrar en Quantum Photonics . ^[8]

Ejemplos

De aquí en adelante se omite el símbolo tensor entre estados de una sola partícula por simplicidad. Tome el estado , el intento de crear un fermión más en el estado ocupado apagará toda la función de onda de muchos cuerpos, ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}-c_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}-\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&0.\end{array}}}$

Aniquilar un fermión en el estado, tomar el estado , ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{2}|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{2}\psi _{1}\psi _{2}-c_{2}\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}(0-\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}-0)\right)\\=&-\psi _{1}\\=&-|1_{1},0_{2}\rangle .\end{array}}}$

El signo menos (conocido como signo de fermión) aparece debido a la propiedad antisimétrica de la función de onda del fermión.

Acción sobre los estados Fock

A partir del estado de vacío monomodo , aplicando el operador de creación de fermiones , ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$ ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{-}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|1_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\psi _{\alpha }=0.}$

Si el estado de una sola partícula está vacío, el operador de creación llenará el estado con un fermión. Sin embargo, si el estado ya está ocupado por un fermión, una mayor aplicación del operador de creación apagará el estado, lo que demuestra el principio de exclusión de Pauli de que dos fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado simultáneamente. Sin embargo, el operador de aniquilación de fermiones puede eliminar el fermión del estado ocupado . ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$

${\displaystyle c_{\alpha }|1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\oslash _{-}\psi _{\alpha }=1=|0_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0.}$

El estado de vacío se apaga mediante la acción del operador de aniquilación.

De manera similar al caso del bosón, el estado de Fock del fermión se puede construir a partir del estado de vacío utilizando el operador de creación de fermiones.

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =(c_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

Es fácil comprobar (por enumeración) que

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

lo que significa que define el operador del número de fermiones. ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }}$

El resultado anterior se puede generalizar a cualquier estado de fermiones de Fock.

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1+n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$^[9]

${\displaystyle c_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Recuerde que el número de ocupación sólo puede tomar 0 o 1 para los fermiones. Estas dos ecuaciones pueden considerarse como las propiedades definitorias de los operadores de creación y aniquilación de fermiones en el segundo formalismo de cuantificación. Tenga en cuenta que la estructura de signos de fermiones , también conocida como cadena de Jordan-Wigner , requiere que exista un ordenamiento predefinido de los estados de una sola partícula (la estructura de espín ) ^{[ se necesita aclaración ]} e implica un recuento de los números de ocupación de fermiones de todos los estados precedentes; por lo tanto, los operadores de creación y aniquilación de fermiones se consideran no locales en algún sentido. Esta observación lleva a la idea de que los fermiones son partículas emergentes en el sistema qubit local entrelazado de largo alcance . ^[10] ${\displaystyle n_{\alpha }}$ ${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$

Identidades del operador

Las siguientes identidades de operadores se derivan de la acción de los operadores de creación y aniquilación de fermiones en el estado de Fock,

${\displaystyle \{c_{\alpha }^{\dagger },c_{\beta }^{\dagger }\}=\{c_{\alpha },c_{\beta }\}=0,\quad \{c_{\alpha },c_{\beta }^{\dagger }\}=\delta _{\alpha \beta }.}$

Estas relaciones anti-conmutación pueden considerarse como la definición algebraica de los operadores de creación y aniquilación de fermiones. El hecho de que la función de onda de muchos cuerpos del fermión sea antisimétrica bajo el intercambio de partículas también se manifiesta por la anticonmutación de los operadores del fermión.

Los operadores de creación y aniquilación son conjugados hermitianos entre sí, pero ninguno de ellos es operador hermitiano ( ). La combinación hermitiana de los operadores de creación y aniquilación de fermiones. ${\displaystyle c_{\alpha }\neq c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle \chi _{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha }+c_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha }-c_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

se denominan operadores de fermiones de Majorana . Pueden verse como el análogo fermiónico de los operadores de posición y momento de un oscilador armónico "fermiónico". Satisfacen la relación anticonmutación.

${\displaystyle \{\chi _{i},\chi _{j}\}=\delta _{ij},}$

donde etiqueta a cualquier operador de fermiones de Majorana en pie de igualdad (independientemente de su origen a partir de una combinación Re o Im de operadores de fermiones complejos ). La relación de anticonmutación indica que los operadores de fermiones de Majorana generan un álgebra de Clifford , que puede representarse sistemáticamente como operadores de Pauli en el espacio de Hilbert de muchos cuerpos. ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$

Operadores de campo cuántico

Al definirse como un operador de aniquilación (creación) general para un estado de una sola partícula que podría ser fermiónico o bosónico , la representación en el espacio real de los operadores define los operadores del campo cuántico y por ${\displaystyle a_{\nu }^{\dagger }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (c_{\nu }^{\dagger })}$ ${\displaystyle (b_{\nu }^{\dagger })}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }^{\dagger }}$

Se trata de operadores de segunda cuantificación, con coeficientes y que son funciones de onda ordinarias de primera cuantificación . Así, por ejemplo, cualquier valor esperado será una función de onda ordinaria de primera cuantificación. En términos generales, es la suma de todas las formas posibles de agregar una partícula al sistema en la posición r a través de cualquiera de los estados básicos , no necesariamente ondas planas, como se muestra a continuación. ${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$ ${\displaystyle \psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)}$ ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$

Dado que y son segundos operadores de cuantificación definidos en cada punto del espacio, se denominan operadores de campo cuántico . Obedecen las siguientes relaciones fundamentales de conmutador y anticonmutador, ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \left[\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\right]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$campos de bosones,

${\displaystyle \{\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\}=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$campos de fermiones.

Para sistemas homogéneos, a menudo es deseable realizar transformaciones entre el espacio real y las representaciones de momento, por lo tanto, los operadores de campos cuánticos en base de Fourier producen:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }^{\dagger }}$

Comentar sobre nomenclatura

El término "segunda cuantificación", introducido por Jordan ^[11] es un nombre inapropiado que ha persistido por razones históricas. En el origen de la teoría cuántica de campos, se pensaba erróneamente que la ecuación de Dirac describía una función de onda relativista (de ahí la obsoleta interpretación del "mar de Dirac"), en lugar de un campo de espinor clásico que, cuando se cuantificaba (como el campo escalar), producía una Campo cuántico fermiónico (frente a un campo cuántico bosónico).

No se trata de cuantificar "otra vez", como podría sugerir el término "segundo"; El campo que se está cuantificando no es una función de onda de Schrödinger que se produjo como resultado de la cuantificación de una partícula, sino que es un campo clásico (como el campo electromagnético o el campo de espinor de Dirac ), esencialmente un conjunto de osciladores acoplados, que no fue previamente cuantificados. Se trata simplemente de cuantificar cada oscilador de este conjunto, pasando de un tratamiento semiclásico del sistema a uno totalmente mecánico cuántico.

Ver también

• Cuantización canónica
• Primera cuantificación
• Cuantización geométrica
• Cuantización (física)
• Schrödinger funcional
• Teoría de campos escalares

Referencias

1. Dirac, Paul Adrien Maurice (1927). "La teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter físico y matemático . 114 (767): 243–265. Código bibliográfico : 1927RSPSA.114..243D. doi : 10.1098/rspa.1927.0039 .
2. Jordán, Pascual; Wigner, Eugenio (1928). "Über das Paulische Äquivalenzverbot". Zeitschrift für Physik (en alemán). 47 (9): 631–651. Código bibliográfico : 1928ZPhy...47..631J. doi :10.1007/bf01331938. S2CID  126400679.
3. Fock, Vladimir Alexandrovich (1932). "Konfigurationsraum und zweite Quantelung". Zeitschrift für Physik (en alemán). 75 (9–10): 622–647. Código Bib : 1932ZPhy...75..622F. doi :10.1007/bf01344458. S2CID  186238995.
4. Caña, Michael ; Simón, Barry (1975). Métodos de la física matemática moderna. Volumen II: Análisis de Fourier, Autoadjunción . San Diego: Prensa académica. pag. 328.ISBN​ 9780080925370.
5. Becchi, Carlo María (2010). "Segunda cuantificación". Scholarpedia . 5 (6): 7902. Código bibliográfico : 2010SchpJ...5.7902B. doi : 10.4249/scholarpedia.7902 .
6. Koch, Erik (2013). "Estados de muchos electrones". En Pavarini, Eva; Koch, Erik; Schollwöck, Ulrich (eds.). Fenómenos emergentes en materia correlacionada. Modelado y Simulación. vol. 3. Jülich: Verlag des Forschungszentrum Jülich. págs. 2,1 a 2,26. hdl :2128/5389. ISBN 978-3-89336-884-6.
7. Mahan, Gerald D. (2000). Física de muchas partículas . Física de Sólidos y Líquidos (3ª ed.). Nueva York: Springer. doi :10.1007/978-1-4757-5714-9. ISBN 978-1-4757-5714-9.
8. Pearsall, Thomas P. (2020). Fotónica Cuántica . Textos de Graduado en Física (2ª ed.). Cham, Suiza: Springer. págs. 301–302. Código Bib : 2020quph.book.......P. doi :10.1007/978-3-030-47325-9. ISBN 978-3-030-47325-9.
9. Libro "Modelos nucleares" de Greiner y Maruhn p53 ecuación 3.47: http://xn--webducation-dbb.com/wp-content/uploads/2019/02/Walter-Greiner-Joachim-A.-Maruhn-DA- Bromley-Nuclear-Models-Springer-Verlag-1996.pdf
10. Levin, M.; Wen, XG (2003). "Fermiones, cuerdas y campos de calibre en modelos de espín reticular". Revisión física B. 67 (24): 245316. arXiv : cond-mat/0302460 . Código Bib : 2003PhRvB..67x5316L. doi : 10.1103/PhysRevB.67.245316. S2CID  29180411.
11. Todorov, Iván (2012). "La cuantización es un misterio". Revista Búlgara de Física . 39 (2): 107–149. arXiv : 1206.3116 .