Función Lamé

Soluciones de la ecuación de Lamé

En matemáticas, una función de Lamé , o función armónica elipsoidal , es una solución de la ecuación de Lamé , una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden . Fue introducida en el artículo ( Gabriel Lamé  1837). La ecuación de Lamé aparece en el método de separación de variables aplicado a la ecuación de Laplace en coordenadas elípticas . En algunos casos especiales las soluciones pueden expresarse en términos de polinomios llamados polinomios de Lamé .

La ecuación de Lamé

La ecuación de Lamé es

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(A+B\wp (x))y=0,}$

donde A y B son constantes, y es la función elíptica de Weierstrass . El caso más importante es cuando , donde es la función seno elíptico , y para un entero n y el módulo elíptico, en cuyo caso las soluciones se extienden a funciones meromórficas definidas en todo el plano complejo. Para otros valores de B las soluciones tienen puntos de ramificación . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle B\wp (x)=-\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \kappa ^{2}=n(n+1)k^{2}}$ ${\displaystyle k}$

Al cambiar la variable independiente a con , la ecuación de Lamé también se puede reescribir en forma algebraica como ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t=\operatorname {sn} x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t-e_{1}}}+{\frac {1}{t-e_{2}}}+{\frac {1}{t-e_{3}}}\right){\frac {dy}{dt}}-{\frac {A+Bt}{4(t-e_{1})(t-e_{2})(t-e_{3})}}y=0,}$

que después de un cambio de variable se convierte en un caso especial de la ecuación de Heun .

Una forma más general de la ecuación de Lamé es la ecuación elipsoidal o ecuación de onda elipsoidal que se puede escribir (observe que ahora escribimos , no como arriba) ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(\Lambda -\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x-\Omega ^{2}k^{4}\operatorname {sn} ^{4}x)y=0,}$

donde es el módulo elíptico de las funciones elípticas jacobianas y y son constantes. Para la ecuación se convierte en la ecuación de Lamé con . Para la ecuación se reduce a la ecuación de Mathieu ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =0}$ ${\displaystyle \Lambda =A}$ ${\displaystyle \Omega =0,k=0,\kappa =2h,\Lambda -2h^{2}=\lambda ,x=z\pm {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+(\lambda -2h^{2}\cos 2z)y=0.}$

La forma Weierstrassiana de la ecuación de Lamé es bastante inadecuada para el cálculo (como también señala Arscott, p. 191). La forma más adecuada de la ecuación es la forma jacobiana, como se indica más arriba. Las formas algebraica y trigonométrica también son complicadas de utilizar. Las ecuaciones de Lamé surgen en mecánica cuántica como ecuaciones de pequeñas fluctuaciones en torno a soluciones clásicas —llamadas instantones periódicos , rebotes o burbujas— de las ecuaciones de Schrödinger para varios potenciales periódicos y anarmónicos. ^{[1] [2]}

Expansiones asintóticas

Müller ha obtenido expansiones asintóticas de funciones de onda elipsoidales periódicas y, con ellas, también de funciones de Lamé para valores grandes de ^{[3] [4] [5]} La expansión asintótica que obtuvo para los valores propios es, con un entero aproximadamente impar (y que se determinará con mayor precisión mediante condiciones de contorno; véase más abajo), ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (q)={}&q\kappa -{\frac {1}{2^{3}}}(1+k^{2})(q^{2}+1)-{\frac {q}{2^{6}\kappa }}\{(1+k^{2})^{2}(q^{2}+3)-4k^{2}(q^{2}+5)\}\\[6pt]&{}-{\frac {1}{2^{10}\kappa ^{2}}}{\Big \{}(1+k^{2})^{3}(5q^{4}+34q^{2}+9)-4k^{2}(1+k^{2})(5q^{4}+34q^{2}+9)\\[6pt]&{}-384\Omega ^{2}k^{4}(q^{2}+1){\Big \}}-\cdots ,\end{aligned}}}$

(otro (quinto) término no dado aquí ha sido calculado por Müller, los primeros tres términos también han sido obtenidos por Ince ^[6] ). Observe que los términos son alternativamente pares e impares en y (como en los cálculos correspondientes para las funciones de Mathieu , y las funciones de onda esferoidales achatadas y las funciones de onda esferoidales alargadas ). Con las siguientes condiciones de contorno (en las que es el cuarto de período dado por una integral elíptica completa) ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle K(k)}$

${\displaystyle \operatorname {Ec} (2K)=\operatorname {Ec} (0)=0,\;\;\operatorname {Es} (2K)=\operatorname {Es} (0)=0,}$

así como (el derivado del significado principal )

${\displaystyle (\operatorname {Ec} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Ec} )_{0}^{'}=0,\;\;(\operatorname {Es} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Es} )_{0}^{'}=0,}$

definiendo respectivamente las funciones de onda elipsoidales

${\displaystyle \operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}+1},\operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}-1},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}}}$

de periodos y para uno se obtiene ${\displaystyle 4K,2K,2K,4K,}$ ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,\ldots }$

${\displaystyle q-q_{0}=\mp 2{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}\left[1-{\frac {3(q_{0}^{2}+1)(1+k^{2})}{2^{5}\kappa }}+\cdots \right].}$

Aquí el signo superior se refiere a las soluciones y el inferior a las soluciones . Finalmente, desarrollando sobre uno se obtiene ${\displaystyle \operatorname {Ec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Es} }$ ${\displaystyle \Lambda (q)}$ ${\displaystyle q_{0},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\pm }(q)\simeq {}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\left({\frac {\partial \Lambda }{\partial q}}\right)_{q_{0}}+\cdots \\[6pt]={}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\kappa \left[1-{\frac {q_{0}(1+k^{2})}{2^{2}\kappa }}-{\frac {1}{2^{6}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(q_{0}^{2}+1)-4k^{2}(q_{0}^{2}+2q_{0}+5)\}+\cdots \right]\\[6pt]\simeq {}&\Lambda (q_{0})\mp 2\kappa {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}{\Big [}1-{\frac {1}{2^{5}\kappa }}(1+k^{2})(3q_{0}^{2}+8q_{0}+3)\\[6pt]&{}+{\frac {1}{3.2^{11}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(9q_{0}^{4}+8q_{0}^{3}-78q_{0}^{2}-88q_{0}-87)\\[6pt]&{}+128k^{2}(2q_{0}^{3}+9q_{0}^{2}+10q_{0}+15)\}-\cdots {\Big ]}.\end{aligned}}}$

En el límite de la ecuación de Mathieu (al que se puede reducir la ecuación de Lamé) estas expresiones se reducen a las expresiones correspondientes del caso de Mathieu (como lo muestra Müller).

Notas

1. HJW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria , 2.ª ed. World Scientific, 2012, ISBN  978-981-4397-73-5
2. Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, HJW; Tchrakian, DH (1992). "Solitones, rebotes y esfalerones en un círculo". Physics Letters B . 282 (1–2). Elsevier BV: 105–110. doi :10.1016/0370-2693(92)90486-n. ISSN  0370-2693.
3. W. Müller, Harald J. (1966). "Expansiones asintóticas de funciones de onda elipsoidales y sus números característicos". Mathematische Nachrichten (en alemán). 31 (1–2). Wiley: 89–101. doi :10.1002/mana.19660310108. ISSN  0025-584X.
4. Müller, Harald JW (1966). "Expansiones asintóticas de funciones de onda elipsoidales en términos de funciones de Hermite". Mathematische Nachrichten (en alemán). 32 (1–2). Wiley: 49–62. doi :10.1002/mana.19660320106. ISSN  0025-584X.
5. Müller, Harald JW (1966). "Sobre expansiones asintóticas de funciones de onda elipsoidales". Mathematische Nachrichten (en alemán). 32 (3–4). Wiley: 157-172. doi :10.1002/mana.19660320305. ISSN  0025-584X.
6. Ince, EL (1940). "VII—Investigaciones adicionales sobre las funciones periódicas de Lamé". Actas de la Royal Society de Edimburgo . 60 (1). Cambridge University Press (CUP): 83–99. doi :10.1017/s0370164600020071. ISSN  0370-1646.

Referencias

• Arscott, FM (1964), Ecuaciones diferenciales periódicas , Oxford: Pergamon Press , págs. 191–236.
• Erdélyi, Arthur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Funciones trascendentales superiores (PDF) , Bateman Manuscript Project, vol. III, Nueva York–Toronto–Londres: McGraw-Hill , págs. XVII + 292, MR  0066496, Zbl  0064.06302.
• Lamé, G. (1837), "Sur les marks isothermes dans les corps homogènes en équilibre de température", Journal de mathématiques pures et appliquées , 2 : 147–188. Disponible en Gallica .
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Lamé", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Función de Lamé", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Volkmer, H. (2010), "Función Lamé", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Müller-Kirsten, Harald JW (2012), Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria, 2.ª ed. , World Scientific