función de Mathieu

Soluciones a una ecuación diferencial estudiada por Émile L. Mathieu

En matemáticas , las funciones de Mathieu , a veces llamadas funciones angulares de Mathieu , son soluciones de la ecuación diferencial de Mathieu.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(a-2q\cos(2x))y=0,}$

donde a, q son parámetros de valor real . Dado que podemos sumar π/2 a x para cambiar el signo de q , es una convención habitual establecer q ≥ 0 .

Fueron introducidos por primera vez por Émile Léonard Mathieu , quien los encontró mientras estudiaba parches elípticos vibrantes . ^{[1] [2] [3]} Tienen aplicaciones en muchos campos de las ciencias físicas, como la óptica , la mecánica cuántica y la relatividad general . Suelen ocurrir en problemas que involucran movimiento periódico o en el análisis de problemas de valores límite de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) que poseen simetría elíptica . ^[4]

Definición

Funciones de Mathieu

En algunos usos, la función de Mathieu se refiere a soluciones de la ecuación diferencial de Mathieu para valores arbitrarios de y . Cuando no puede surgir confusión, otros autores utilizan el término para referirse específicamente a soluciones periódicas o , que existen sólo para valores especiales de y . ^[5] Más precisamente, para soluciones periódicas dadas (reales) existen para un número infinito de valores de , llamados números característicos , convencionalmente indexados como dos secuencias separadas y , para . Las funciones correspondientes se denotan y , respectivamente. A veces también se las denomina funciones coseno-elípticas y seno-elípticas , o funciones de Mathieu de primer tipo . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{n}(q)}$ ${\displaystyle b_{n}(q)}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

Como resultado de suponer que eso es real, tanto los números característicos como las funciones asociadas tienen valores reales. ^[6] ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y puede clasificarse además por paridad y periodicidad (ambas con respecto a ), de la siguiente manera: ^[5] ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle x}$

La indexación con el número entero , además de servir para ordenar los números característicos en orden ascendente, es conveniente en que se vuelven proporcionales a y según . Al ser un número entero, esto da lugar a la clasificación de y como funciones de Mathieu (del primer tipo) de orden integral. Para general y , se pueden definir soluciones además de estas, incluidas funciones de Mathieu de orden fraccionario, así como soluciones no periódicas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle \cos nx}$ ${\displaystyle \sin nx}$ ${\displaystyle q\rightarrow 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

Funciones de Mathieu modificadas

Estrechamente relacionadas están las funciones de Mathieu modificadas , también conocidas como funciones radiales de Mathieu, que son soluciones de la ecuación diferencial modificada de Mathieu.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

que se puede relacionar con la ecuación original de Mathieu tomando . En consecuencia, las funciones de Mathieu modificadas del primer tipo de orden integral, denotadas por y , se definen a partir de ^[7] ${\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x}$ ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}}x,q).\end{aligned}}}$

Estas funciones tienen valor real cuando es real. ${\displaystyle x}$

Normalización

Una normalización común, ^[8] que se adoptará a lo largo de este artículo, es exigir

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi }$

así como requerir y como . ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$ ${\displaystyle q\rightarrow 0}$

Estabilidad

La ecuación de Mathieu tiene dos parámetros. Para casi todas las opciones de parámetros, según la teoría de Floquet (ver la siguiente sección), cualquier solución converge a cero o diverge al infinito.

Parametrizar la ecuación de Mathieu como , donde . Las regiones de estabilidad e inestabilidad están separadas por curvas ^[9] ${\displaystyle {\ddot {x}}+k(1-m\cos(t))x=0}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,m\geq 0}$

$${\displaystyle m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}}<k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}}<k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}}$$

Teoría del floquet

Muchas propiedades de la ecuación diferencial de Mathieu pueden deducirse de la teoría general de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes periódicos, llamada teoría de Floquet . El resultado central es el teorema de Floquet :

Teorema de Floquet ^[10]  —  La ecuación de Mathieu siempre tiene al menos una solución tal que , donde es una constante que depende de los parámetros de la ecuación y puede ser real o compleja. ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle y(x+\pi )=\sigma y(x)}$ ${\displaystyle \sigma }$

Es natural asociar los números característicos con aquellos valores que resultan en . ^[11] Tenga en cuenta, sin embargo, que el teorema sólo garantiza la existencia de al menos una solución que satisfaga , cuando la ecuación de Mathieu de hecho tiene dos soluciones independientes para cualquier , dado . En efecto, resulta que con igual a uno de los números característicos, la ecuación de Mathieu tiene sólo una solución periódica (es decir, con periodo o ), y esta solución es una de las , . La otra solución es no periódica, se denota y , respectivamente, y se denomina función de Mathieu de segundo tipo . ^[12] Este resultado puede expresarse formalmente como el teorema de Ince : ${\displaystyle a(q)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma =\pm 1}$ ${\displaystyle y(x+\pi )=\sigma y(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$

Teorema de Ince ^[13]  :  defina una función básicamente periódica como una que satisfaga . Entonces, excepto en el caso trivial , la ecuación de Mathieu nunca posee dos soluciones (independientes) básicamente periódicas para los mismos valores de y . ${\displaystyle y(x+\pi )=\pm y(x)}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

Un ejemplo del teorema de Floquet, con , , (parte real, roja; parte imaginaria, verde) ${\displaystyle P(a,q,x)}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle q=1/5}$ ${\displaystyle \mu \approx 1+0.0995i}$

Una afirmación equivalente del teorema de Floquet es que la ecuación de Mathieu admite una solución de forma con valores complejos

${\displaystyle F(a,q,x)=\exp(i\mu \,x)\,P(a,q,x),}$

donde es un número complejo, el exponente de Floquet (o, a veces, el exponente de Mathieu ), y es una función de valor complejo periódica con periodo . A la derecha se muestra un ejemplo . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle P(a,q,x)}$

Otros tipos de funciones de Mathieu

segundo tipo

Dado que la ecuación de Mathieu es una ecuación diferencial de segundo orden, se pueden construir dos soluciones linealmente independientes. La teoría de Floquet dice que si es igual a un número característico, una de estas soluciones puede considerarse periódica y la otra no periódica. La solución periódica es una de las y , llamada función de Mathieu de primer tipo de orden integral. La no periódica se denota como y , respectivamente, y se denomina función de Mathieu de segundo tipo (de orden integral). Las soluciones no periódicas son inestables, es decir, divergen como . ^[14] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$

Las segundas soluciones corresponden a las funciones de Mathieu modificadas y se definen naturalmente como y . ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)}$ ${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}$

orden fraccionario

Las funciones de Mathieu de orden fraccionario se pueden definir como aquellas soluciones y , un número no entero, que se convierten en y como . ^[7] Si es irracional, son aperiódicos; sin embargo, permanecen acotados como . ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \cos px}$ ${\displaystyle \sin px}$ ${\displaystyle q\rightarrow 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

Una propiedad importante de las soluciones y , para números no enteros, es que existen para el mismo valor de . Por el contrario, cuando es un número entero y nunca ocurre para el mismo valor de . (Consulte el teorema de Ince más arriba). ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle a}$

Estas clasificaciones se resumen en la siguiente tabla. Las contrapartes de la función Mathieu modificada se definen de manera similar.

Representación explícita y cálculo.

primer tipo

Las funciones de Mathieu del primer tipo se pueden representar como series de Fourier : ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}}$

Los coeficientes de expansión y son funciones de pero independientes de . Al sustituirlos en la ecuación de Mathieu, se puede demostrar que obedecen a relaciones de recurrencia de tres términos en el índice inferior. Por ejemplo, para cada uno se encuentra ^[16] ${\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$ ${\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}}$

Al ser una recurrencia de segundo orden en el índice , siempre se pueden encontrar dos soluciones independientes y tales que la solución general se puede expresar como una combinación lineal de las dos: . Además, en este caso particular, un análisis asintótico ^[17] muestra que una posible elección de soluciones fundamentales tiene la propiedad ${\displaystyle 2r}$ ${\displaystyle X_{2r}}$ ${\displaystyle Y_{2r}}$ ${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}$

En particular, es finito mientras que diverge. Por lo tanto, al escribir , vemos que para que la representación de la serie de Fourier de converja, debe elegirse de manera que estas elecciones de correspondan a los números característicos. ${\displaystyle X_{2r}}$ ${\displaystyle Y_{2r}}$ ${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c_{2}=0.}$ ${\displaystyle a}$

Sin embargo, en general, la solución de una recurrencia de tres términos con coeficientes variables no se puede representar de una manera simple y, por lo tanto, no existe una manera sencilla de determinarla a partir de la condición . Además, incluso si se conoce el valor aproximado de un número característico, no se puede utilizar para obtener los coeficientes iterando numéricamente la recurrencia hacia el aumento . La razón es que mientras sólo se aproxima a un número característico, no es idéntico y la solución divergente eventualmente domina para valores suficientemente grandes . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c_{2}=0}$ ${\displaystyle A_{2r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y_{2r}}$ ${\displaystyle r}$

Para superar estos problemas, se requieren enfoques semianalíticos/numéricos más sofisticados, por ejemplo, utilizando una expansión de fracción continua , ^{[18] [5]} presentando la recurrencia como un problema de valores propios de matriz , ^[19] o implementando un algoritmo de recurrencia hacia atrás. ^[17] La ​​complejidad de la relación de recurrencia de tres términos es una de las razones por las que hay pocas fórmulas e identidades simples que involucren funciones de Mathieu. ^[20]

En la práctica, las funciones de Mathieu y los números característicos correspondientes se pueden calcular utilizando software preempaquetado, como Mathematica , Maple , MATLAB y SciPy . Para valores pequeños de y de bajo orden , también se pueden expresar perturbativamente como series de potencias de , lo que puede resultar útil en aplicaciones físicas. ^[21] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

segundo tipo

Hay varias formas de representar funciones de Mathieu del segundo tipo. ^[22] Una representación es en términos de funciones de Bessel : ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}}$

donde , y y son funciones de Bessel de primer y segundo tipo. ${\displaystyle n,q>0}$ ${\displaystyle J_{r}(x)}$ ${\displaystyle Y_{r}(x)}$

Funciones modificadas

Un enfoque tradicional para la evaluación numérica de las funciones de Mathieu modificadas es a través de la serie de productos de funciones de Bessel. ^[24] Para grandes y , la forma de la serie debe elegirse cuidadosamente para evitar errores de resta. ^{[25] [26]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

Propiedades

Hay relativamente pocas expresiones e identidades analíticas que impliquen funciones de Mathieu. Además, a diferencia de muchas otras funciones especiales, las soluciones de la ecuación de Mathieu no pueden expresarse en términos de funciones hipergeométricas . Esto se puede ver transformando la ecuación de Mathieu a forma algebraica, utilizando el cambio de variable : ${\displaystyle t=\cos(x)}$

${\displaystyle (1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.}$

Dado que esta ecuación tiene un punto singular irregular en el infinito, no se puede transformar en una ecuación de tipo hipergeométrico. ^[20]

Comportamiento cualitativo

Gráficos de muestra de funciones de Mathieu de primer tipo

Trama de para variar ${\displaystyle {\text{ce}}_{1}(x,q)}$ ${\displaystyle q}$

Para pequeños , y se comportan de manera similar a y . Por arbitrarios , pueden desviarse significativamente de sus homólogos trigonométricos; sin embargo, siguen siendo periódicos en general. Además, para cualquier real , y tienen exactamente ceros simples en , y como los ceros se agrupan alrededor de . ^{[27] [28]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle \cos nx}$ ${\displaystyle \sin nx}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0<x<\pi }$ ${\displaystyle q\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x=\pi /2}$

For y as las funciones de Mathieu modificadas tienden a comportarse como funciones periódicas amortiguadas. ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

A continuación, se puede hacer referencia a los factores y de las expansiones de Fourier para y (consulte Representación y cálculo explícitos). Dependen de y pero son independientes de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

Reflexiones y traducciones

Debido a su paridad y periodicidad, y tienen propiedades simples bajo reflexiones y traslaciones por múltiplos de : ^[7] ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

También se pueden escribir funciones negativas en términos de aquellas con positivas : ^{[5] [29]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

Además,

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}$

Ortogonalidad y completitud

Al igual que sus contrapartes trigonométricas y , las funciones periódicas de Mathieu satisfacen relaciones de ortogonalidad ${\displaystyle \cos nx}$ ${\displaystyle \sin nx}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}}$

Además, con un valor fijo y tratado como valor propio, la ecuación de Mathieu tiene la forma de Sturm-Liouville . Esto implica que las funciones propias y forman un conjunto completo, es decir, cualquier función periódica o de puede expandirse como una serie en y . ^[4] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

Identidades integrales

Las soluciones de la ecuación de Mathieu satisfacen una clase de identidades integrales con respecto a núcleos que son soluciones de ${\displaystyle \chi (x,x')}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$

Más precisamente, si resuelve la ecuación de Mathieu con dado y , entonces la integral ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'}$

donde es un camino en el plano complejo , también resuelve la ecuación de Mathieu con el mismo y , siempre que se cumplan las siguientes condiciones: ^[30] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle \chi (x,x')}$resuelve ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• En las regiones consideradas, existe y es analítico. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \chi (x,x')}$
• ${\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)}$tiene el mismo valor en los extremos de ${\displaystyle C}$

Usando un cambio apropiado de variables, la ecuación de puede transformarse en la ecuación de onda y resolverse. Por ejemplo, una solución es . Ejemplos de identidades obtenidas de esta manera son ^[31] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}}$

Las identidades de este último tipo son útiles para estudiar las propiedades asintóticas de las funciones de Mathieu modificadas. ^[32]

También existen relaciones integrales entre funciones de primer y segundo tipo, por ejemplo: ^[23]

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

Válido para cualquier complejo y real . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q}$

Expansiones asintóticas

Las siguientes expansiones asintóticas son válidas para , , y : ^[33] ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$ ${\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

Por tanto, las funciones de Mathieu modificadas decaen exponencialmente para argumentos reales grandes. Se pueden escribir expansiones asintóticas similares para y ; estos también decaen exponencialmente para argumentos reales grandes. ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}}$

Para las funciones periódicas pares e impares de Mathieu y los números característicos asociados, también se pueden derivar expansiones asintóticas para grandes . ^[34] Para los números característicos en particular se tiene aproximadamente un número entero impar, es decir ${\displaystyle ce,se}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{aligned}}}$

Observe aquí la simetría al reemplazar y por y , que es una característica importante de la expansión. Los términos de esta ampliación se han obtenido explícitamente hasta e incluyendo el plazo del pedido . ^[35] Aquí hay sólo aproximadamente un número entero impar porque en el límite de todos los segmentos mínimos del potencial periódico se convierten en osciladores armónicos efectivamente independientes (de ahí un número entero impar). Al disminuir , se hace posible atravesar las barreras (en lenguaje físico), lo que lleva a una división de los números característicos (en mecánica cuántica llamados valores propios) correspondientes a funciones periódicas de Mathieu pares e impares. Esta división se obtiene con condiciones de contorno ^[35] (en mecánica cuántica esto proporciona la división de los valores propios en bandas de energía). ^[36] Las condiciones de contorno son: ${\displaystyle q^{1/2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -q^{1/2}}$ ${\displaystyle -N}$ ${\displaystyle |q|^{-7/2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q\to \infty }$ ${\displaystyle \cos 2x}$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a\to a_{\mp }}$

${\displaystyle \left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.}$

Al imponer estas condiciones de contorno a las funciones periódicas asintóticas de Mathieu asociadas con la expansión anterior, se obtiene ${\displaystyle a}$

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].}$

Los números característicos correspondientes o valores propios siguen luego por expansión, es decir

${\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .}$

La inserción de las expresiones apropiadas anteriores produce el resultado.

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}}$

Estos son los valores propios asociados con las funciones propias de Mathieu pares o (es decir, con el signo menos superior) y las funciones propias de Mathieu impares o (es decir, con el signo más inferior). Las expansiones explícitas y normalizadas de las funciones propias se pueden encontrar en ^[35] o. ^[36] ${\displaystyle N_{0}=1,3,5,\dots }$ ${\displaystyle ce_{N_{0}}}$ ${\displaystyle ce_{N_{0}-1}}$ ${\displaystyle se_{N_{0}+1}}$ ${\displaystyle se_{N_{0}}}$

Se pueden obtener expansiones asintóticas similares para las soluciones de otras ecuaciones diferenciales periódicas, como para las funciones de Lamé y las funciones de onda esferoidales alargadas y achatadas .

Aplicaciones

Las ecuaciones diferenciales de Mathieu aparecen en una amplia gama de contextos en ingeniería, física y matemáticas aplicadas. Muchas de estas aplicaciones caen en una de dos categorías generales: 1) el análisis de ecuaciones diferenciales parciales en geometrías elípticas y 2) problemas dinámicos que involucran fuerzas periódicas en el espacio o en el tiempo. A continuación se analizan ejemplos dentro de ambas categorías.

Ecuaciones diferenciales parciales

Las funciones de Mathieu surgen cuando la separación de variables en coordenadas elípticas se aplica a 1) la ecuación de Laplace en 3 dimensiones y 2) la ecuación de Helmholtz en 2 o 3 dimensiones. Dado que la ecuación de Helmholtz es una ecuación prototípica para modelar la variación espacial de ondas clásicas, las funciones de Mathieu se pueden utilizar para describir una variedad de fenómenos ondulatorios. Por ejemplo, en electromagnetismo computacional se pueden utilizar para analizar la dispersión de ondas electromagnéticas en cilindros elípticos y la propagación de ondas en guías de ondas elípticas . ^[37] En relatividad general , se puede dar una solución de onda plana exacta a la ecuación de campo de Einstein en términos de funciones de Mathieu.

Más recientemente, las funciones de Mathieu se han utilizado para resolver un caso especial de la ecuación de Smoluchowski , que describe las estadísticas de estado estacionario de partículas autopropulsadas . ^[38]

El resto de esta sección detalla el análisis de la ecuación bidimensional de Helmholtz. ^[39] En coordenadas rectangulares, la ecuación de Helmholtz es

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,}$

Las coordenadas elípticas están definidas por

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}}$

donde , y es una constante positiva. La ecuación de Helmholtz en estas coordenadas es ${\displaystyle 0\leq \mu <\infty }$ ${\displaystyle 0\leq \nu <2\pi }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

Las curvas constantes son elipses confocales con distancia focal ; por tanto, estas coordenadas son convenientes para resolver la ecuación de Helmholtz en dominios con límites elípticos. La separación de variables mediante produce las ecuaciones de Mathieu. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}}$

donde es una constante de separación. ${\displaystyle a}$

Como ejemplo físico específico, se puede interpretar que la ecuación de Helmholtz describe los modos normales de una membrana elástica bajo tensión uniforme . En este caso, se imponen las siguientes condiciones físicas: ^[40]

• Periodicidad con respecto a , es decir ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )}$
• Continuidad del desplazamiento a través de la línea interfocal: ${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• Continuidad de la derivada a través de la línea interfocal: ${\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )}$

Por supuesto , esto restringe las soluciones a aquellas de la forma y , donde . Esto es lo mismo que restringir los valores permitidos de , para determinados . Las restricciones surgen debido a la imposición de condiciones físicas en alguna superficie delimitadora, como un límite elíptico definido por . Por ejemplo, sujetar la membrana impone , lo que a su vez requiere ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)}$ ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$ ${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/4}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{0}>0}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$ ${\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}}$

Estas condiciones definen los modos normales del sistema.

Problemas dinámicos

En problemas dinámicos con fuerzas que varían periódicamente, la ecuación de movimiento a veces toma la forma de la ecuación de Mathieu. En tales casos, el conocimiento de las propiedades generales de la ecuación de Mathieu (particularmente con respecto a la estabilidad de las soluciones) puede ser esencial para comprender las características cualitativas de la dinámica física. ^[41] Un ejemplo clásico en este sentido es el péndulo invertido . ^[42] Otros ejemplos son

• vibraciones de una cuerda con tensión que varía periódicamente ^[41]
• Estabilidad de los rieles del ferrocarril cuando los trenes pasan sobre ellos.
• dinámica demográfica forzada estacionalmente
• el fenómeno de la resonancia paramétrica en osciladores forzados
• movimiento de iones en una trampa de iones cuadrupolo ^[43]
• el efecto Stark para un dipolo eléctrico giratorio
• la teoría de Floquet de la estabilidad de los ciclos límite

Mecánica cuántica

Las funciones de Mathieu desempeñan un papel en ciertos sistemas de la mecánica cuántica, particularmente aquellos con potenciales espacialmente periódicos, como el péndulo cuántico y las redes cristalinas .

La ecuación de Mathieu modificada también surge al describir la mecánica cuántica de potenciales singulares. Para el potencial singular particular, la ecuación radial de Schrödinger ${\displaystyle V(r)=g^{2}/r^{4}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0}$

se puede convertir a la ecuación

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.}$

La transformación se logra con las siguientes sustituciones.

${\displaystyle y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.}$

Resolviendo la ecuación de Schrödinger (para este potencial particular) en términos de soluciones de la ecuación de Mathieu modificada, se pueden obtener propiedades de dispersión como la matriz S y la absortividad . ^[44]

Ver también

• Lista de funciones matemáticas
• Ecuación diferencial de Hill
• función lamé
• Onda plana electromagnética monocromática.
• Péndulo invertido
• función de Bessel

Notas

1. Mathieu (1868).
2. Morse y Feshbach (1953).
3. Brimacombe, Corless y Zamir (2021)
4. Gutiérrez-Vega (2015).
5. Arscott (1964), capítulo III
6. Arscott (1964) 43–44
7. McLachlan (1947), capítulo II.
8. Arscott (1964); Iyanaga (1980); Gradshteyn (2007); Esta es también la normalización utilizada por el sistema de álgebra informática Maple .
9. Butikov, Eugene I. (abril de 2018). "Expresiones analíticas para regiones de estabilidad en el diagrama de Ince-Strutt de la ecuación de Mathieu". Revista Estadounidense de Física . 86 (4): 257–267. Código Bib : 2018AmJPh..86..257B. doi : 10.1119/1.5021895 . ISSN  0002-9505.
10. Arscott (1964), pág. 29.
11. No es cierto, en general, que una función periódica tenga la propiedad . Sin embargo, esto resulta cierto para funciones que son soluciones de la ecuación de Mathieu. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle y(x+\pi )=-y(x)}$
12. McLachlan (1951), págs. 141-157, 372
13. Arscott (1964), pág. 34
14. McLachlan (1947), pág. 144
15. McLachlan (1947), pág. 372
16. McLachlan (1947), pág. 28
17. Wimp (1984), págs.83-84
18. McLachlan (1947)
19. Caos-Cador y Ley-Koo (2001)
20. Temme (2015), pág. 234
21. Müller-Kirsten (2012), págs. 420-428
22. Meixner y Schäfke (1954); McLachlan (1947)
23. Malits (2010)
24. Jin y Zhang (1996)
25. Van Buren y Boisvert (2007)
26. Bibby y Peterson (2013)
27. Meixner y Schäfke (1954), p.134
28. McLachlan (1947), págs. 234-235
29. Gradshteyn (2007), pág. 953
30. Arscott (1964), págs.40-41
31. Gradshteyn (2007), págs. 763–765
32. Arscott (1964), pág. 86
33. McLachlan (1947), capítulo XI
34. McLachlan (1947), pág. 237; Dingle y Muller (1962); Muller (1962); Dingle y Muller (1964)
35. Dingle y Müller (1962)
36. Müller-Kirsten (2012)
37. Bibby y Peterson (2013); Barakat (1963); Sebak y Shafai (1991); Kretzschmar (1970)
38. Solon y otros (2015)
39. ver Willatzen y Voon (2011), págs. 61–65
40. McLachlan (1947), págs. 294-297
41. Meixner y Schäfke (1954), págs. 324–343
42. Rubí (1996)
43. Marzo (1997)
44. Müller-Kirsten (2006)

Referencias

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función Mathieu". MundoMatemático .
• Lista de ecuaciones e identidades de Mathieu Functions funciones.wolfram.com
• "Funciones de Mathieu", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Timothy Jones, Las ecuaciones de Mathieu y la trampa ideal de rf-Paul (2006)
• Ecuación de Mathieu , EqWorld
• Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: funciones de Mathieu y ecuación de Hill