Primera cuantificación

Conversión de la mecánica clásica a la mecánica cuántica

La primera cuantificación es un procedimiento para convertir ecuaciones de partículas clásicas en ecuaciones de ondas cuánticas. El concepto complementario de segunda cuantificación convierte ecuaciones de campo clásicas en ecuaciones de campo cuánticas. ^[1]

Sin embargo, esto no tiene por qué ser así. En particular, se puede crear una versión completamente cuántica de la teoría interpretando los campos interactuantes y sus potenciales asociados como operadores de multiplicación, siempre que el potencial se escriba en las coordenadas canónicas que sean compatibles con las coordenadas euclidianas de la mecánica clásica estándar . ^[2] La primera cuantificación es apropiada para estudiar un solo sistema mecánico cuántico (que no debe confundirse con un solo sistema de partículas, ya que una sola función de onda cuántica describe el estado de un solo sistema cuántico, que puede tener arbitrariamente muchas partes constituyentes complicadas, y cuya evolución está dada por una sola ecuación de Schrödinger desacoplada ) que se controla mediante aparatos de laboratorio que se rigen por la mecánica clásica , por ejemplo, un voltímetro antiguo (uno desprovisto de dispositivos semiconductores modernos, que se basan en la teoría cuántica; sin embargo, aunque esto es suficiente, no es necesario), un simple termómetro, un generador de campo magnético, etc.

Historia

Publicada en 1901, Max Planck dedujo la existencia y el valor de la constante que ahora lleva su nombre al considerar solo la ley de desplazamiento de Wien , la mecánica estadística y la teoría electromagnética . ^[3] Cuatro años después, en 1905, Albert Einstein fue más allá para dilucidar esta constante y su profunda conexión con el potencial de detención de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico. ^[4] La energía en el efecto fotoeléctrico dependía no solo del número de fotones incidentes (la intensidad de la luz), sino también de la frecuencia de la luz, un fenómeno novedoso en ese momento, que le valdría a Einstein el Premio Nobel de Física en 1921. ^[5] Entonces se puede concluir que este fue un inicio clave de la cuantificación, es decir, la discretización de la materia en constituyentes fundamentales.

Unos ocho años después, Niels Bohr, en 1913, publicó su famosa serie de tres partes donde, esencialmente por decreto, postula la cuantización del momento angular en hidrógeno y metales similares al hidrógeno. ^{[6] [7] [8]} Donde, en efecto, el momento angular orbital del electrón (de valencia), toma la forma , donde se presume un número entero . En la presentación original, el momento angular orbital del electrón se denominaba , la constante de Planck dividida por dos pi como , y el número cuántico o "conteo del número de pases entre puntos estacionarios", como lo expresó originalmente Bohr como, . Consulte las referencias anteriores para obtener más detalles. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L=l\hbar }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots \,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle \tau }$

Aunque más tarde se demostraría que esta suposición no es del todo correcta, de hecho termina siendo bastante cercana a la expresión correcta para el número cuántico del operador del momento angular orbital (valor propio) para valores grandes del número cuántico , y de hecho esto era parte de la propia suposición de Bohr. Considere la consecuencia de la suposición de Bohr y compárela con la versión correcta conocida hoy como . Claramente, para valores grandes de , hay poca diferencia, así como para , la equivalencia es exacta. Sin entrar en más detalles históricos, basta con detenerse aquí y considerar esta era de la historia de la cuantización como la " vieja teoría cuántica ", es decir, un período en la historia de la física donde la naturaleza corpuscular de las partículas subatómicas comenzó a desempeñar un papel cada vez más importante en la comprensión de los resultados de los experimentos físicos, cuya conclusión obligatoria fue la discretización de las cantidades físicas observables clave. Sin embargo, a diferencia de la era que se describe a continuación como la era de la primera cuantificación , esta era se basó únicamente en argumentos puramente clásicos como la ley de desplazamiento de Wien , la termodinámica , la mecánica estadística y la teoría electromagnética . De hecho, la observación de la serie de Balmer del hidrógeno en la historia de la espectroscopia se remonta a 1885. ^[9] ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle L^{2}=l^{2}\hbar ^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}=l(l+1)\hbar ^{2}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l=0}$

Sin embargo, los acontecimientos decisivos que denotarían la era de la primera cuantificación tuvieron lugar en los años vitales que abarcan 1925-1928. Simultáneamente, los autores Born y Jordan en diciembre de 1925, ^[10] junto con Dirac también en diciembre de 1925, ^[11] luego Schrödinger en enero de 1926, ^[12] a continuación, Born, Heisenberg y Jordan en agosto de 1926, ^[13] y finalmente Dirac en 1928. ^[14] Los resultados de estas publicaciones fueron 3 formalismos teóricos, 2 de los cuales demostraron ser equivalentes, el de Born, Heisenberg y Jordan fue equivalente al de Schrödinger, mientras que la teoría de Dirac de 1928 llegó a ser considerada como la versión relativista de los dos anteriores. Por último, cabe mencionar la publicación de Heisenberg y Pauli en 1929, ^[15] que puede considerarse como el primer intento de " segunda cuantificación ", término utilizado textualmente por Pauli en una publicación de 1943 de la American Physical Society . ^[16]

Para aclarar y comprender la terminología tal como ha evolucionado a lo largo de la historia, basta con terminar con la importante publicación que ayudó a reconocer la equivalencia de la mecánica matricial de Born, Heisenberg y Jordan 1925-1926 con la ecuación de onda de Schrödinger en 1926. Los trabajos recopilados y ampliados de John von Neumann demostraron que las dos teorías eran matemáticamente equivalentes, ^[17] y es esta constatación la que hoy se entiende como primera cuantificación . ^{[nota 1] [18] [nota 2]}

Preliminares matemáticos cualitativos

Para entender el término de primera cuantificación, primero hay que entender qué significa que algo sea cuántico en primer lugar. La teoría clásica de Newton es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden que da la trayectoria determinista de un sistema de masa , . La aceleración , , en la segunda ley del movimiento de Newton , , es la segunda derivada de la posición del sistema en función del tiempo. Por lo tanto, es natural buscar soluciones de la ecuación de Newton que sean al menos diferenciables en segundo orden . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F=ma}$

La teoría cuántica difiere dramáticamente en que reemplaza observables físicos como la posición del sistema, el momento en que se realiza esa observación, la masa y la velocidad del sistema en el instante de la observación con la noción de observables operadores. Los operadores como observables cambian la noción de lo que es medible y traen a la mesa la conclusión inevitable de la teoría de probabilidad de Max Born. En este marco de no determinismo, la probabilidad de encontrar el sistema en un estado observable particular está dada por una densidad de probabilidad dinámica que se define como el valor absoluto al cuadrado de la solución a la ecuación de Schrödinger . El hecho de que las densidades de probabilidad sean integrables y normalizables a la unidad implica que las soluciones a la ecuación de Schrödinger deben ser integrables al cuadrado. El espacio vectorial de secuencias infinitas, cuyo cuadrado sumado es una serie convergente, se conoce como (pronunciado "little ell two"). Está en correspondencia biunívoca con el espacio vectorial de dimensión infinita de funciones integrables al cuadrado, , desde el espacio euclidiano hasta el plano complejo , . Por esta razón, y se denominan a menudo indiscriminadamente como "el" espacio de Hilbert. Esto es bastante engañoso porque también es un espacio de Hilbert cuando se equipa y se completa bajo el producto interno euclidiano , aunque sea un espacio de dimensión finita. ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Tipos de sistemas

Tanto la teoría de Newton como la de Schrödinger tienen un parámetro de masa y, por lo tanto, pueden describir la evolución de un conjunto de masas o de un único sistema constituyente con una única masa total, así como de una única partícula idealizada con un único sistema de masa idealizado. A continuación se presentan ejemplos de diferentes tipos de sistemas.

Sistemas de una sola partícula

En general, el estado de una partícula podría describirse mediante un conjunto completo de números cuánticos denotados por . Por ejemplo, los tres números cuánticos asociados a un electrón en un potencial de Coulomb , como el átomo de hidrógeno , forman un conjunto completo (ignorando el espín). Por lo tanto, el estado se llama y es un vector propio del operador hamiltoniano. Se puede obtener una representación de función de estado del estado utilizando . Todos los vectores propios de un operador hermítico forman una base completa, por lo que se puede construir cualquier estado obteniendo la relación de completitud: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n,l,m}$ ${\displaystyle |\nu \rangle }$ ${\displaystyle \psi _{\nu }(\mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} |\nu \rangle }$ ${\textstyle |\psi \rangle =\sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |\psi \rangle }$

${\displaystyle \sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |=\mathbf {I} }$

Muchos han creído que todas las propiedades de la partícula podrían conocerse utilizando esta base vectorial, que se expresa aquí utilizando la notación Bra-ket de Dirac . Sin embargo, esto no tiene por qué ser así. ^[19]

Sistemas de muchas partículas

Cuando se pasa a sistemas de N partículas, es decir, sistemas que contienen N partículas idénticas , es decir, partículas caracterizadas por los mismos parámetros físicos como masa , carga y espín , es necesaria una extensión de la función de estado de una sola partícula a la función de estado de N partículas. ^[20] Una diferencia fundamental entre la mecánica clásica y la cuántica se refiere al concepto de indistinguibilidad de partículas idénticas. Por tanto, sólo son posibles dos especies de partículas en la física cuántica, los denominados bosones y fermiones , que obedecen a las reglas: ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})}$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=+\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})}$(bosones),

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=-\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})}$(fermiones).

En este caso, hemos intercambiado dos coordenadas de la función de estado. La función de onda habitual se obtiene utilizando el determinante de Slater y la teoría de partículas idénticas. Sobre esta base, es posible resolver cualquier problema de múltiples partículas que pueda describirse de forma clara y precisa mediante una única función de onda y un único estado diagonalizable en todo el sistema. Desde esta perspectiva, la primera cuantificación no es una verdadera teoría de múltiples partículas, pero la noción de "sistema" tampoco tiene por qué consistir en una única partícula. ${\displaystyle (\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})}$

Véase también

• Cuantización canónica
• Cuantización geométrica
• Cuantización
• Segunda cuantificación

Notas

1. Esta afirmación no es única, ya que se puede argumentar que la notación matemáticamente imprecisa de Dirac, incluso hoy en día, puede dilucidar la equivalencia.
2. De la misma manera, el "campo de pruebas" del hidrógeno también puede verse como una evidencia sólida para llegar a una conclusión de equivalencia.

Referencias

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2. Dirac, PAM (1950). "Dinámica hamiltoniana generalizada". Revista canadiense de matemáticas . 2 : 129–148. doi : 10.4153/cjm-1950-012-1 . ISSN  0008-414X. S2CID  119748805.
3. Planck, Max (1901). "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum". Annalen der Physik . 309 (3): 553–563. Código bibliográfico : 1901AnP...309..553P. doi : 10.1002/andp.19013090310 .
4. Einstein, A. (1905). "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt". Annalen der Physik . 322 (6): 132-148. Código bibliográfico : 1905AnP...322..132E. doi : 10.1002/andp.19053220607 .
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7. Bohr, N. (septiembre de 1913). "XXXVII. Sobre la constitución de átomos y moléculas". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 26 (153): 476–502. Bibcode :1913PMag...26..476B. doi :10.1080/14786441308634993.
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