teoría de perturbación k·p

Modelo de física del estado sólido

En física del estado sólido , la teoría de perturbación k·p es un enfoque semiempírico aproximado para calcular la estructura de bandas (particularmente la masa efectiva ) y las propiedades ópticas de los sólidos cristalinos. ^{[1] [2] [3]} Se pronuncia "k punto p", y también se denomina " método k·p ". Esta teoría se ha aplicado específicamente en el marco del modelo de Luttinger-Kohn (después de Joaquin Mazdak Luttinger y Walter Kohn ), y del modelo de Kane (después de Evan O. Kane ).

Antecedentes y derivación

Teorema de Bloch y vectores de onda

Según la mecánica cuántica (en la aproximación de un solo electrón ), los electrones cuasi libres en cualquier sólido se caracterizan por funciones de onda que son estados propios de la siguiente ecuación estacionaria de Schrödinger :

${\displaystyle \left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\psi =E\psi }$

donde p es el operador de momento mecánico cuántico , V es el potencial y m es la masa del electrón en el vacío. (Esta ecuación ignora el efecto de espín-órbita ; véase más abajo).

En un sólido cristalino , V es una función periódica , con la misma periodicidad que la red cristalina . El teorema de Bloch demuestra que las soluciones de esta ecuación diferencial pueden escribirse de la siguiente manera:

${\displaystyle \psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

donde k es un vector (llamado vector de onda ), n es un índice discreto (llamado índice de banda ) y u _{n , k} es una función con la misma periodicidad que la red cristalina.

Para cualquier n dado , los estados asociados se denominan banda . En cada banda, habrá una relación entre el vector de onda k y la energía del estado E _{n , k} , denominada dispersión de banda . El cálculo de esta dispersión es una de las principales aplicaciones de la teoría de perturbaciones k · p .

Teoría de la perturbación

La función periódica u _{n , k} satisface la siguiente ecuación de tipo Schrödinger (simplemente, una expansión directa de la ecuación de Schrödinger con una función de onda de tipo Bloch): ^[1]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

donde esta el hamiltoniano

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V}$

Nótese que k es un vector que consta de tres números reales con dimensiones de longitud inversa , mientras que p es un vector de operadores; para ser explícito,

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}})+k_{y}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}})+k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}})}$

En cualquier caso, escribimos este hamiltoniano como la suma de dos términos:

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}}$

Esta expresión es la base de la teoría de perturbaciones . El "hamiltoniano no perturbado" es H ₀ , que de hecho es igual al hamiltoniano exacto en k  = 0 (es decir, en el punto gamma ). La "perturbación" es el término . El análisis resultante se denomina " teoría de perturbaciones k·p ", debido a que el término es proporcional a k·p . El resultado de este análisis es una expresión para E _{n , k} y u _{n , k} en términos de las energías y funciones de onda en k  = 0. ${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$

Obsérvese que el término "perturbación" se hace progresivamente más pequeño a medida que k se acerca a cero. Por lo tanto, la teoría de perturbación k·p es más precisa para valores pequeños de k . Sin embargo, si se incluyen suficientes términos en la expansión perturbativa , entonces la teoría puede, de hecho, ser razonablemente precisa para cualquier valor de k en toda la zona de Brillouin . ${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$

Expresión para una banda no degenerada

Para una banda no degenerada (es decir, una banda que tiene una energía diferente en k  = 0 de cualquier otra banda), con un extremo en k  = 0 y sin acoplamiento espín-órbita , el resultado de la teoría de perturbación k · p es (al orden no trivial más bajo ): ^[1]

${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n',0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n,0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}}$

${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}}$

Dado que k es un vector de números reales (en lugar de un vector de operadores lineales más complicados), el elemento de la matriz en estas expresiones se puede reescribir como:

${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle =\mathbf {k} \cdot \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$

Por lo tanto, se puede calcular la energía en cualquier k utilizando sólo unos pocos parámetros desconocidos, a saber, E _{n ,0} y . Estos últimos se denominan "elementos de matriz óptica", estrechamente relacionados con los momentos dipolares de transición . Estos parámetros se suelen inferir a partir de datos experimentales. ${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$

En la práctica, la suma sobre n a menudo incluye solo la banda o las dos más cercanas, ya que estas tienden a ser las más importantes (debido al denominador). Sin embargo, para mejorar la precisión, especialmente con k más grandes , se deben incluir más bandas, así como más términos en la expansión perturbativa que los escritos anteriormente.

Masa efectiva

Utilizando la expresión anterior para la relación de dispersión de energía, se puede encontrar una expresión simplificada para la masa efectiva en la banda de conducción de un semiconductor. ^[3] Para aproximar la relación de dispersión en el caso de la banda de conducción, tome la energía E _n0 como la energía mínima de la banda de conducción E _c0 e incluya en la suma solo los términos con energías cercanas al máximo de la banda de valencia, donde la diferencia de energía en el denominador es mínima. (Estos términos son las contribuciones más grandes a la suma). Este denominador se aproxima entonces como el intervalo de banda E _g , lo que conduce a una expresión de energía:

${\displaystyle E_{c}({\boldsymbol {k}})\approx E_{c0}+{\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{{E_{g}}m^{2}}}\sum _{n}{|\langle u_{c,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n,0}\rangle |^{2}}}$

La masa efectiva en la dirección ℓ es entonces:

${\displaystyle {\frac {1}{{m}_{\ell }}}={{1} \over {\hbar ^{2}}}\sum _{m}\cdot {{\partial ^{2}E_{c}({\boldsymbol {k}})} \over {\partial k_{\ell }\partial k_{m}}}\approx {\frac {1}{m}}+{\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0}\rangle }{\langle u_{n,0}|p_{m}|u_{c,0}\rangle }}$

Si ignoramos los detalles de los elementos de la matriz, las consecuencias clave son que la masa efectiva varía con el intervalo de banda más pequeño y tiende a cero cuando el intervalo tiende a cero. ^[3] Una aproximación útil para los elementos de la matriz en semiconductores de intervalo directo es: ^[4]

${\displaystyle {\frac {2}{E_{g}m^{2}}}\sum _{m,\ n}{|\langle u_{c,0}|p_{\ell }|u_{n,0}\rangle |}{|\langle u_{c,0}|p_{m}|u_{n,0}\rangle |}\approx 20\mathrm {eV} {\frac {1}{mE_{g}}}\ ,}$

lo cual se aplica en un rango de aproximadamente el 15% o mejor a la mayoría de los semiconductores de los grupos IV, III-V y II-VI. ^[5]

En contraste con esta simple aproximación, en el caso de la energía de la banda de valencia se debe introducir la interacción espín-órbita (ver más abajo) y se deben considerar individualmente muchas más bandas. El cálculo se proporciona en Yu y Cardona . ^[6] En la banda de valencia los portadores móviles son agujeros . Se encuentra que hay dos tipos de agujeros, llamados pesados ​​y ligeros , con masas anisotrópicas.

Modelo k·p con interacción espín-órbita

Incluyendo la interacción espín-órbita , la ecuación de Schrödinger para u es: ^[2]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

donde ^[7]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}}$

donde es un vector que consta de las tres matrices de Pauli . Este hamiltoniano puede someterse al mismo tipo de análisis de teoría de perturbaciones que el anterior. ${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$

Cálculo en caso degenerado

Para bandas degeneradas o casi degeneradas, en particular las bandas de valencia en ciertos materiales como el arseniuro de galio , las ecuaciones pueden analizarse mediante los métodos de la teoría de perturbación degenerada . ^{[1] [2]} Los modelos de este tipo incluyen el " modelo de Luttinger-Kohn " (también conocido como "modelo de Kohn-Luttinger"), ^[8] y el " modelo de Kane ". ^[7]

Generalmente, se introduce un hamiltoniano efectivo y, hasta el primer orden, sus elementos matriciales se pueden expresar como ${\displaystyle H^{\rm {eff}}}$

${\displaystyle H_{\mathbf {k} ,mn}^{\rm {eff}}=\langle u_{m,0}|H_{0}|u_{n,0}\rangle +\mathbf {k} \cdot \langle u_{m,0}|\nabla _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }'|u_{n,0}\rangle }$

Luego de resolverlo se obtienen las funciones de onda y las bandas de energía.

Véase también

Notas y referencias

1. P. Yu, M. Cardona (2005). Fundamentos de semiconductores: física y propiedades de los materiales (3.ª ed.). Springer . Sección 2.6, págs. 68 y siguientes . ISBN 3-540-25470-6.
2. C. Kittel (1987). Teoría cuántica de los sólidos (segunda edición revisada). Nueva York: Wiley . Págs. 186-190. ISBN. 0-471-62412-8.
3. WP Harrison (1989) [1980]. Estructura electrónica y propiedades de los sólidos (edición reimpresa). Dover Publications . pp. 158 y siguientes . ISBN 0-486-66021-4.
4. Un semiconductor de espacio directo es aquel en el que el máximo de la banda de valencia y el mínimo de la banda de conducción se encuentran en la misma posición en el espacio k , normalmente el llamado punto Γ donde k = 0.
5. Véase la Tabla 2.22 en Yu & Cardona, op. cit.
6. Véase Yu y Cardona, op. cit. págs. 75–82
7. Evan O. Kane (1957). "Estructura de bandas del antimonuro de indio". Revista de física y química de sólidos . 1 (4): 249–261. Código Bibliográfico :1957JPCS....1..249K. doi :10.1016/0022-3697(57)90013-6.
8. JM Luttinger, W. Kohn (1955). "Movimiento de electrones y huecos en campos periódicos perturbados". Physical Review . 97 (4): 869–883. Bibcode :1955PhRv...97..869L. doi :10.1103/PhysRev.97.869.