Transformación de Jordan-Wigner

Mapeo matemático en mecánica cuántica

La transformación de Jordan-Wigner es una transformación que asigna operadores de espín a operadores de creación y aniquilación fermiónicos . Fue propuesta por Pascual Jordan y Eugene Wigner ^{[1] para} modelos reticulares unidimensionales , pero ahora también se han creado análogos bidimensionales de la transformación. La transformación de Jordan-Wigner se utiliza a menudo para resolver exactamente cadenas de espín unidimensionales como los modelos de Ising y XY transformando los operadores de espín en operadores fermiónicos y luego diagonalizando en la base fermiónica.

Esta transformación demuestra que no existe distinción entre partículas de espín 1/2 y fermiones. Puede aplicarse a sistemas con una dimensión arbitraria.

Analogía entre espines y fermiones

A continuación mostraremos cómo mapear una cadena de espín 1D de partículas de espín 1/2 a fermiones.

Tomemos operadores de Pauli de espín 1/2 que actúan en un sitio de una cadena unidimensional, . Tomando el anticonmutador de y , encontramos , como sería de esperar de los operadores de creación y aniquilación fermiónicos. Entonces podríamos sentirnos tentados a establecer ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \sigma _{j}^{+},\sigma _{j}^{-},\sigma _{j}^{z}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}^{+}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}^{-}}$ ${\displaystyle \{\sigma _{j}^{+},\sigma _{j}^{-}\}=I}$

${\displaystyle \sigma _{j}^{+}=(\sigma _{j}^{x}+i\sigma _{j}^{y})/2\equiv f_{j}^{\dagger }}$

${\displaystyle \sigma _{j}^{-}=(\sigma _{j}^{x}-i\sigma _{j}^{y})/2\equiv f_{j}}$

${\displaystyle \sigma _{j}^{z}=2f_{j}^{\dagger }f_{j}-I.}$

Ahora, tenemos las relaciones fermiónicas correctas en el mismo sitio ; sin embargo, en sitios diferentes, tenemos la relación , donde , y por lo tanto los espines en sitios diferentes conmutan a diferencia de los fermiones que conmutan en sentido contrario. Debemos remediar esto antes de que podamos tomar la analogía muy en serio. ${\displaystyle \{f_{j}^{\dagger },f_{j}\}=I}$ ${\displaystyle [f_{j}^{\dagger },f_{k}]=0}$ ${\displaystyle j\neq k}$

En 1928, Jordan y Wigner realizaron una transformación que recupera las verdaderas relaciones de conmutación de fermiones a partir de operadores de espín. Este es un ejemplo especial de una transformación de Klein . Tomamos una cadena de fermiones y definimos un nuevo conjunto de operadores.

${\displaystyle a_{j}^{\dagger }=e^{\left(+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}\right)}\cdot f_{j}^{\dagger }}$

${\displaystyle a_{j}=e^{\left(-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}\right)}\cdot f_{j}}$

${\displaystyle a_{j}^{\dagger }a_{j}=f_{j}^{\dagger }f_{j}.}$

Se diferencian de los anteriores solo por una fase . La fase está determinada por el número de modos fermiónicos ocupados en los modos del campo. La fase es igual a si el número de modos ocupados es par, y si el número de modos ocupados es impar. Esta fase a menudo se expresa como ${\displaystyle e^{\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}}}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,j-1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle e^{\left(\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}f_{k}^{\dagger }f_{k}\right)}=\prod _{k=1}^{j-1}e^{\pm i\pi f_{k}^{\dagger }f_{k}}=\prod _{k=1}^{j-1}{e^{\pm i\pi {\frac {\sigma _{k}^{z}+I}{2}}}}=\prod _{k=1}^{j-1}(-\sigma _{k}^{z}).}$

Los operadores de espín transformados ahora tienen las relaciones de anticonmutación canónica fermiónica apropiadas

${\displaystyle \{a_{i}^{\dagger },a_{j}\}=\delta _{i,j},\,\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=0,\,\{a_{i},a_{j}\}=0.}$

Las relaciones anticonmutación anteriores se pueden demostrar invocando las relaciones

${\displaystyle \{e^{(-i\pi f_{j}^{\dagger }f_{j})},f_{j}\}=\{e^{(i\pi f_{j}^{\dagger }f_{j})},f_{j}^{\dagger }\}=0}$

La transformación inversa viene dada por

${\displaystyle \sigma _{j}^{+}=e^{\left(-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}\right)}\cdot a_{j}^{\dagger }}$

${\displaystyle \sigma _{j}^{-}=e^{\left(+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}a_{k}^{\dagger }a_{k}\right)}\cdot a_{j}}$

${\displaystyle \sigma _{j}^{z}=2a_{j}^{\dagger }a_{j}-I}$

Nótese que la definición de los operadores fermiónicos no es local con respecto a los operadores bosónicos porque tenemos que lidiar con una cadena completa de operadores a la izquierda del sitio con respecto al cual se definen los operadores fermiónicos. Esto también es cierto al revés. Este es un ejemplo de un bucle 't Hooft , que es un operador de desorden en lugar de un operador de orden . Este es también un ejemplo de una S-dualidad .

Si el sistema tiene más de una dimensión, la transformación puede aplicarse igualmente. Solo es necesario etiquetar los sitios de forma arbitraria mediante un único índice.

Computación cuántica

La transformación de Jordan-Wigner se puede invertir para convertir un hamiltoniano fermiónico en un hamiltoniano de espín. Una serie de espines equivale a una cadena de cúbits para la computación cuántica . Algunos potenciales moleculares se pueden simular de manera eficiente mediante una computadora cuántica utilizando esta transformación. ^[2]

Véase también

• S-dualidad
• Transformación de Klein
• Transformación de Bogoliubov
• Transformación de Holstein-Primakoff
• Transformación Jordania-Schwinger

Referencias

1. P. Jordan y E. Wigner, Über das Paulische Äquivalenzverbot , Zeitschrift für Physik 47, núm. 9. (1928), págs. 631–651, doi :10.1007/BF01331938.
2. Nielsen, Michael (29 de julio de 2005). "Las relaciones de conmutación canónica fermiónica y la transformada de Jordan-Wigner" (PDF) . futureofmatter.com .

Lectura adicional

• Michael Nielsen, Notas sobre la transformación de Jordan-Wigner en Wayback Machine (archivado el 3 de noviembre de 2019)
• Piers Coleman, ejemplos sencillos de segunda cuantificación