Modelo de Luttinger-Kohn

El modelo de Luttinger-Kohn es una versión de la teoría de perturbación k·p utilizada para calcular la estructura de múltiples bandas electrónicas degeneradas en semiconductores de pozo cuántico y masivo . El método es una generalización de la teoría k · p de banda única .

En este modelo, la influencia de todas las demás bandas se tiene en cuenta mediante el método de perturbación de Löwdin . ^[1]

Fondo

Todas las bandas se pueden subdividir en dos clases:

• Clase A : seis bandas de valencia (agujero pesado, agujero ligero, banda dividida y sus contrapartes de espín) y dos bandas de conducción.
• Clase B : todas las demás bandas.

El método se concentra en las bandas de Clase A y tiene en cuenta las bandas de Clase B de forma perturbativa.

Podemos escribir la solución perturbada, como una combinación lineal de los estados propios no perturbados : ${\displaystyle \phi _{}^{}}$ ${\displaystyle \phi _{i}^{(0)}}$

${\displaystyle \phi =\sum _{n}^{A,B}a_{n}\phi _{n}^{(0)}}$

Suponiendo que los estados propios no perturbados estén ortonormalizados, las ecuaciones propias son:

${\displaystyle (E-H_{mm})a_{m}=\sum _{n\neq m}^{A}H_{mn}a_{n}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}H_{m\alpha }a_{\alpha }}$,

dónde

${\displaystyle H_{mn}=\int \phi _{m}^{(0)\dagger }H\phi _{n}^{(0)}d^{3}\mathbf {r} =E_{n}^{(0)}\delta _{mn}+H_{mn}^{'}}$.

De esta expresión podemos escribir:

${\displaystyle a_{m}=\sum _{n\neq m}^{A}{\frac {H_{mn}}{E-H_{mm}}}a_{n}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}{\frac {H_{m\alpha }}{E-H_{mm}}}a_{\alpha }}$,

donde la primera suma del lado derecho cubre los estados de la clase A únicamente, mientras que la segunda suma cubre los estados de la clase B. Como estamos interesados ​​en los coeficientes para m en la clase A, podemos eliminar los de la clase B mediante un procedimiento de iteración para obtener: ${\displaystyle a_{m}}$

${\displaystyle a_{m}=\sum _{n}^{A}{\frac {U_{mn}^{A}-\delta _{mn}H_{mn}}{E-H_{mm}}}a_{n}}$,

${\displaystyle U_{mn}^{A}=H_{mn}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}{\frac {H_{m\alpha }H_{\alpha n}}{E-H_{\alpha \alpha }}}+\sum _{\alpha ,\beta \neq m,n;\alpha \neq \beta }{\frac {H_{m\alpha }H_{\alpha \beta }H_{\beta n}}{(E-H_{\alpha \alpha })(E-H_{\beta \beta })}}+\ldots }$

De manera equivalente, para ( ): ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n\in A}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{n}^{A}(U_{mn}^{A}-E\delta _{mn})a_{n}=0,m\in A}$

y

${\displaystyle a_{\gamma }=\sum _{n}^{A}{\frac {U_{\gamma n}^{A}-H_{\gamma n}\delta _{\gamma n}}{E-H_{\gamma \gamma }}}a_{n}=0,\gamma \in B}$.

Cuando se determinan los coeficientes pertenecientes a la Clase A, también se determinan . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{\gamma }}$

Ecuación de Schrödinger y funciones básicas

El hamiltoniano , incluida la interacción espín-órbita, se puede escribir como:

${\displaystyle H=H_{0}+{\frac {\hbar }{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\cdot \nabla V\times \mathbf {p} }$,

¿Dónde está el vector de matriz de espín de Pauli ? Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger en la aproximación de Bloch obtenemos ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$

${\displaystyle Hu_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left(H_{0}+{\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {\Pi } +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{4m_{0}^{2}c^{2}}}\nabla V\times \mathbf {p} \cdot {\bar {\sigma }}\right)u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E_{n}(\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$,

dónde

${\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} +{\frac {\hbar }{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\times \nabla V}$

y la perturbación hamiltoniana se puede definir como

${\displaystyle H'={\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {\Pi } .}$

El hamiltoniano imperturbado se refiere al sistema de órbita de giro de borde de banda (para k = 0). En el borde de la banda, las ondas de Bloch de la banda de conducción exhiben simetría tipo s, mientras que los estados de la banda de valencia son tipo p (3 veces degenerados sin espín). Denotemos estos estados como , y , y respectivamente. Estas funciones de Bloch pueden representarse como repeticiones periódicas de orbitales atómicos, repetidas a intervalos correspondientes al espaciamiento de la red. La función Bloch se puede ampliar de la siguiente manera: ${\displaystyle |S\rangle }$ ${\displaystyle |X\rangle }$ ${\displaystyle |Y\rangle }$ ${\displaystyle |Z\rangle }$

${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{j'}^{A}a_{j'}(\mathbf {k} )u_{j'0}(\mathbf {r} )+\sum _{\gamma }^{B}a_{\gamma }(\mathbf {k} )u_{\gamma 0}(\mathbf {r} )}$,

donde j' está en la Clase A y está en la Clase B. Las funciones base se pueden elegir para que sean ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle u_{10}(\mathbf {r} )=u_{el}(\mathbf {r} )=\left|S{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle =\left|S\uparrow \right\rangle }$

${\displaystyle u_{20}(\mathbf {r} )=u_{SO}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|(X+iY)\downarrow \rangle +{\frac {1}{\sqrt {3}}}|Z\uparrow \rangle }$

${\displaystyle u_{30}(\mathbf {r} )=u_{lh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {6}}}|(X+iY)\downarrow \rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|Z\uparrow \rangle }$

${\displaystyle u_{40}(\mathbf {r} )=u_{hh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}|(X+iY)\uparrow \rangle }$

${\displaystyle u_{50}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{el}(\mathbf {r} )=\left|S{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle =-|S\downarrow \rangle }$

${\displaystyle u_{60}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{SO}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|(X-iY)\uparrow \rangle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}|Z\downarrow \rangle }$

${\displaystyle u_{70}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{lh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {6}}}|(X-iY)\uparrow \rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|Z\downarrow \rangle }$

${\displaystyle u_{80}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{hh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}|(X-iY)\downarrow \rangle }$.

Usando el método de Löwdin, solo es necesario resolver el siguiente problema de valores propios

${\displaystyle \sum _{j'}^{A}(U_{jj'}^{A}-E\delta _{jj'})a_{j'}(\mathbf {k} )=0,}$

dónde

${\displaystyle U_{jj'}^{A}=H_{jj'}+\sum _{\gamma \neq j,j'}^{B}{\frac {H_{j\gamma }H_{\gamma j'}}{E_{0}-E_{\gamma }}}=H_{jj'}+\sum _{\gamma \neq j,j'}^{B}{\frac {H_{j\gamma }^{'}H_{\gamma j'}^{'}}{E_{0}-E_{\gamma }}}}$,

${\displaystyle H_{j\gamma }^{'}=\left\langle u_{j0}\right|{\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {p} +{\frac {\hbar }{4m_{0}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\times \nabla V\right)\left|u_{\gamma 0}\right\rangle \approx \sum _{\alpha }{\frac {\hbar k_{\alpha }}{m_{0}}}p_{j\gamma }^{\alpha }.}$

El segundo término de puede despreciarse en comparación con el término similar con p en lugar de k . De manera similar al caso de banda única, podemos escribir para ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle U_{jj'}^{A}}$

${\displaystyle D_{jj'}\equiv U_{jj'}^{A}=E_{j}(0)\delta _{jj'}+\sum _{\alpha \beta }D_{jj'}^{\alpha \beta }k_{\alpha }k_{\beta },}$

${\displaystyle D_{jj'}^{\alpha \beta }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left[\delta _{jj'}\delta _{\alpha \beta }+\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{j\gamma }^{\alpha }p_{\gamma j'}^{\beta }+p_{j\gamma }^{\beta }p_{\gamma j'}^{\alpha }}{m_{0}(E_{0}-E_{\gamma })}}\right].}$

Ahora definimos los siguientes parámetros.

${\displaystyle A_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{x}p_{\gamma x}^{x}}{E_{0}-E_{\gamma }}},}$

${\displaystyle B_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma x}^{y}}{E_{0}-E_{\gamma }}},}$

${\displaystyle C_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{x}p_{\gamma y}^{y}+p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma y}^{x}}{E_{0}-E_{\gamma }}},}$

y los parámetros de estructura de banda (o los parámetros de Luttinger ) se pueden definir para ser

${\displaystyle \gamma _{1}=-{\frac {1}{3}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}(A_{0}+2B_{0}),}$

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {1}{6}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}(A_{0}-B_{0}),}$

${\displaystyle \gamma _{3}=-{\frac {1}{6}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}C_{0},}$

Estos parámetros están muy relacionados con las masas efectivas de los huecos en varias bandas de valencia. y describir el acoplamiento de los estados , y con los otros estados. El tercer parámetro se relaciona con la anisotropía de la estructura de la banda de energía alrededor del punto cuando . ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle |X\rangle }$ ${\displaystyle |Y\rangle }$ ${\displaystyle |Z\rangle }$ ${\displaystyle \gamma _{3}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{2}\neq \gamma _{3}}$

Matriz hamiltoniana explícita

El hamiltoniano de Luttinger-Kohn se puede escribir explícitamente como una matriz de 8X8 (teniendo en cuenta 8 bandas: 2 de conducción, 2 de agujeros pesados, 2 de agujeros ligeros y 2 de separación) ${\displaystyle \mathbf {D_{jj'}} }$

${\displaystyle \mathbf {H} =\left({\begin{array}{cccccccc}E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\P_{z}^{\dagger }&P+\Delta &{\sqrt {2}}Q^{\dagger }&-S^{\dagger }/{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}P_{+}^{\dagger }&0&-{\sqrt {3/2}}S&-{\sqrt {2}}R\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\\end{array}}\right)}$

Resumen

Referencias

1. SL Chuang (1995). Física de dispositivos optoelectrónicos (Primera ed.). Nueva York: Wiley. págs. 124-190. ISBN 978-0-471-10939-6. OCLC  31134252.

2. Luttinger, JM Kohn, W., "Movimiento de electrones y agujeros en campos periódicos perturbados", Phys. Apocalipsis 97,4. págs. 869-883, (1955). https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.97.869