Sustitución de Peierls

El método de sustitución de Peierls , llamado así por el trabajo original de Rudolf Peierls ^[1], es una aproximación ampliamente utilizada para describir electrones fuertemente unidos en presencia de un potencial vectorial magnético que varía lentamente. ^[2]

En presencia de un potencial vectorial magnético externo , los operadores de traducción, que forman la parte cinética del hamiltoniano en el marco de enlace fuerte , son simplemente ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} _{x}=|m+1,n\rangle \langle m,n|e^{i\theta _{m,n}^{x}},\quad \mathbf {T} _{y}=|m,n+1\rangle \langle m,n|e^{i\theta _{m,n}^{y}}}$$

y en la segunda formulación de cuantificación

$${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\boldsymbol {\psi }}_{m+1,n}^{\dagger }{\boldsymbol {\psi }}_{m,n}e^{i\theta _{m,n}^{x}},\quad \mathbf {T} _{y}={\boldsymbol {\psi }}_{m,n+1}^{\dagger }{\boldsymbol {\psi }}_{m,n}e^{i\theta _{m,n}^{y}}.}$$

Las fases se definen como

$${\displaystyle \theta _{m,n}^{x}={\frac {q}{\hbar }}\int _{m}^{m+1}A_{x}(x,n){\text{d}}x,\quad \theta _{m,n}^{y}={\frac {q}{\hbar }}\int _{n}^{n+1}A_{y}(m,y){\text{d}}y.}$$

Propiedades

1. El número de cuantos de flujo por plaqueta está relacionado con el rizo reticular del factor de fase, y el flujo total a través de la red es con el cuanto de flujo magnético en unidades gaussianas . ${\displaystyle \phi _{mn}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\times \theta _{m,n}&=\Delta _{x}\theta _{m,n}^{y}-\Delta _{y}\theta _{m,n}^{x}=\left(\theta _{m+1,n}^{y}-\theta _{m,n}^{y}-\theta _{m,n+1}^{x}+\theta _{m,n}^{x}\right)\\&={\frac {q}{\hbar }}\int _{\text{unit cell}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {l} =2\pi {\frac {q}{h}}\int \mathbf {B} \cdot {\text{d}}\mathbf {s} =2\pi \phi _{m,n}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \Phi =\Phi _{0}\sum _{m,n}\phi _{m,n}}$ ${\displaystyle \Phi _{0}=hc/e}$
2. Los cuantos de flujo por plaqueta están relacionados con la fase acumulada de un solo estado de partícula que rodea una plaqueta: ${\displaystyle \phi _{mn}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle ={\boldsymbol {\psi }}_{i,j}|0\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }\mathbf {T} _{y}\mathbf {T} _{x}|\psi \rangle &=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }\mathbf {T} _{y}|i+1,j\rangle e^{i\theta _{i,j}^{x}}=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }\mathbf {T} _{x}^{\dagger }|i+1,j+1\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}\right)}\\&=\mathbf {T} _{y}^{\dagger }|i,j+1\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}-\theta _{i,j+1}^{x}\right)}=|i,j\rangle e^{i\left(\theta _{i,j}^{x}+\theta _{i+1,j}^{y}-\theta _{i,j+1}^{x}-\theta _{i,j}^{y}\right)}=|i,j\rangle e^{i2\pi \phi _{m,n}}.\end{aligned}}}$$

Justificación

Aquí damos tres derivaciones de la sustitución de Peierls, cada una se basa en una formulación diferente de la teoría de la mecánica cuántica.

Enfoque axiomático

Aquí damos una derivación simple de la sustitución de Peierls, que se basa en The Feynman Lectures (Vol. III, Capítulo 21). ^[3] Esta derivación postula que los campos magnéticos se incorporan en el modelo de enlace fuerte añadiendo una fase a los términos de salto y demuestra que es consistente con el hamiltoniano continuo. Por lo tanto, nuestro punto de partida es el hamiltoniano de Hofstadter : ^[2]

$${\displaystyle H_{0}=\sum _{m,n}{\bigg (}-te^{i\theta _{m,n}^{x}}\vert m\!+\!a,n\rangle \langle m,n\vert -te^{i\theta _{m,n}^{y}}\vert m,n\!+\!a\rangle \langle m,n\vert -\epsilon _{0}\vert m,n\rangle \langle m,n\vert {\bigg )}+{\text{h.c}}.}$$

El operador de traslación se puede escribir explícitamente utilizando su generador, es decir, el operador de momento. Bajo esta representación es fácil expandirlo hasta el segundo orden. ${\displaystyle \vert m+1\rangle \langle m\vert }$

$${\displaystyle \vert m\!+\!a\rangle \langle m\vert =\exp {{\bigg (}\!-\!{\frac {i\mathbf {p} _{x}a}{\hbar }}{\bigg )}}\vert m\rangle \langle m\vert =\left(1-{\frac {i\mathbf {p} _{x}}{\hbar }}a-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3})\right)\vert m\rangle \langle m\vert }$$

y en una red 2D . A continuación, ampliamos hasta el segundo orden los factores de fase, suponiendo que el potencial vectorial no varía significativamente en un espaciado de red (que se considera pequeño) ${\displaystyle \vert m\!+\!a\rangle \langle m\vert \longrightarrow \vert m\!+\!a,n\rangle \langle m,n\vert }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=1+i\theta -{\frac {1}{2}}\theta ^{2}+{\mathcal {O}}(\theta ^{3}),\\\theta &\approx {\frac {aqA_{x}}{\hbar }},\\e^{i\theta }&=1+{\frac {iaqA_{x}}{\hbar }}-{\frac {a^{2}q^{2}A_{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(a^{3}).\end{aligned}}}$$

Sustituyendo estas expansiones en la parte relevante del hamiltoniano se obtiene

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }\vert m+a\rangle \langle m\vert +e^{-i\theta }\vert m\rangle \langle m+a\vert &={\bigg (}1+{\frac {iaqA_{x}}{\hbar }}-{\frac {a^{2}q^{2}A_{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {i\mathbf {p} _{x}}{\hbar }}a-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert +{\text{h.c}}\\&={\bigg (}2-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{\hbar ^{2}}}a^{2}+{\frac {q\lbrace \mathbf {p} _{x},A_{x}\rbrace }{\hbar ^{2}}}a^{2}-{\frac {q^{2}A_{x}^{2}}{\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert \\&={\bigg (}-{\frac {a^{2}}{\hbar ^{2}}}{\big (}\mathbf {p} _{x}-qA_{x}{\big )}^{2}+2+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert .\end{aligned}}}$$

Generalizando el último resultado al caso 2D, llegamos al hamiltoniano de Hofstadter en el límite del continuo :

${\displaystyle H_{0}={\frac {1}{2m}}{\big (}\mathbf {p} -q\mathbf {A} {\big )}^{2}+{\tilde {\epsilon _{0}}}}$

donde la masa efectiva es y . ${\displaystyle m=\hbar ^{2}/2ta^{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{0}=\epsilon _{0}-4t}$

Enfoque semiclásico

Aquí demostramos que el factor de fase de Peierls se origina a partir del propagador de un electrón en un campo magnético debido al término dinámico que aparece en el lagrangiano. En el formalismo de la integral de trayectorias , que generaliza el principio de acción de la mecánica clásica, la amplitud de transición de un sitio en el tiempo a un sitio en el tiempo está dada por ${\displaystyle q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle t_{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t_{i}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{i},t_{i}|\mathbf {r} _{j},t_{j}\rangle =\int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]e^{{\frac {\rm {i}}{\hbar }}{\mathcal {S}}(\mathbf {r} )},}$$

donde el operador de integración, denota la suma de todos los caminos posibles desde hasta y es la acción clásica , que es una función que toma una trayectoria como argumento. Usamos para denotar una trayectoria con puntos finales en . El lagrangiano del sistema se puede escribir como ${\displaystyle \int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t_{j})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {r} _{ij}]=\int _{t_{i}}^{t_{j}}L[\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t]\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{ij}}$ ${\displaystyle r(t_{i}),r(t_{j})}$

$${\displaystyle L=L^{(0)}+q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,}$$

¿Dónde está el lagrangiano en ausencia de campo magnético? La acción correspondiente se lee ${\displaystyle L^{(0)}}$

$${\displaystyle S[\mathbf {r} _{ij}]=S^{(0)}[\mathbf {r} _{ij}]+q\int _{t_{i}}^{t_{j}}dt\left({\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}\right)\cdot \mathbf {A} =S^{(0)}[\mathbf {r} _{ij}]+q\int _{\mathbf {r} _{ij}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }$$

Ahora, suponiendo que sólo un camino contribuye fuertemente, tenemos

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{i},t_{i}|\mathbf {r} _{j},t_{j}\rangle =e^{{\frac {iq}{\hbar }}\int _{\mathbf {r} _{c}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }\int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]e^{{\frac {\rm {i}}{\hbar }}{\mathcal {S}}^{(0)}[\mathbf {r} ]}}$$

Por lo tanto, la amplitud de transición de un electrón sujeto a un campo magnético es la que existe en ausencia de campo magnético multiplicada por una fase.

Otra derivación

El hamiltoniano viene dado por

$${\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+U\left(\mathbf {r} \right),}$$

donde es el paisaje potencial debido a la red cristalina. El teorema de Bloch afirma que la solución al problema: , debe buscarse en la forma de suma de Bloch ${\displaystyle U\left(\mathbf {r} \right)}$ ${\displaystyle H\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E\left(\mathbf {k} \right)\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }\left(\mathbf {r} \right),}$$

donde es el número de celdas unitarias, y se conocen como funciones de Wannier . Los valores propios correspondientes , que forman bandas en función del momento cristalino , se obtienen calculando el elemento de la matriz ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

$${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)=\int d\mathbf {r} \ \Psi _{\mathbf {k} }^{*}(\mathbf {r} )H\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {R} \mathbf {R} ^{\prime }}e^{i\mathbf {k} \left(\mathbf {R} ^{\prime }-\mathbf {R} \right)}\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }^{*}\left(\mathbf {r} \right)H\phi _{\mathbf {R} ^{\prime }}\left(\mathbf {r} \right)}$$

y, en última instancia, dependen de integrales de salto dependientes del material.

$${\displaystyle t_{12}=-\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} _{1}}^{*}\left(\mathbf {r} \right)H\phi _{\mathbf {R} _{2}}\left(\mathbf {r} \right).}$$

En presencia del campo magnético el hamiltoniano cambia a

$${\displaystyle {\tilde {H}}(t)={\frac {\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (t)\right)^{2}}{2m}}+U\left(\mathbf {r} \right),}$$

donde es la carga de la partícula. Para corregir esto, considere cambiar las funciones de Wannier a ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot dr'}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ),\end{aligned}}}$$

donde . Esto hace que las nuevas funciones de onda de Bloch ${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }\equiv {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {A} \to 0)}$

$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ),}$$

en estados propios del hamiltoniano completo en el tiempo , con la misma energía que antes. Para ver esto, primero usamos para escribir ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {H}}(t){{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}&=\left[{\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t))^{2}}{2m}}+U(\mathbf {r} )\right]e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )\\&=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }A(\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\left[{\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t))^{2}}{2m}}+U(\mathbf {r} )\right]\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )\\&=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }A(\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}H\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$

Luego, cuando calculamos la integral de salto en cuasi-equilibrio (asumiendo que el potencial vectorial cambia lentamente)

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {t}}_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}(t)&=-\int d\mathbf {r} \ {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }^{*}(\mathbf {r} ){\tilde {H}}(t){\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} )\\&=-\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }^{*}(\mathbf {r} )e^{i{\frac {q}{\hbar }}\left[-\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '+\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '\right]}H\phi _{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} )\\&=-e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {R} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }^{*}(\mathbf {r} )e^{i{\frac {q}{\hbar }}\Phi _{\mathbf {R} ',\mathbf {r} ,\mathbf {R} }}H\phi _{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} ),\end{aligned}}}$$

donde hemos definido , el flujo a través del triángulo hecho por los tres argumentos de posición. Dado que suponemos que es aproximadamente uniforme en la escala reticular ^[4] - la escala en la que los estados de Wannier se localizan en las posiciones - podemos aproximar , obteniendo el resultado deseado, Por lo tanto, los elementos de la matriz son los mismos que en el caso sin campo magnético, aparte del factor de fase recogido, que se denota como el factor de fase de Peierls. Esto es tremendamente conveniente, ya que entonces podemos utilizar los mismos parámetros del material independientemente del valor del campo magnético, y la fase correspondiente es computacionalmente trivial de tener en cuenta. Para los electrones ( ) equivale a reemplazar el término de salto con ^{[4] [5] [6] [7]} ${\displaystyle \Phi _{\mathbf {R} ',\mathbf {r} ,\mathbf {R} }=\oint _{\mathbf {R} '\to \mathbf {r} \to \mathbf {R} \to \mathbf {R} '}\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \Phi _{\mathbf {R} ,\mathbf {r} ,\mathbf {R} '}\approx 0}$ $${\displaystyle {\tilde {t}}_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}(t)\approx t_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {R} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}.}$$ ${\displaystyle q=-e}$ ${\displaystyle t_{ij}}$ ${\displaystyle t_{ij}e^{-i{\frac {e}{\hbar }}\int _{i}^{j}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} }}$

Referencias

1. Peierls, R (1933). "Sobre la teoría del diamagnetismo de los electrones de conducción". Z. Phys . 80 (11–12): 763–791. Bibcode :1933ZPhy...80..763P. doi :10.1007/bf01342591. S2CID  119930820.
2. Hofstadter, Douglas R. (septiembre de 1976). "Niveles de energía y funciones de onda de los electrones de Bloch en campos magnéticos racionales e irracionales". Phys. Rev. B . 14 (6): 2239–2249. Código Bibliográfico :1976PhRvB..14.2239H. doi :10.1103/PhysRevB.14.2239.
3. Las conferencias de Feynman sobre física, vol. III, cap. 21: La ecuación de Schrödinger en un contexto clásico: un seminario sobre superconductividad
4. Luttinger, JM (noviembre de 1951). "El efecto de un campo magnético sobre los electrones en un potencial periódico". Phys. Rev. 84 ( 4): 814–817. Bibcode :1951PhRv...84..814L. doi :10.1103/PhysRev.84.814.
5. Kohn, Walter (septiembre de 1959). "Teoría de los electrones de Bloch en un campo magnético: el hamiltoniano efectivo". Phys. Rev. 115 ( 6): 1460–1478. Código Bibliográfico :1959PhRv..115.1460K. doi :10.1103/PhysRev.115.1460.
6. Blount, EI (junio de 1962). "Electrones de Bloch en un campo magnético". Phys. Rev. 126 ( 5): 1636–1653. Código Bibliográfico :1962PhRv..126.1636B. doi :10.1103/PhysRev.126.1636.
7. Wannier, Gregory H. (octubre de 1962). "Dinámica de los electrones de banda en campos eléctricos y magnéticos". Rev. Mod. Phys . 34 (4): 645–655. Bibcode :1962RvMP...34..645W. doi :10.1103/RevModPhys.34.645.