La primera cuantificación es un procedimiento para convertir ecuaciones de ecuaciones de partículas clásicas en ecuaciones de ondas cuánticas. El concepto complementario de segunda cuantificación convierte las ecuaciones de campo clásicas en ecuaciones de campo cuánticas. [1]
Sin embargo, esto no necesita ser el caso. En particular, se puede crear una versión completamente cuántica de la teoría interpretando los campos que interactúan y sus potenciales asociados como operadores de multiplicación, siempre que el potencial esté escrito en las coordenadas canónicas que sean compatibles con las coordenadas euclidianas de la mecánica clásica estándar . [2] La primera cuantificación es apropiada para estudiar un único sistema mecánico-cuántico (no debe confundirse con un sistema de una sola partícula, ya que una sola función de onda cuántica describe el estado de un solo sistema cuántico, que puede tener arbitrariamente muchas partes constituyentes complicadas, y cuya evolución viene dada por una sola ecuación de Schrödinger desacoplada ) siendo controlado por aparatos de laboratorio que se rigen por la mecánica clásica , por ejemplo un voltímetro anticuado (que carece de los dispositivos semiconductores modernos, que se basan en la teoría cuántica; aunque esto es suficiente, no es necesario), un simple termómetro, un generador de campo magnético, etc.
Publicado en 1901, Max Planck dedujo la existencia y el valor de la constante que ahora lleva su nombre considerando únicamente la ley de desplazamiento de Wien , la mecánica estadística y la teoría electromagnética . [3] Cuatro años más tarde, en 1905, Albert Einstein fue más allá al dilucidar esta constante y su profunda conexión con el potencial de parada de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico. [4] La energía en el efecto fotoeléctrico dependía no sólo del número de fotones incidentes (la intensidad de la luz), sino también de la frecuencia de la luz, un fenómeno novedoso en ese momento, que le valió a Einstein el Premio Nobel de Física de 1921. [5] Entonces se puede concluir que este fue un inicio clave de la cuantificación, es decir, la discretización de la materia en constituyentes fundamentales.
Unos ocho años después, Niels Bohr , en 1913, publicó su famosa serie de tres partes donde, esencialmente por decreto, postula la cuantificación del momento angular en el hidrógeno y los metales similares al hidrógeno. [6] [7] [8] Donde, en efecto, el momento angular orbital del electrón (de valencia), toma la forma , donde se supone un número entero . En la presentación original, el momento angular orbital del electrón se denominaba , la constante de Planck dividida por dos pi como , y el número cuántico o "recuento del número de pasos entre puntos estacionarios", como lo afirmó originalmente Bohr como . Consulte las referencias anteriores para obtener más detalles.
Si bien más tarde se demostraría que esta suposición no es del todo correcta, de hecho termina acercándose bastante a la expresión correcta del número cuántico (valor propio) del operador del momento angular orbital para valores grandes del número cuántico , y de hecho esto fue parte de la suposición del propio Bohr. Considere la consecuencia de la suposición de Bohr y compárela con la versión correcta conocida hoy como . Claramente para grandes hay poca diferencia, al igual que para , la equivalencia es exacta. Sin entrar en más detalles históricos, basta detenerse aquí y considerar esta era de la historia de la cuantificación como la " vieja teoría cuántica ", es decir, un período de la historia de la física en el que la naturaleza corpuscular de las partículas subatómicas comenzó a desempeñar un papel cada vez más importante. papel importante en la comprensión de los resultados de los experimentos físicos, cuya conclusión obligatoria fue la discretización de cantidades físicas observables clave. Sin embargo, a diferencia de la era descrita a continuación como la era de la primera cuantificación , esta era se basó únicamente en argumentos puramente clásicos como la ley de desplazamiento de Wien , la termodinámica , la mecánica estadística y la teoría electromagnética . De hecho, la observación de la serie de Balmer del hidrógeno en la historia de la espectroscopia se remonta a 1885. [9]
No obstante, los acontecimientos decisivos, que llegarían a denotar la era de la primera cuantificación , tuvieron lugar en los años vitales que abarcaron 1925-1928. Al mismo tiempo, los autores Born y Jordan en diciembre de 1925, [10] junto con Dirac también en diciembre de 1925, [11] luego Schrodinger en enero de 1926, [12] a continuación, Born, Heisenberg y Jordan en agosto de 1926, [13] y finalmente Dirac en 1928. [14] Los resultados de estas publicaciones fueron 3 formalismos teóricos, 2 de los cuales resultaron ser equivalentes, el de Born, Heisenberg y Jordan fue equivalente al de Schrodinger, mientras que la teoría de Dirac de 1928 pasó a ser considerada como la versión relativista. de los dos anteriores. Por último, cabe mencionar la publicación de Heisenberg y Pauli en 1929, [15] que puede considerarse como el primer intento de " segunda cuantificación ", término utilizado textualmente por Pauli en una publicación de 1943 de la American Physical Society . [dieciséis]
Para clarificar y comprender la terminología a medida que evolucionó a lo largo de la historia, basta terminar con la importante publicación que ayudó a reconocer la equivalencia de la mecánica matricial de Born, Heisenberg y Jordan 1925-1926 con la ecuación de ondas de Schrodinger en 1926. Las obras recopiladas y ampliadas de John von Neumann demostraron que las dos teorías eran matemáticamente equivalentes, [17] y es esta comprensión la que hoy se entiende como primera cuantificación . [nota 1] [18] [nota 2]
Para entender el término primera cuantificación, primero debemos entender qué significa que algo sea cuántico en primer lugar. La teoría clásica de Newton es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden [ se necesita desambiguación ] que da la trayectoria determinista de un sistema de masa . La aceleración , , en la segunda ley del movimiento de Newton, , es la segunda derivada de la posición del sistema en función del tiempo. Por tanto, es natural buscar soluciones de la ecuación de Newton que sean al menos diferenciables de segundo orden .
La teoría cuántica difiere dramáticamente en que reemplaza los observables físicos como la posición del sistema, el momento en que se realiza esa observación, la masa y la velocidad del sistema en el instante de la observación con la noción de observables del operador. Los operadores como observables cambian la noción de lo que es medible y ponen sobre la mesa la conclusión inevitable de la teoría de la probabilidad de Max Born. En este marco de no determinismo, la probabilidad de encontrar el sistema en un estado observable particular está dada por una densidad de probabilidad dinámica que se define como el valor absoluto al cuadrado de la solución de la ecuación de Schrodinger . El hecho de que las densidades de probabilidad sean integrables y normalizables a la unidad implica que las soluciones de la ecuación de Schrodinger deben ser integrables al cuadrado. El espacio vectorial de secuencias infinitas, cuyo cuadrado resumido es una serie convergente, se conoce como (pronunciado "pequeño dos"). Está en correspondencia uno a uno con el espacio vectorial de dimensión infinita de funciones integrables al cuadrado, desde el espacio euclidiano hasta el plano complejo . Por esta razón, a menudo se les denomina indiscriminadamente "el" espacio de Hilbert. Esto es bastante engañoso porque también es un espacio de Hilbert cuando se equipa y completa bajo el producto interno euclidiano , aunque sea un espacio de dimensión finita.
Tanto la teoría de Newton como la teoría de Schrodinger tienen un parámetro de masa y, por lo tanto, pueden describir la evolución de un conjunto de masas o un solo sistema constituyente con una sola masa total, así como una sola partícula idealizada con un sistema de masa único idealizado. A continuación se muestran ejemplos de diferentes tipos de sistemas.
En general, el estado de una partícula podría describirse mediante un conjunto completo de números cuánticos denotado por . Por ejemplo, los tres números cuánticos asociados a un electrón en un potencial de culombio , como el átomo de hidrógeno , forman un conjunto completo (ignorando el espín). Por tanto, el estado se llama y es un vector propio del operador hamiltoniano. Se puede obtener una representación de la función de estado del estado usando . Todos los vectores propios de un operador hermitiano forman una base completa, por lo que se puede construir cualquier estado obteniendo la relación de completitud:
Muchos han pensado que todas las propiedades de la partícula podrían conocerse usando esta base vectorial, que aquí se expresa usando la notación de Dirac Bra-ket . Sin embargo, esto no tiene por qué ser cierto. [19]
Cuando se recurre a sistemas de N partículas, es decir, sistemas que contienen N partículas idénticas, es decir, partículas caracterizadas por los mismos parámetros físicos como masa , carga y espín , es necesaria una extensión de la función de estado de una sola partícula a la función de estado de N partículas . [20] Una diferencia fundamental entre la mecánica clásica y la cuántica se refiere al concepto de indistinguibilidad de partículas idénticas. Por tanto, en la física cuántica sólo son posibles dos especies de partículas, los llamados bosones y fermiones , que obedecen las reglas:
Donde hemos intercambiado dos coordenadas de la función de estado. La función de onda habitual se obtiene utilizando el determinante de Slater y la teoría de partículas idénticas. Utilizando esta base, es posible resolver cualquier problema de muchas partículas que pueda describirse de forma clara y precisa mediante un único estado diagonalizable en todo el sistema de función de onda única. Desde esta perspectiva, la primera cuantificación no es una verdadera teoría de múltiples partículas, pero la noción de "sistema" tampoco tiene por qué consistir en una sola partícula.
