Teorema fundamental en física de la materia condensada.
Isosuperficie del módulo cuadrado de un estado de Bloch en una red de silicioLínea continua: un esquema de la parte real de un estado típico de Bloch en una dimensión. La línea de puntos proviene del factor e i k · r . Los círculos claros representan átomos.
Las funciones de esta forma se conocen como funciones de Bloch o estados de Bloch y sirven como base adecuada para las funciones de onda o estados de los electrones en sólidos cristalinos .
La descripción de los electrones en términos de funciones de Bloch, denominadas electrones de Bloch (o menos frecuentemente ondas de Bloch ), subyace al concepto de estructuras de bandas electrónicas .
Estos estados propios se escriben con subíndices como , donde hay un índice discreto, llamado índice de banda , que está presente porque hay muchas funciones de onda diferentes con el mismo (cada una tiene un componente periódico diferente ). Dentro de una banda (es decir, para fijo ), varía continuamente con , al igual que su energía. Además, es único sólo hasta un vector reticular recíproco constante , o ,. Por lo tanto, el vector de onda puede restringirse a la primera zona de Brillouin de la red recíproca sin pérdida de generalidad .
Aplicaciones y consecuencias
Aplicabilidad
El ejemplo más común del teorema de Bloch es la descripción de los electrones en un cristal, especialmente al caracterizar las propiedades electrónicas del cristal, como la estructura de bandas electrónicas. Sin embargo, una descripción de onda de Bloch se aplica de manera más general a cualquier fenómeno ondulatorio en un medio periódico. Por ejemplo, una estructura dieléctrica periódica en el electromagnetismo conduce a cristales fotónicos , y un medio acústico periódico conduce a cristales fonónicos . Generalmente se trata en las diversas formas de la teoría dinámica de la difracción .
Vector de onda
Una función de onda de Bloch (abajo) se puede dividir en el producto de una función periódica (arriba) y una onda plana (centro). El lado izquierdo y el lado derecho representan el mismo estado de Bloch dividido de dos maneras diferentes, involucrando el vector de onda k 1 (izquierda) o k 2 (derecha). La diferencia ( k 1 − k 2 ) es un vector reticular recíproco . En todas las tramas, el azul es la parte real y el rojo es la parte imaginaria.
Supongamos que un electrón está en estado de Bloch.
La primera zona de Brillouin es un conjunto restringido de valores de k con la propiedad de que no hay dos de ellos equivalentes, sin embargo, cada k posible es equivalente a un (y sólo uno) vector en la primera zona de Brillouin. Por lo tanto, si restringimos k a la primera zona de Brillouin, entonces cada estado de Bloch tiene un k único . Por lo tanto, la primera zona de Brillouin se utiliza a menudo para representar todos los estados de Bloch sin redundancia, por ejemplo en una estructura de bandas, y se utiliza por la misma razón en muchos cálculos.
Cuando k se multiplica por la constante de Planck reducida , es igual al momento cristalino del electrón . En relación con esto, la velocidad de grupo de un electrón se puede calcular en función de cómo varía la energía de un estado de Bloch con k ; para obtener más detalles, consulte impulso de cristal.
Para los electrones en un cristal perfecto, existe una base de funciones de onda con las dos propiedades siguientes:
cada una de estas funciones de onda es un estado propio de energía,
cada una de estas funciones de onda es un estado de Bloch, lo que significa que esta función de onda se puede escribir en la forma
donde u ( r ) tiene la misma periodicidad que la estructura atómica del cristal, tal que
Prueba
Usando la periodicidad de la red
Fuente: [3]
Preliminares: simetrías cristalinas, red y red recíproca
La propiedad definitoria de un cristal es la simetría traslacional, lo que significa que si el cristal se desplaza una cantidad adecuada, termina con todos sus átomos en los mismos lugares. (Un cristal de tamaño finito no puede tener una simetría de traslación perfecta, pero es una aproximación útil).
Un cristal tridimensional tiene tres vectores reticulares primitivos a 1 , a 2 , a 3 . Si el cristal es desplazado por cualquiera de estos tres vectores, o una combinación de ellos de la forma
n i
Otro ingrediente útil en la demostración son los vectores reticulares recíprocos . Estos son tres vectores b 1 , b 2 , b 3 (con unidades de longitud inversa), con la propiedad de que a i · b i = 2 π , pero a i · b j = 0 cuando i ≠ j . (Para conocer la fórmula de b i , consulte vector de red recíproco ).
Lema sobre operadores de traducción
Denotemos un operador de traducción que desplaza cada función de onda en la cantidad n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 (como arriba, n j son números enteros). El siguiente hecho es útil para demostrar el teorema de Bloch:
Lema : si una función de onda ψ es un estado propio de todos los operadores de traducción (simultáneamente), entonces ψ es un estado de Bloch.
Prueba de lema
Supongamos que tenemos una función de onda ψ que es un estado propio de todos los operadores de traducción. Como caso especial de esto,
para j = 1, 2, 3 , donde C j son tres números (los valores propios ) que no dependen de r . Es útil escribir los números C j en una forma diferente, eligiendo tres números θ 1 , θ 2 , θ 3 con e 2 πiθ j = C j :
Nuevamente, los θ j son tres números que no dependen de r . Defina k = θ 1 b 1 + θ 2 b 2 + θ 3 b 3 , donde b j son los vectores reticulares recíprocos (ver arriba). Finalmente, define
Entonces
Esto prueba que u tiene la periodicidad de la red. Esto demuestra que el Estado es un Estado Bloch.
Finalmente, estamos listos para la demostración principal del teorema de Bloch, que es la siguiente.
Como arriba, denotemos un operador de traducción que desplaza cada función de onda en la cantidad n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 , donde n i son números enteros. Debido a que el cristal tiene simetría traslacional, este operador conmuta con el operador hamiltoniano . Además, cada uno de estos operadores de traducción conmuta entre sí. Por lo tanto, existe una base propia simultánea del operador hamiltoniano y de todos los operadores posibles. Esta base es la que estamos buscando. Las funciones de onda en esta base son estados propios de energía (porque son estados propios del hamiltoniano) y también son estados de Bloch (porque son estados propios de los operadores de traducción; consulte el lema anterior).
Podemos pensar en estos como operadores de transporte.
dónde
La conmutatividad de los operadores da tres subgrupos cíclicos de conmutación (dado que pueden ser generados por un solo elemento) que son infinitos, unidimensionales y abelianos. Todas las representaciones irreductibles de grupos abelianos son unidimensionales. [6]
Dado que son unidimensionales, la representación matricial y el carácter son los mismos. El carácter es la representación sobre los números complejos del grupo o también la traza de la representación que en este caso es una matriz unidimensional. Todos estos subgrupos, al ser cíclicos, tienen caracteres que son raíces apropiadas de la unidad . De hecho, tienen un generador que obedecerá a y, por tanto, al carácter . Tenga en cuenta que esto es sencillo en el caso del grupo cíclico finito, pero en el caso infinito contable del grupo cíclico infinito (es decir, el grupo de traducción aquí) hay un límite en el que el carácter permanece finito.
Dado que el carácter es una raíz de la unidad, para cada subgrupo el carácter se puede escribir como
donde L es una periodicidad macroscópica en la dirección que también puede verse como un múltiplo de donde
Esto sustituye en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo por una simple hamiltoniana efectiva.
induce una periodicidad con la función de onda:
Y para cada dimensión un operador de traducción con un período L
Desde aquí podemos ver que también el carácter será invariante mediante una traducción de :
y de la última ecuación obtenemos para cada dimensión una condición periódica:
donde es un numero entero y
El vector de onda identifica la representación irreducible de la misma manera que , y es una longitud periódica macroscópica del cristal en dirección . En este contexto, el vector de onda sirve como número cuántico para el operador de traducción.
Podemos generalizar esto para 3 dimensiones
y la fórmula genérica para la función de onda queda:
es decir, especializarlo para una traducción
y hemos demostrado el teorema de Bloch.
Aparte de los tecnicismos de la teoría de grupos, esta demostración es interesante porque queda claro cómo generalizar el teorema de Bloch para grupos que no son sólo traducciones.
Esto generalmente se hace para grupos espaciales que son una combinación de una traslación y un grupo de puntos y se usa para calcular la estructura de banda, el espectro y los calores específicos de los cristales dada una simetría de grupo de cristales específica como FCC o BCC y, eventualmente, una base adicional . [5] : 365–367 [7]
En esta prueba también es posible notar cómo es clave que el grupo de puntos extra esté impulsado por una simetría en el potencial efectivo pero conmutará con el hamiltoniano.
En la versión generalizada del teorema de Bloch, la transformada de Fourier, es decir, la expansión de la función de onda, se generaliza a partir de una transformada de Fourier discreta que es aplicable sólo para grupos cíclicos y, por lo tanto, se traduce en una expansión de caracteres de la función de onda donde los caracteres provienen de el grupo de puntos finitos específico .
También aquí es posible ver cómo los personajes (como invariantes de las representaciones irreductibles) pueden ser tratados como bloques de construcción fundamentales en lugar de las representaciones irreductibles mismas. [8]
Velocidad y masa efectiva.
Si aplicamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo a la función de onda de Bloch obtenemos
Prueba [9]
Nos quedamos con
Esto muestra cómo el impulso efectivo puede verse como compuesto de dos partes,
La cantidad de la derecha multiplicada por un factor se llama tensor de masa efectiva [11] y podemos usarla para escribir una ecuación semiclásica para un portador de carga en una banda [12]
Ecuación de movimiento semiclásica de segundo orden para un portador de carga en una banda
Ecuación de movimiento semiclásica de primer orden para un electrón en una banda
Como interpretación intuitiva, las dos ecuaciones anteriores se parecen formalmente y están en una analogía semiclásica con la segunda ley de Newton para un electrón en una fuerza externa de Lorentz .
Historia y ecuaciones relacionadas.
El concepto de estado de Bloch fue desarrollado por Felix Bloch en 1928 [14] para describir la conducción de electrones en sólidos cristalinos. Sin embargo, las mismas matemáticas subyacentes también fueron descubiertas de forma independiente varias veces: por George William Hill (1877), [15] Gaston Floquet (1883), [16] y Alexander Lyapunov (1892). [17] Como resultado, una variedad de nomenclaturas son comunes: aplicada a ecuaciones diferenciales ordinarias , se llama teoría de Floquet (u ocasionalmente teorema de Lyapunov-Floquet ). La forma general de una ecuación de potencial periódica unidimensional es la ecuación de Hill : [18]
Matemáticamente, el teorema de Bloch se interpreta en términos de caracteres unitarios de un grupo reticular y se aplica a la geometría espectral . [19] [20] [21]
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