Precesión de Thomas

En física , la precesión de Thomas , llamada así en honor a Llewellyn Thomas , es una corrección relativista que se aplica al espín de una partícula elemental o a la rotación de un giroscopio macroscópico y relaciona la velocidad angular del espín de una partícula que sigue una órbita curvilínea con la velocidad angular del movimiento orbital.

Para un sistema inercial dado , si un segundo sistema es potenciado por Lorentz en relación con él, y un tercero es potenciado en relación con el segundo, pero no es colineal con el primer potenciado, entonces la transformación de Lorentz entre el primer y el tercer sistema implica una potenciación y una rotación combinadas, conocida como la " rotación de Wigner " o "rotación de Thomas". Para el movimiento acelerado, el sistema acelerado tiene un sistema inercial en cada instante. Dos potenciaciones con un pequeño intervalo de tiempo (medido en el sistema de laboratorio) de diferencia conducen a una rotación de Wigner después de la segunda potenciación. En el límite, el intervalo de tiempo tiende a cero, el sistema acelerado rotará en cada instante, por lo que el sistema acelerado rota con una velocidad angular.

La precesión puede entenderse geométricamente como una consecuencia del hecho de que el espacio de velocidades en la relatividad es hiperbólico , y por lo tanto el transporte paralelo de un vector (la velocidad angular del giroscopio) alrededor de un círculo (su velocidad lineal) lo deja apuntando en una dirección diferente, o entenderse algebraicamente como un resultado de la no conmutatividad de las transformaciones de Lorentz . La precesión de Thomas proporciona una corrección a la interacción espín-órbita en la mecánica cuántica , que tiene en cuenta la dilatación del tiempo relativista entre el electrón y el núcleo de un átomo .

La precesión de Thomas es un efecto cinemático en el espacio-tiempo plano de la relatividad especial . En el espacio-tiempo curvo de la relatividad general , la precesión de Thomas se combina con un efecto geométrico para producir la precesión de De Sitter . Aunque la precesión de Thomas ( rotación neta después de una trayectoria que vuelve a su velocidad inicial ) es un efecto puramente cinemático, solo ocurre en el movimiento curvilíneo y, por lo tanto, no se puede observar independientemente de alguna fuerza externa que cause el movimiento curvilíneo, como la causada por un campo electromagnético , un campo gravitacional o una fuerza mecánica, por lo que la precesión de Thomas suele ir acompañada de efectos dinámicos . ^[1]

Si el sistema no experimenta ningún par externo, por ejemplo, en campos escalares externos, su dinámica de espín está determinada únicamente por la precesión de Thomas. Una única rotación discreta de Thomas (en contraposición a la serie de rotaciones infinitesimales que se suman para formar la precesión de Thomas) está presente en situaciones en las que hay tres o más sistemas inerciales en movimiento no colineal, como se puede ver utilizando las transformaciones de Lorentz .

Historia

La precesión de Thomas en la relatividad ya era conocida por Ludwik Silberstein , ^[2] en 1914. Pero el único conocimiento que Thomas tenía de la precesión relativista provenía del artículo de De Sitter sobre la precesión relativista de la luna, publicado por primera vez en un libro de Eddington . ^[3]

En 1925, Thomas volvió a calcular de forma relativista la frecuencia precesional de la separación del doblete en la estructura fina del átomo, y así encontró el factor faltante 1/2, que llegó a conocerse como la mitad de Thomas.

Este descubrimiento de la precesión relativista del espín del electrón condujo a la comprensión de la importancia del efecto relativista, por lo que se lo denominó "precesión de Thomas".

Introducción

Definición

Consideremos un sistema físico que se mueve a través del espacio-tiempo de Minkowski . Supongamos que en cualquier momento existe un sistema inercial tal que en él, el sistema está en reposo. Esta suposición a veces se denomina el tercer postulado de la relatividad. ^[4] Esto significa que en cualquier instante, las coordenadas y el estado del sistema pueden transformarse mediante Lorentz al sistema de laboratorio mediante alguna transformación de Lorentz.

Sea el sistema sometido a fuerzas externas que no produzcan par con respecto a su centro de masas en su sistema de referencia en reposo (instantáneo). La condición de "ningún par" es necesaria para aislar el fenómeno de la precesión de Thomas. Como suposición simplificadora, se supone que las fuerzas externas hacen que el sistema vuelva a su velocidad inicial después de un tiempo finito. Fijemos un sistema de referencia de Lorentz $O$ tal que las velocidades inicial y final sean cero.

El vector de espín de Pauli–Lubanski $S μ$ se define como $(0, S i)$ en el marco de reposo del sistema, con $S i como$ el trivector de momento angular alrededor del centro de masas. En el movimiento desde la posición inicial a la final, $S μ$ experimenta una rotación, como se registra en $O$ , desde su valor inicial hasta su valor final. Este cambio continuo es la precesión de Thomas. ^[5]

Declaración

Consideremos el movimiento de una partícula . Introduzcamos un marco de referencia de laboratorio $Σ$ en el que un observador pueda medir el movimiento relativo de la partícula. En cada instante de tiempo la partícula tiene un marco inercial en el que está en reposo. En relación con este marco de referencia de laboratorio, la velocidad instantánea de la partícula es $v (t)$ con magnitud $| v | = v$ limitada por la velocidad de la luz $c$ , de modo que $0 \leq v < c$ . Aquí el tiempo $t$ es el tiempo de coordenadas medido en el marco de referencia de laboratorio, no el tiempo propio de la partícula.

Aparte del límite superior de magnitud, la velocidad de la partícula es arbitraria y no necesariamente constante; su vector de aceleración correspondiente es $a = d v (t)/ dt$ . Como resultado de la rotación de Wigner en cada instante, el marco de la partícula precesa con una velocidad angular dada por la ecuación ^[6]^[7]^[8]^[9]

Precesión de Thomas

${\boldsymbol {\omega }}_{\text{T}}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {a} \times \mathbf {v}$

donde × es el producto vectorial y

\gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {|\mathbf {v} (t)|^{2}}{c^{2}}}}}}

es el factor instantáneo de Lorentz , una función de la velocidad instantánea de la partícula. Como cualquier velocidad angular, $ω T$ es un pseudovector ; su magnitud es la velocidad angular de precesión del marco de la partícula (en radianes por segundo), y la dirección apunta a lo largo del eje de rotación. Como es habitual, se utiliza la convención de la mano derecha del producto vectorial (véase la regla de la mano derecha ).

La precesión depende del movimiento acelerado y de la no colinealidad de la velocidad y aceleración instantáneas de la partícula. No se produce precesión si la partícula se mueve con velocidad uniforme ( $v$ constante, por lo que $a = 0$ ), o acelera en línea recta (en cuyo caso $v$ y $a$ son paralelas o antiparalelas, por lo que su producto vectorial es cero). La partícula tiene que moverse en una curva, por ejemplo un arco, una espiral , una hélice o una órbita circular o elíptica , para que su marco de referencia precese. La velocidad angular de la precesión es máxima si los vectores de velocidad y aceleración son perpendiculares a lo largo del movimiento (una órbita circular), y es grande si sus magnitudes son grandes (la magnitud de $v$ es casi $c$ ).

En el límite no relativista, $v \to 0,$ por lo que $γ \to 1$ , y la velocidad angular es aproximadamente

{\boldsymbol {\omega }}_{\text{T}}\approx {\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {a} \times \mathbf {v}

El factor 1/2 resulta ser el factor crítico para concordar con los resultados experimentales. Se lo conoce informalmente como la "mitad de Thomas".

Explicación matemática

Transformaciones de Lorentz

La descripción del movimiento relativo implica transformaciones de Lorentz , y es conveniente utilizarlas en forma matricial ; las expresiones matriciales simbólicas resumen las transformaciones y son fáciles de manipular, y cuando se requiere, las matrices completas se pueden escribir explícitamente. Además, para evitar que factores adicionales de $c$ desordenen las ecuaciones, es conveniente utilizar la definición $β (t) = v (t)/ c$ con magnitud $| β | = β$ tal que $0 \leq β < 1$ .

Las coordenadas del espacio-tiempo del marco del laboratorio se recopilan en un vector de columna de 4×1 , y el impulso se representa como una matriz simétrica de 4×4 , respectivamente.

X={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,,\quad B({\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{x}&-\gamma \beta _{y}&-\gamma \beta _{z}\\-\gamma \beta _{x}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{y}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{z}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\fin{bmatrix}}

y girar

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}

es el factor de Lorentz de $β$ . En otros marcos, las coordenadas correspondientes también se organizan en vectores de columna. La matriz inversa del impulso corresponde a un impulso en la dirección opuesta y está dada por $B (β) -1 = B (- β)$ .

En un instante de tiempo registrado en laboratorio $t$ medido en el marco de referencia del laboratorio, la transformación de las coordenadas del espacio-tiempo desde el marco de referencia del laboratorio $Σ$ al marco de referencia de la partícula Σ $'$ es

y en un tiempo posterior registrado en el laboratorio $t + Δ t$ podemos definir un nuevo marco $Σ''$ para la partícula, que se mueve con velocidad $β + Δ β$ relativa a $Σ$ , y el impulso correspondiente es

Los vectores $β$ y $Δ β$ son dos vectores separados. El último es un incremento pequeño y se puede dividir convenientemente en componentes paralelos (‖) y perpendiculares (⊥) a $β$ ^{[nb 1]}

\Delta {\boldsymbol {\beta }}=\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\paralelo }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }

Combinando ( 1 ) y ( 2 ) se obtiene la transformación de Lorentz entre $Σ'$ y $Σ''$ ,

y esta composición contiene toda la información necesaria sobre el movimiento entre estos dos tiempos de laboratorio. Observe que $B (β + Δ β) B (- β)$ y $B (β + Δ β)$ son transformaciones infinitesimales porque implican un pequeño incremento en la velocidad relativa, mientras que $B (- β)$ no lo es.

La composición de dos impulsos equivale a un impulso único combinado con una rotación de Wigner alrededor de un eje perpendicular a las velocidades relativas;

La rotación está dada por es una matriz de rotación 4×4 $R$ en la representación eje-ángulo , y los sistemas de coordenadas se toman como diestros . Esta matriz rota vectores 3d en sentido antihorario sobre un eje ( transformación activa ), o equivalentemente rota sistemas de coordenadas en el sentido horario sobre el mismo eje (transformación pasiva). El vector eje-ángulo $Δ θ$ parametriza la rotación, su magnitud $Δ θ$ es el ángulo que $Σ''$ ha rotado, y la dirección es paralela al eje de rotación, en este caso el eje es paralelo al producto vectorial $(- β)\times(β + Δ β) = - β \timesΔ β$ . Si los ángulos son negativos, entonces el sentido de rotación se invierte. La matriz inversa está dada por $R (Δ θ) -1 = R (-Δ θ)$ .

El impulso corresponde al vector impulso (pequeño cambio en el) $Δ b$ , con magnitud y dirección de la velocidad relativa del impulso (dividida por $c$ ). El impulso $B (Δ b)$ y la rotación $R (Δ θ)$ aquí son transformaciones infinitesimales porque $Δ b$ y la rotación $Δ θ$ son pequeñas.

La rotación da lugar a la precesión de Thomas, pero hay una sutileza. Para interpretar el marco de la partícula como un marco inercial que se mueve en paralelo con el marco de laboratorio, y concordar con el límite no relativista, esperamos que la transformación entre los marcos instantáneos de la partícula en los tiempos $t$ y $t + Δ t$ esté relacionada por un impulso sin rotación. Combinando ( 3 ) y ( 4 ) y reordenando obtenemos

donde se introduce otro marco instantáneo $Σ''' con coordenadas$ $X'''$ , para evitar la confusión con $Σ''$ . Para resumir los marcos de referencia: en el marco de laboratorio $Σ$ un observador mide el movimiento de la partícula, y tres marcos inerciales instantáneos en los que la partícula está en reposo son $Σ'$ (en el tiempo $t$ ), $Σ''$ (en el tiempo $t + Δ t$ ), y $Σ'''$ (en el tiempo $t + Δ t$ ). Los marcos $Σ''$ y $Σ'''$ están en la misma ubicación y tiempo, solo difieren por una rotación. Por el contrario, $Σ'$ y $Σ'''$ difieren por un impulso y un intervalo de tiempo de laboratorio $Δ t$ .

Relacionando las coordenadas $X'''$ con las coordenadas de laboratorio $X$ mediante ( 5 ) y ( 2 );

El marco $Σ'''$ está girado en sentido negativo.

La rotación se produce entre dos instantes de tiempo de laboratorio. Como $Δ t \to 0$ , el marco de la partícula gira en cada instante, y el movimiento continuo de la partícula equivale a una rotación continua con una velocidad angular en cada instante. Dividiendo $-Δ θ$ por $Δ t$ , y tomando el límite $Δ t \to 0$ , la velocidad angular es por definición

Queda por encontrar exactamente qué es $Δ θ$ .

Extrayendo la fórmula

La composición se puede obtener calculando explícitamente el producto matricial. La matriz de refuerzo de $β + Δ β$ requerirá la magnitud y el factor de Lorentz de este vector. Dado que $Δ β$ es pequeño, los términos de "segundo orden" $| Δ β | 2$ , $(Δ β x) 2$ , $(Δ β y) 2$ , $Δ β x Δ β y$ y superiores son despreciables. Aprovechando este hecho, la magnitud al cuadrado del vector es

|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}=|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+2{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}

y expandiendo el factor de Lorentz de $β + Δ β$ como una serie de potencias da como resultado el primer orden en $Δ β$ ,

{\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}&=1+{\frac {1}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \\&=\left(1+{\frac {|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \right)+\left(1+{\frac {3}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+\cdots \right){\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\\&\approx \gamma +\gamma ^{3}{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\end{aligned}}

utilizando el factor de Lorentz $γ$ de $β$ como arriba.

Composición de impulsos en el plano xy

Para simplificar el cálculo sin pérdida de generalidad, tome la dirección de $β$ como enteramente en la dirección $x$ , y $Δ β$ en el plano $xy$ , de modo que el componente paralelo esté a lo largo de la dirección $x$ mientras que el componente perpendicular esté a lo largo de la dirección $y$ . El eje de rotación de Wigner está a lo largo de la dirección $z$ . En la base cartesiana $e x, e y, e z$ , un conjunto de vectores unitarios mutuamente perpendiculares en sus direcciones indicadas, tenemos

{\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {e} _{x}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }=\Delta \beta _{x}\mathbf {e} _{x}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta \beta _{y}\mathbf {e} _{y}\,,\quad {\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}=\beta \Delta \beta _{y}\mathbf {e} _{z}

Esta configuración simplificada permite que las matrices de impulso se proporcionen explícitamente con el número mínimo de entradas de matriz. En general, por supuesto, $β$ y $Δ β$ pueden estar en cualquier plano; el resultado final que se proporcione más adelante no será diferente.

Explícitamente, en el momento $t$ el impulso está en la dirección $x negativa$

B(-{\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}

y el impulso en el momento $t + Δ t$ es

B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma +\gamma ^{3}\beta \Delta \beta _{x}&-(\gamma \beta +\gamma ^{3}\Delta \beta _{x})&-\gamma \Delta \beta _{y}&0\\-(\gamma \beta +\gamma ^{3}\Delta \beta _{x})&\gamma +\gamma ^{3}\beta \Delta \beta _{x}&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&0\\-\gamma \Delta \beta _{y}&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

donde $γ$ es el factor de Lorentz de $β$ , no $β + Δ β$ . La transformación compuesta es entonces el producto matricial

\Lambda =B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}1&-\gamma ^{2}\Delta \beta _{x}&-\gamma \Delta \beta _{y}&0\\-\gamma ^{2}\Delta \beta _{x}&1&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&0\\-\gamma \Delta \beta _{y}&-\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Presentamos los generadores de impulso

K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}

y generadores de rotación

J_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad J_{y}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}

junto con el producto escalar · facilita la expresión independiente de coordenadas

\Lambda =I-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)({\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }})\cdot \mathbf {J} -\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })\cdot \mathbf {K}

que se cumple si $β$ y $Δ β$ se encuentran en cualquier plano. Esta es una transformación infinitesimal de Lorentz en forma de una combinación de impulso y rotación ^{[nb 2]}

\Lambda =I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} -\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K}

dónde

\Delta {\boldsymbol {\theta }}=\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {v} \times \Delta \mathbf {v}

\Delta \mathbf {b} =\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })

Después de dividir $Δ θ$ por $Δ t$ y tomar el límite como en ( 7 ), se obtiene la velocidad angular instantánea

{\boldsymbol {\omega }}_{T}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {a} \times \mathbf {v}

donde $a$ es la aceleración de la partícula observada en el marco de referencia del laboratorio. No se especificaron ni se utilizaron fuerzas en la derivación, por lo que la precesión es un efecto cinemático: surge de los aspectos geométricos del movimiento. Sin embargo, las fuerzas causan aceleraciones, por lo que se observa la precesión de Thomas si la partícula está sujeta a fuerzas.

La precesión de Thomas también se puede derivar utilizando la ecuación de transporte de Fermi-Walker . ^[10] Se supone un movimiento circular uniforme en el espacio-tiempo plano de Minkowski. El 4-vector de espín es ortogonal al 4-vector de velocidad. El transporte de Fermi-Walker preserva esta relación. Se encuentra que el producto escalar del 4-vector de aceleración con el 4-vector de espín varía sinusoidalmente con el tiempo con una frecuencia angular γω, donde ω es la frecuencia angular del movimiento circular y γ=1/√(1-v^2/c^2), el factor de Lorentz . Esto se muestra fácilmente tomando la segunda derivada temporal de ese producto escalar. Debido a que esta frecuencia angular excede ω, el espín precesa en la dirección retrógrada. La diferencia (γ-1)ω es la frecuencia angular de precesión de Thomas ya dada, como se muestra simplemente al darse cuenta de que la magnitud de la 3-aceleración es ω v.

Aplicaciones

En orbitales electrónicos

En mecánica cuántica, la precesión de Thomas es una corrección de la interacción espín-órbita , que tiene en cuenta la dilatación del tiempo relativista entre el electrón y el núcleo en los átomos hidrogénicos .

Básicamente, establece que los objetos giratorios precesan cuando se aceleran en la relatividad especial porque los impulsos de Lorentz no conmutan entre sí.

Para calcular el espín de una partícula en un campo magnético , también hay que tener en cuenta la precesión de Larmor .

En un péndulo de Foucault

La rotación del plano de oscilación del péndulo de Foucault puede considerarse como el resultado del transporte paralelo del péndulo en una esfera bidimensional del espacio euclidiano. El espacio hiperbólico de velocidades en el espacio-tiempo de Minkowski representa una (pseudo)esfera tridimensional con un radio imaginario y una coordenada temporal imaginaria. El transporte paralelo de una partícula giratoria en el espacio de velocidad relativista conduce a la precesión de Thomas, que es similar a la rotación del plano de oscilación de un péndulo de Foucault. ^[11] El ángulo de rotación en ambos casos está determinado por la integral del área de curvatura de acuerdo con el teorema de Gauss-Bonnet .

La precesión de Thomas proporciona una corrección a la precesión de un péndulo de Foucault. Para un péndulo de Foucault ubicado en la ciudad de Nijmegen en los Países Bajos, la corrección es:

\omega \approx 9.5\cdot 10^{-7}\,\mathrm {arcseconds} /\mathrm {day} .

Obsérvese que es más de dos órdenes de magnitud menor que la precesión debida a la corrección relativista general que surge del arrastre del marco , la precesión de Lense-Thirring .

Véase también

Observaciones

^ Explícitamente, utilizando la proyección y el rechazo vectorial relativo a la dirección de $β$ se obtiene
$\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }={\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta {\boldsymbol {\beta }}-{\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}$
pero es más fácil simplemente utilizar los componentes paralelos-perpendiculares.
^ Las matrices de rotación y de impulso (cada una infinitesimal) se dan por
$R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \,,\quad B(\Delta \mathbf {b} )=I-\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} \,,$
A nivel infinitesimal, conmutan entre sí.
$\Lambda =B(\Delta \mathbf {b} )R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )$
porque los productos $(Δ θ \cdot J)(Δ b \cdot K)$ y $(Δ b \cdot K)(Δ θ \cdot J)$ son despreciables. El impulso completo y las rotaciones no conmutan en general.

Notas

^ Malykin 2006
^ Silberstein 1914, pág. 169
^ Eddington 1924
^ Goldstein 1980
^ Ben-Menahem 1986
^ Jackson 1975, págs. 543-546
^ Goldstein 1980, pág. 288
^ Sard 1970, pág. 280
^ Sexl y Urbantke 2001, pág. 42
^ Misner, Thorne y Wheeler, Gravitación, pág. 165, págs. 175-176
^ Krivoruchenko 2009

Referencias

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Enlaces externos

Artículo de Mathpages sobre la precesión de Thomas
Derivación alternativa y detallada de la precesión de Thomas (por Robert Littlejohn)
Breve derivación de la precesión de Thomas